辽宁省沈阳2010高三数学第二次高考模拟考试(理) 新人教版

某某省某某市
2010年高三年级教学质量监测（二）
数学试题（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的某某、考号、考试科目用2B 铅笔涂写在答题卡上． 2．选择答案用2B 铅笔在答题卡上选涂，非选择题答案用黑色或蓝色笔工整书写在答题纸上，答在试卷上无效．
3．考试结束后，考生将答题卡和答题纸一并交回．
13
V Sh =锥体
锥体的底面积为S ，高为h
参考公式：回归直线方程：y=a ＋bx ，其中x b y a
x
n x y
x n y
x b n i i n
i i
i ˆˆ,1
2
21-=--=
∑∑==．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．若集合A={R x x x ∈<-,012
}，集合B 满足A ∩B=A ∪B ，则为（ ）
A ．（一1，1）
B ．（一∞，一1]∪[1，+∞）
C ．（1，+∞）
D ．（一∞，一1）∪（1，+∞） 2．下列说法中，正确的是
（ ）
A ．命题“若am 2<bm 2，则a<6”的逆命题是真命题
B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“x x R x -∈∀2
,≤0” C ．命题“p V q ”为真命题，则命题“P ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 3．已知||||1,||3a b a b ==+=，则向量a b 与的夹角为 （ ）
A ．
3
π B ．
23
π C ．
4π D ．
34
π 4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A ．若βαββα⊥⊥⊥=⋂⊥n n m n m a 或则,,,
B ．若m 不垂直于α理，则m 不可能垂直于α内的无数条直线
C ．若n m a ,=⋂β∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β
D ．若βα⊥，m ∥n ，β⊥n ，m ∥α
5．实验测得四组数据为（1．5，2）、（2．5，4）、（3，3．5）、（4，5．5），则y 与x 之间的
回归直线方程为
（ ）
A ．132
1317+
=
x y B ．132
1317+-
=x y
C ．131
1317+=x y
D ．13
1
1317--=x y
6．已知双曲线)0(12
22>=-a y a
x 的两个焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上的一点，且
21PF F ∠=9021PF PF 的值为
（ ）
A ．
2
1 B ．1
C ．2
D ．4
7．如图所示，某几何体的主视图、左视图均是等腰
三角形，俯视图是正方形，则该几何体的全面 积（单位：cm 3）为 （ ） A ．443+B ．12
C ．483+
D ．20
8．若不等式1
11
11271()24
264
n n N +-+
+++
>∈ 成立，则n 的最小值是
（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
9．已知],0(π∈x ，关于x 的方程2sin a x =+
)3
(π
有两个不同的实数解，则实数a 的取值X
围为
（ ）
A ．[－3，2]
B ．[3，2]
C ．（3，2]
D ．（3，2）
10．右图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该 框图所输出的最后一个数据是 （ ） A ．151 B ．
1101
C ．197
D ．199
11．在R 上定义运算：a b ad bc c d ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，若不等式
1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭
对任意实数x 成立，则实数a 的最 大值为 （ ）
A ．12-
B ．32
-
C ．
12 D ．
32
12．已知实数b a ,满足10<<<a b ，则下列关系式中可能成立的有 （ ）
①b
a
32=②log 2a =log 3b ③2
2
b a =
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
第Ⅱ卷（填空题）
二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分，反答案填在答题纸上） 13．在复平面内，复数2
(1)1z i =++对应的点位于复平面的第 象限.
14．已知圆2
2
:2410C x y x y ++++=，则过圆心C 且与原点之间距离最大的直线方程
是 .
15．若函数2
()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，则实
数k 的取值X 围是 .
16．我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系xOy 中，
利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A （-3，4），且其法向量为(1,2)n =-的直线方程为1(3)(2)(4)0x x y ++-⨯-=，化简得2110x y -+=. 类比上述方法，在空间坐标系O xyz -中，经过点A （1，2，3），且其法向量为(1,2,1)n =--的平面方程为. 三、解答题（共6道小题，满分70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos 0b c A a C --=.
（1）求角A 的大小；
（2）若4
ABC a S ∆==
，试判断ABC ∆的形状，并说明理由.
18．（本小题满分12分） 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BB 1和DD 1的中点. （1）求证：平面B 1FC//平面ADE ；
（2）试在棱DC 上取一点M ，使1D M ⊥平面ADE ；
（3）设正方体的棱长为1，求四面体A 1—FEA 的体积. 19．（本小题满分12分） 某就观众对2010年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如
喜爱程度 喜欢 一般 不喜欢 人数
560
240
200
（1）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n 的样本，已
知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n 的值为多少？
（2）在（1）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到
的5名不喜欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率.
