内蒙古2021届高三数学第四次调研考试试题 理

2021届高三数学第四次调研考试试题 理
（时间：120分钟 分数：150分）
一．选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合{}N n n n x x A ∈+==),1(|,{}
020|2
≤-=x x x B ,则=B A
A .{0,1,6,12,20}
B .{0,2,6,12,20}
C .{2,6,12,20}
D .{6,12}
2.复数z 满足i i z 43)1(+=-，则z =
i A 2721.+-
i B 2721.+ i C 2525.- i D 2
525.+ 3.在4
)2)(1(+-x i 的展开式中，含3x 项的系数为
A .16 B.-16 C .8 D .-8
4.已知2,1==b a ，且)()25(b a b a -⊥+，则a 与b 的夹角为
30.A 60.B 120.C 150.D
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等和亮度满足
2
1
12lg 25E E m m =
-，其中星等为k m 的星的亮度为)2,1(=k E k .已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
1.1010.A 1.10.B 1.10lg .C 1.1010.-D
6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且33,41182==+S a a ，则=2020a
A .2021
B .2021
C .2021
D .2021
7.若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列结论： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；
③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确结论的序号是
A .②④⑤
B .①②④⑤
C .①③④
D .②③④⑤
8.已知奇函数),0,0)(cos()(πϕωϕω<<>+=x x f 且)2
1()23
(--=-x f x f ，当ω取最小值时，在下列区间内，)(x f 单调递减的是
15.[,]36A - 31.[,]23B - C. 5[,]36ππ D. [0,]3
π
9.已知点P 是抛物线y x 22
=上的一点，在点P 处的切线恰好过点)2
1,0(-，则点P 到抛物线焦点的距离为
21.A 1.B 2
3
.C 2.D 10.如图，在三棱锥D －ABC 中，CD ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，若AE ∥CD ，AB ＝CD ＝AE ＝2，则三棱锥D －AB C 与三棱锥E －ABC 的公共部分构成的几何体的外接球的体积为
A .
1639π B .323
27π C .
20
3
π D .2327π 11.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为21,F F ，过点1F 的直线分别交双曲
线的左、右支于点M,N ,若以MN 为直径的圆过点2F ,且22NF MF =，则双曲线的离心率为
6.A 5B 3.C 2.D
12.已知函数)(x f 是定义在[100,100]-的偶函数，且)2()2(-=+x f x f .当[]2,0∈x 时，
x e x x f )2()(-=，若方程[]01)()(2
=+-x mf x f 有300个不同的实数根，则实数m 的取值
范围为
)2
5
,1.(---e e A 15.[,]2B e e ---
()2,.-∞-C D .1
(,2)
e e ---
二．填空题（每小题5分，共20分）：
13.高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为__________. 14若31)6
cos(
=
-x π
，则=-)3
2sin(π
x ______________. 15.已知函数()x x x x e e f x e e ---=+，若正实数a ,b 满足0
)1()4(=-+b f a f ，则ab
b
a 24+的最小值为___________.
16．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2
132n n S S n n ++=+，若对
n N +∀∈， 1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是__________．
三．解答题（共70分）：
17.（12分）在ABC ∆中，,3
1
cos ,2==B AB 点D 在线段BC 上. (1)若π4
3
=
∠ADC ，求AD 的长； (2)若BD =2DC ,234=∆ADC S ,求
CAD
BAD
∠∠sin sin 的值.
18.（12分）随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：
成绩优秀 成绩不够优秀
总计 参加选修课 16 9 25 不参加选修课
8 17 25 总计
24
26
50
(1)试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；
(2)如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.
参考公式：.c b ,)
)()()(()(2
2
d a n d b c a d c b a bc ad n K ++==++++-=
其中 临界值表：
)(02k K P ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（12分）如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形， 平面BDEF ⊥平面ABC ，∠FBD ＝60°，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2. (1)若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； (2)求平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值.
20．（12分）已知1m >，直线l ：2
02
m x my --=，椭圆C ：2
221,x y m
+=12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点． (1)当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，12AF F ∆，12BF F ∆的重心分别为G H ，．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．
21.（12分）已知函数()()()()2ln ln 1.f x ax x
x x a R =--+∈
(1)若2ln ax x >，求证：()2
ln 1f x ax x ≥-+；
(2)若()()2
000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求a 的最大值； (3)求证：当12x <<时，()()2f x ax ax >-.
选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.(10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，
θ)为曲线C 上一点，B (,)3
π
ρθ+
，|BM |＝1.
(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2
＋|MA |2
的取值范围． 23．(10分)选修4－5：不等式选讲
若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为
T .
(1)求集合T；
(2)若m>1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．
月考答案
一．选择题：1-5 BDBCA 6-10 CAABB 11-12 CA 二．填空题：13. 0.2 14.13- 15.8 16.15(,)44
- 三．解答题：
122317.(1)
cos ,sin .,.3344
ABC B B ADC ADB π
π∆=∴=∠=∴∠=中，
ABD ∆中，由正弦定理可得
8
=.3222
AD ∴=， .........................5分
(2),241222,22=232321
436226 2 (83)
DC x BD x BD DC ACD x x AC ===∆∴⨯⨯∴=∴=+-⨯⨯⨯
=设则，分 421
sin sin .
sin sin 2
2422
sin sin sin sin sin 4 2......................................12sin BAD ADB BAD ADB CAD ADC
CAD BAD
ADB ADC CAD
=∴∠=∠∠∠=∴∠=∠∠∠∠=∠∴=∠由正弦定理可得
分
2
2
50(161789)18.(1) 5.128 6.635.
