下学期高二期末考试数学(文)试题(附答案) (1)

康杰中学2016—2017学年度第二学期期末考试
高二数学（文）试题
2017.6
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}{}
(1)(3)0,22,A x x x B x x =--<=-≤≤则A B =
A. (]
12，
B. [
)21--，
C. [)21-，
D. (]
12-，
2.
已知复数12z =-，则复数z z +在复平面内对应的点位于 A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分条件
D. 必要条件
4. 已知,x y 满足10
0,3x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则22
(1)(1)x y -+-的取值范围是
A. []5,25
B. []1,25
C. 1,202⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. 5,202⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
5. 如图是一个几何体的三视图，则此几何体的体积是 A. 8
23
π+ B. 423
π+
C.
103π
D.
83
π 6. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，
n S 为{}n a 的前n 项和，则
32
53
S S S S --的值为
A. 2
B. 3
C.
15
D. 4
7. 函数2
()f x x x
=+
的图象可能是
A
B
C
D
8. 执行如图所示的程序框图，数列{}n a 满足1,n a n =-输入4,3n x ==，则输出的结果v 的值为 A. 34 B. 68
C. 96
D. 102
9. 在三棱锥-A BCD 中12,AB AC DB DC ====，
AD BC =则三棱锥-A BCD 的外接球的表面积为
A.
π
B.
74
π
C. 4π
D. 7π
10. 已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<在区间,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，且函数值从2-增大到0.若1262x x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
、，，且12()(),f x f x =则12()f x x +=
A.
B.
C.
D.
11. 已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b a b
-=>>过其左焦点F 作斜率为1
2的直线与双曲线的
两条渐近线的交点分别为A B 、，若1
2
FA AB =，则双曲线的两条渐近线方程为 A. 13
y x =±
B. 1)y x =±
C. y x =±
D. 14
y x =±
,,n n a x
i v vx a =+
12. 已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 A. (,2)-∞-
B. (1,)+∞
C. (2,)+∞
D. (,1)-∞-
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知平面向量,a b 满足||2,||1,a b ==且||||a b a b +=-，则||a b -=________. 14. 若5
3
)4
cos(
=
-απ
，则α2sin = . 15. 已知圆22:()1,C x a y -+=若直线:l y x a =+与圆C 有公共点，且点(1,0)A 在圆C 内部，则实数a 的取值范围是________.
16. 已知在ABC ∆中，三角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其满足
(3)cos (3cos cos ),2a b C c B A AF FC -=-=,则
AB
BF
的取值范围为_______. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.（本小题满分12分）
已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足56,3
172
351==+S a a a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n
a 3的前n 项和.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，
⊥PA 平面ABCD ，AB PA =，N M ,分别是AC PB ,的中点.
（1）求证：MN ∥平面PAD ； （2）求点B 到平面AMN 的距离.
19.（本小题满分12分）
某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
A
P
B
C
D
M
N
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n ，求事件“m,n 均不小于25的概率.” （2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中
的另三天．．．
的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：1
2
21
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b
a y bx x
nx
==-==--∑∑）（参考数据：33
21
1
977,434i i i i i x y x ====∑∑）
20.（本小题满分12分）
椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右顶点、上顶点分别为A 、B ，坐标原点O 到直线AB
的距离为
552，该椭圆的离心率2
3
=e . （1）求椭圆的方程；
（2）过点)3
5
,0(P 的直线l 与椭圆交于两个不同的点N M ,，求线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数R a x x
a
x f ∈-+=
,1ln )(. （1）若曲线)(x f y =在))1(,1(f P 处的切线平行于直线1+-=x y ，求函数)(x f y =的单
调区间；
（2）若0>a ，且对任意]2,0(e x ∈时，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为
)4
π
ρθ=+．
（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求
11PA PB
+的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()a x x f -=
（1）若()m x f ≤的解集为[]5,1-，求实数m a ,的值；
（2）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()()2+≥+x f t x f .
高二数学（文）答案
1—5 CDDCD 6—10 ABDDA
11—12 CA
13.