20．（本小题满分12分）
已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈
（1）求()f x 的单调区间； （2）若1,0a b =≠且，函数3
1()3
g x bx bx =
-，若对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使12()()f x g x =，某某数b 的取值X 围.
21．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率22e =，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B
分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭圆的上顶点，且满足2 1.MF FB ⋅=
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为PQM ∆的垂心. 若存
在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，
过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ． （I ）求证：．AD ∥EC ；
（Ⅱ）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲
已知直线l 的参数方程为：t
y t x 32=+=（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：12cos 2
=θρ．
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数)51(log )(2a x x x f --+-=．
（I ）当a =2时，求函数)(x f 的最小值；
（Ⅱ）当函数)(x f 的定义域为R 时，某某数a 的取值X 围．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1—5BBACA 6—10CBBDD 11—12DC 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．一
14．250x y ++= 15．31,
2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
16．220x y z +--= 三、解答题 17．（1）解法一：(2)cos cos 0b c A a C --=
由正弦定理得
(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --= 2分 2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0B A A C B A ∴-+=-=
0B π<< 1
sin 0,cos 2
B A ∴≠= 4分 0,3
A A π
π<<∴=
（法二）
(2)cos cos 0b c A a C --=
由余弦定理，得
222222
(2)022b c a a b c b c a bc ab
+-+--⋅-⋅= 2分
整理，得2
2
2
,b c a bc +-= 4分
2221
cos 22
b c a A bc +-∴==
0,3
A A π
π<<∴=
（2）
1sin 24
ABC S bc A ∆==，
即sin 3
4
bc π
=
=
3bc ∴=① 7分
2222cos ,a b c bc A =+-
226b c ∴+=② 9分
由①②得3b c ==
ABC ∴∆为等边三角形 12分
18．（1）证明：
E 、
F 分别为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱BB 1和DD 1中点.
11//DF B E ∴E 且DF=B ∴四边形DFB 1E 为平行四边形，
即FB 1//DE ， 由
11//AD B C 2分
又1111,AD DE D B C B F B ⋂=⋂=
∴平面B 1FC//平面ADE. 4分
（2）证明：取DC 中点M ，连接D 1M ， 由正方体性质可知，111D M B C ⊥， 且111DD M C D F ∆≅∆ 5分 所以111,D C F DD M ∠=∠
又0
111190D C F D FC ∠+∠= 所以0
111190D D M D FC ∠+∠=
所以11D M FC ⊥ 6分
又1111FC B C C ⋂=
1D M ∴⊥平面B 1FC 1
又由（1）知平面B 1FC 1//平面ADE. 所以1D M ⊥平面ADE. 8分
（3）方法一：由正方体性质有点F 到棱AA 1的距离及点E 到侧面A 1ADD 1的距离都是棱长1 9分
1111
122
AA F S AA ∆∴=⋅⋅=
11111
1326
A AEF E AA F V V --∴==⋅⋅= 12分
方法二：取EF 中点O 1，
把四面体分割成两部分F —AA 1O 1，E —AA 1O 1
11111E AA F F AA O E AA O V V V ---=+ 10分
E 、
F 分 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱BB 1和DD 1中点，
由正方体性质有，O 1为正方体的中心.