25252426
99%...............4K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯∴由题意知，没有的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”分
00514223555332516+91
(2)= (5502)
5111115115(0)()(),(1)(),(2)()(),223222322216
115(3)()(),(2216P C P C P C P C P ξξξξξ∴==⨯===⨯===⨯===⨯=由题意知，数学专业中参加选修课的学生的概率为
分随机抽取名学生，抽到参加选修课的学生人数的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.
4455
55115114)(),(5)().........92232232C P C ξξ==⨯====分
ξ∴的分布列为
ξ
0 1 2 3 4 5
P
1
32 532 516 516 532 132
1555515
()012345.3232161632322
E ξ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.........................12分
19.∵平面BDEF ∩平面ABC ＝BD ， 平面ABC ⊥平面BDEF ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BDEF.
又BF ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥BF .
∵DM ∩AC ＝D ，∴BF ⊥平面AMC.............................4分
(2)设线段EF 的中点为N ，连接DN.易证DN ⊥平面ABC.以D 为坐标原点，DB ，DC ，DN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (0，－1，0)，E (－12，0，32)，F (12，0，3
2
)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，
∴AE ＝(－12，1，32)，EF ＝(1，0，0)，BF =(－12，0，3
2)，BC ＝(－1，1，0)． (6)
分
设平面AEF ，平面BCF 的法向量分别为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)．
由00AE m EF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111
130220
x y z x ⎧-++
=⎪⎨⎪=⎩ 取z 1＝－2，则y 1＝3，∴m ＝(0，3，－2)． ...............................8分
由00BC n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222013
022
x y x y -+=⎧⎪
⎨-+
=⎪⎩解得x 2＝y 2＝3z 2， 取z 2＝1，∴n ＝(3，3，1)． ......................................10分 ∵|cos ,m n <>|＝|
m n m n
⋅|＝
1
7×7＝1
7
. ∴平面AEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值为1
7
. ................12 分
20.(1)∵直线：2
02
m x my --=经过(
)
2
2
1,0F m -，2
2
12
m m ∴-=，得22m =．又1m >，2m ∴=，故直线的方程为210x y --=． ……4分
(2)设()()1122,,,A x y B x y ，
由2222
21
m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得222104m y my ++-=，∴212121,282m m y y y y +=-=-．
由22
281804m m m ⎛⎫
∆=--=-+> ⎪⎝⎭
，得28m <．…… 7分 由于()()12,0,,0F c F c -，故O 为12F F 的中点．由,G H 分别为1212,AF F BF F ∆∆的重心，可知1122,,,3333x y x y G H ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭
，∵原点O 在以线段GH 为直径的圆内，12120x x y y ∴+<．而()2222
12121212112282m m m x x y y my my y y m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+- ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21
082
m -<，即24m <．......10分
又
1m >且0∆>，12m ∴<<，m ∴的取值范围是()1,2．……….12分
'''222111()ln (0),()1.01()0,()1()0,()0()(1)1ln ,ln 0,()ln 1................................4x g x x x x g x x x
x g x g x x g x g x x g x g ax x ax x f x ax x -=->=-=<<<>>∴>≥=>∴->∴≥-+21.()证明：设则当时，函数递减；当时，函数递增.当时，分
2200000000020
1''22311'222ln (2)()1ln ln ,2ln 0ln 0(),.2ln 2(12ln )()(0),().0<()0,()11()0,()>0()(),....8max max x f x x x x ax x x x a x x x h x x h x x e h x h x x x
x e h x h x x h x h e a e e
=+--=-==-=>=<>><∴==∴=由得或舍即设则当时，函数递增；当时，函数递减.当时，分2222(3)()(ln )(ln )1ln ()ln 1
f x ax x x x x x ax x ax =--+=-+++证明：2
222
22
222222222()()(ln )1(ln )12424(1)(1)(ln )11244
x ax x ax x ax x ax x ax x x ax x ax x ax x +++-=-++-=-+-+--=-+-≥- 22
2
2(1)12(4,1),11(1)(2).4x ax x x ax ax ax -<<-∈--∴->--=-当时， ()(2).f x ax ax >-从而 ...................................12 分
22.解:(1)设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以x B ＝ρcos ()3π
θ+＝1
2x －32
y ， y B ＝ρsin ()3πθ+
＝32x ＋12y ， 故B 1
331(,)2222x y x y -+由|BM |2＝1，得221331(2)()12222
x y x y -+++=, 整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1....................................5分
(2)圆C ：1cos 3sin x y αα
=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)， 则|OA |2＋|MA |2
＝43sin α＋10，
所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]......................................10分
23.解:(1)||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1，
所以|x －1|－|x －2|≤1，所以t 的取值范围为(－∞，1]，
即T ＝{t |t ≤1}....................................5分
(2)由(1)知，对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，只需log 3m ·log 3n ≥t max ， 所以log 3m ·log 3n ≥1，
又因为m >1，n >1，所以log 3m >0，log 3n >0，
又1≤log 3m ·log 3n ≤233log log ()2m n +＝(log 3mn )24 (log 3m ＝log 3n 时取等号，此时m ＝n )，...............................................8分
所以(log 3mn )2≥4，所以log 3mn ≥2，mn ≥9， 所以
m ＋n ≥2mn ≥6，即m ＋n 的最小值为6(此时m ＝n ＝3)．.....................................10分。