14. 25
7-
15. 0,2⎛ ⎝⎦
16. (2,)+∞
17.解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，且2
3513
1a a a =+， 所以2
333
12a a = 又0>n a
所以63=a ………………………………….2分 因为471772
)
(7a a a S =+=
所以84=a ……………………………………4分 所以公差234=-=a a d
所以n n d n a a n 22)3(6)3(3=⨯-+=-+=………………………….6分 （2）设数列{
}3n
a a
的前n 项和为n
T
则2
4
29(19)9333(91)198
n n
n
n T -=++⋅⋅⋅+=
=--…………………….12分 18．（1）连接ND
因为四边形ABCD 为正方形，N 为AC 的中点， 所以D N B ,,三点共线，且N 为BD 的中点
因为M 为PB 的中点， ………………………………..3分 所以MN ∥PD 因为⊄MN 面PAD ，⊂PD 面PAD
所以MN ∥平面PAD ……………..6分 （2）设点B 到平面AMN 的距离为h 因为2
2=
==MN AN AM A
P
B
C
D
M
N
G
所以8
3
23)22(212=
⨯⨯=
∆AMN S ………………..8分 过点M 作AB MG ⊥于点G ，则⊥MG 平面NAB 可知M 到平面ABN 的距离为2
1，41
=∆ABN S ………………………..10分
由于ABN M AMN B V V --= 所以4
1
2183⨯=⨯
h 解得3
3=
h 即点B 到平面AMN 的距离为3
3
……………………………12分
20.解：（1）由题意得直线AB 方程为0=-+ab ay bx …………………..1分
由点到直线距离公式得
5
5
22
2=
+b a ab ① 由23
=e 得2
322=
-a b a ② 解①②得⎩
⎨⎧==12b a ………………………3分
所以椭圆的方程为14
22
=+y x …………………………..4分 （2）当直线斜率不存在时，线段的垂直平分线的纵截距为0，…………….5分 当直线斜率存在时，设直线l 的方程为3
5+
=kx y ， 代入14
22
=+y x 得064120)369(22=+++kx x k 因为直线l 与椭圆交于两个不同的点N M , 所以0)369(2561440022>+-=∆k k ，即9
4
2>
k ……………………….7分 设),(),,(2211y x N y x M ，MN 的中点为),(00y x Q
则20
02
01235
35,12320k kx y k k x +=+=+-=
所以)1235
,12320(2
2k k k Q ++-
…………………………9分 所以线段MN 的垂直平分线的方程为)12320(112352
2k
k
x k k y ++-=+- 令0=x ，则2
12315
k y +-=
由942
>k 得05
9<<-y …………………………..11分
综上：线段MN 的垂直平分线在y 轴上的截距的取值范围9
(,0]5
-…………..12分
21.解：（1）直线1+-=x y 的斜率为-1 函数)(x f y =的导数为x
x a x f 1
)(2+-=' ……………………………2分 所以11)1(-=+-='a f
所以2=a ……………………………..3分
因为)(x f y =的定义域为),0(+∞ 又22
2
12)(x
x x x x f -=+-
=' ………………………………4分 当),2(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数 当)2,0(∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数
综上，函数)(x f 的单调增区间是),2(+∞，单调减区间是)2,0(……………………6分 （2）因为0>a ，且对任意]2,0(e x ∈时，0)(>x f 恒成立 即
01ln >-+x x
a
对]2,0(e x ∈恒成立 即)ln 1(x x a ->对]2,0(e x ∈恒成立 ……………………………..7分 设]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-= 所以x x x g ln 1ln 1)(=--='
当)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 为增函数 当]2,1(e x ∈时，0)(<'x g ，)(x g 为减函数
所以当1=x 时，函数)(x g 在]2,0(e x ∈上取得最大值 ………………………………10分 所以11ln 1)1()(=-=≤g x g
所以实数a 的取值范围),1(+∞ ………………………………..12分 22. 解：（1）由)4
(24π
θρ+
=Cos 得：θθρSin Cos 44-=,
θρθρρSin Cos 442-=∴
即：0442
2
=+-+y x y x ,
∴C 的直角坐标方程为：()()8222
2
=++-y x …………………………..5分
(2)设A,B 两点对应的 参数分别为21,t t ，
直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+
=t y t x 2222
2和圆的方程联立得：
,04222=-+t t
所以,4,222121-=-=+t t t t <0 所以,
2
6
1111212121=
-=+=+t t t t t t PB PA …………………………10分 23.解：（1）因为m a x ≤-所以m a x m a +≤≤-
3,25
1
==∴⎩⎨
⎧=+-=-m a m a m a …………………………………..5分 （2）2=a 时等价于x t x ≥+-2
当,2,2x t x x ≥+-≥因为20<≤t ，所以舍去 当,2
2
0,2,20+≤≤∴≥+-<≤t x x t x x 成立 当x t x x -≥+-<2,0成立
所以，原不等式解集是⎥⎦⎤
⎝
⎛+∞-22,t
…………………………………..10分。