EF ∴⊥平面AA 1O ，1111
3
E AA
F AA O V S EF -∆=⋅
O 1到AA 1的距离h '为面对角线的一半，
1111122
12224
AA O S AA h ∆'=
⋅⋅=⋅⋅= 1111121
2336
E AA
F AA O V S EF -∆=⋅== 12分
19．解：（1）采有分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为:1000n 2分
则不喜爱小品观众应抽取
20051000
n
⨯=人 25.n ∴= 5分
（2）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人， 设女性观众为12,a a ，男性观众为123,,b b b
则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：
1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223121323(,),(,),(,),(,),(,),a b a b b b b b b b 8分
其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：
1211121321(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b 2223(,),(,),a b a b 10分
所以从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，至少有一名为女性观众的概率为
710
……12分
20．（1）()ln f x x ax =-，
0x ∴>，
即函数()f x 的定义域为（0，+∞）
∴当0a ≤时，()f x 在（0，+∞）上是增函数 2分
当110ax
a a x x
->-=时,f(x)=
1
()0,f x a '>则1-ax>0,ax<1,x<
1
()0,f x a
'<则1-ax<0,ax>1,x>
即当0a >时1()(0,)f x a
在上是增函数，
在1(,)a
+∞上是减函数. 4分
（2）设()f x 的值域为A ，
()g x 的值域为B ，
则由已知，对于任意的1(1,2)x ∈， 总存在2(1,2)x ∈，
使12()(),f x g x A B =⊆得 6分
由（1）知1,()(1,)a f x =+∞时在上是减函数，
()(1,2)f x x ∴∈在上单调递减，
()f x ∴的值域为(ln 22,1)A =-- 8分 2()(1)(1)g x bx b b x x '=-=-+
(1)0,()b g x ∴<当时在（1，2）上是减函数，
此时，()g x 的值域为22(,)33
B b b =-
为满足2
,013
A B b ⊆-
≥>-又 2
ln 2 2.3
b ∴≤- 即3
ln 2 3.2
b ≤- 10分
（2）当0b >时，()g x 在（1，2）上是单调递增函数，
此时，()g x 的值域为22,33B b b ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
为满足2,0 1.3
A B b ⊆≥>-又
2
ln 223b ∴-≤-
33
(ln 22)3ln 2,22
b ∴≥--=-
综上可知b 的取值X 围是33,ln 233ln 2,22⎛
⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
12分 21．（1）根据题意得，(,0),(,0),(,0),(0,)F c A a B a M b - (,),(,0)MF c b FB a c ∴=-=-
21MF FB ac c ∴⋅=-= 2分
又2
c e a ==
a ∴=
221c -=
2221,2,1c a b ∴===
∴椭圆C 的方程为2
2 1.2
x y += 4分 （2）假设存在直线l 满足条件，使F 是三角形MPQ 的垂心.
因为1,MF K FM l =-⊥且，
所以11,k =
所以设PQ 直线y x m =+， 且设1122(,),(),P x y Q x y
由2212
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消22,34220y x mx m ++-=得 2221612(22)0,3m m m ∆=--><
21212422,.33
m m x x x x -+=-= 212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++
22222242.333
m m m m --=-+= 8分
又F 为MPQ ∆的垂心，
,0PF MQ PF MQ ∴⊥∴⋅=
又1122(1,),(,1)PF x y MQ x y --=-
211212211212PF MQ x y x x y y x x m x x y y ∴⋅=+--=++--
2242220333
m m m m --=-+--= 24033
m m ∴--+=， 24340,,13
m m m m ∴+-==-= 10分 经检验满足2
3m < 11分 ∴存在满足条件直线l 方程为：
10,3340x y x y -+=--= 12分
22．（1）连接AB ，
1AC O 是的切线，
BAC D ∴∠=∠
又BAC E ∠=∠，
D E ∴∠=∠
//?£AD EC ∴ 5分
（2）方法一：
1PA O 是的切线，PD 是1O 的割线，
2,PA PB PD ∴=⋅
26(9)PB PB ∴=⋅+
3PB ∴= 7分
又2O 中由相交弦定理， 得PA PC BP PE ⋅=⋅
4PE ∴= 8分
2AD O 是的切线，DE 是2O 的割线，
2916AD DB DE ∴=⋅=⨯，
12AD ∴= 10分
方法二：设,BP x PE y ==
6,2PA PC ==，
∴由相交弦定理得
,12PA PC BP PE xy ⋅=⋅=①
//,DP AP AD EC PE PC ∴= 962x y +∴
=② 由①②可得，
31241
x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（舍去）， 916.DE x y ∴=++= 8分
2AD O 是的切线，DE 是2O 的割线，
2916AD DB DE ∴=⋅=⨯，
12AD ∴= 10分
23．（1）由曲线2222
:cos 2(cos sin )1,C ρθρθθ=-= 得222cos 2sin )1,ρθρθ-=化成普通方程 221x y -=① 5分
（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程
1222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） ② 把②代入①得：
2212122t t ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
整理，得2
460t t --= 设其两根为12,t t ，
则12124,6t t t t +=⋅=- 8分 从而弦长为22121212||()444(6)40210.t t t t t t -=+-=--== 10分 方法二：把直线l 的参数方程化为普通方程为 3(2)y x =-，
代入221,x y -=
得2212130x x -+= 6分
设l 与C 交于1222(,),(,)A x x B x y 则1212136,2
x x x x +=⋅= 8分 221212||13()42626210.AB x x x x ∴=++-=-= 10分
24．函数的定义域满足|1||5|0x x a -+-->，
即|1||5|,x x a -+-> 设()|1||5|g x x x =-+-
则26(5)()|1||5|4
(15)62(1)
x x g x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≤⎩ 3分 min min 2()4,()log (42) 1.g x f x ==-= 5分
（2）由（1）知，()|1||5|g x x x =-+-的最小值为4. |1||5|0x x a -+-->，
4,a a ∴<∴的取值X 围是（-∞，4） 10分。