高三数学-2018年长沙市一中高三数学(文理)综合测试题(

2018年长沙市一中高三数学（文、理）
综合测试题（一）
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．函数)6
32cos(32sin )(π
-+=x x x f 的图象相邻的两条对称轴间的距离是（ ） A ．3π
B ．π23
C ．π34
D ．π3
2
2．直线（x +1）a +（y +1）b =0与圆x 2+y 2=2的位置关系是（ ） A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交成相切
3．等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0且q ＞1”是“对于任意自然数n ，都有a n +1＞a n ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4．设θ是三角形的一个内角，且sin θ+ cos θ=5
1
，则方程x 2sin θ-g 2cos θ=1表示（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆
B ．焦点在y 轴上的椭圆
C ．焦点在x 轴上的双曲线
D ．焦点在y 轴上的双曲线
5．已知直线m 、n 、l 、平面α、β：①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；②若α⊥β，m ⊥l ，
β⊂l ，则m ⊥β；③若m 、n 为异面直线，m ∥α，则n 与α相交；④若m ⊥n ，m
⊥α，α∉n ，则n ∥α.
以上命题中，正确的命题个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某 信息经过该段网线所需的时间（单位：毫秒），信 息由结点A 传递到结点B 所需最短时间为（ ） A ．5毫秒 B ．4.9毫秒 C ．4.8毫秒
D ．4.7毫秒
7．6人一个小组，其甲为组长，乙为副组长，从6人中任选4人排成一排，当正、副组长都入选时，组长必须排在副组长的左边（可以不相邻），则所有不同的排法种数是（ ） A ．288
B ．276
C ．252
D ．72
8．函数y =log 2
1
21
-x 的反函数的定义域为（ ） A ．),(+∞-∞ B ．),0(+∞ C ．)0,(-∞
D ．),0()0,(+∞⋃-∞
9．直线l 是双曲线122
22=-b
y a x ，[a ＞0,b ＞0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦
点的圆，被直线l 分成弧长为2:1的两段圆弧，则双曲线的离心率是（ ） A ．3
B ．5
C ．
2
6
D ．2
10．如果二项式n
x
x )2(3-
的展开式中第8项是含3x 的项，则自然数n 的值为（ ） A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
11．如图，CBD ABD ∆≅∆，且ABD ∆为等腰三角形，
90=∠=∠BCD BAD ，平面
ABD ⊥平面BCD ，则下列4个结论中，正确的序号是（ ）
①AC ⊥BD ②ACD ∆是等边三角形
③AB 与面BCD 成60°角 ④AB 与CD 成60°角 A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④
D ．②③④
12．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离合风中心30km 内的地区
为危险区，城市B 在A 的正东40km 处，B 城市处于危险区内的时间为（ ） A ．0.5h
B ．1h
C ．1.5h
D ．2h
二、填空题（每题4分，共16分） 13．函数)1(13)(-≠+-=
x x ax x f ，若它的反函数是x
x x f -+=-13
)(1，则a = .
14．在ABC ∆中，)2
cos(
)cos(3A C B +++π
的取值范围是
.
15．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 5=2，a n －4=30（n ≥5，n ∈N +），S n =336，则n =
.
16．已知α、β为实数，给出下列三个论断：
①||βα-≤||βα+ ②||βα+＞5 ③||α＞22，||β＞22 以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是
.
B
D
A
C
综合测试题（一）答卷
一、选择题（5分×12=60分）
二、填空题（4分×4=16分）
13． 14． 15．
16．
三、解答题
17．（12分）平面上有两个向量)1,0(),0,1(21==→
→e e .今有动点P 从)2,1(0-P 开始沿着与向
是→→+21e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为||21→
→+e e ，另一动点Q 从点)1,2(0--Q 出发，沿着与向是2123→
→
+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为2123→
→
+e e ，设p 、Q 在t=0秒时，分别在P 0、Q 0处，则当→
→
⊥00Q P PQ 时，用了多长时间.
18．（12分）正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为11,3C A 的中点为D.
（1）求证：BC 1∥平面AB 1D ； （2）求二面角A 1—B 1D —A 的大小； （3）求点B 到平面AB 1D 的距离.
19．（12分）在边长为a 的正三角形的三角处各剪去一个四边形，这个四边形是由两个余
系的直角三角形组成的，并且这三个四边也全等，如图1，若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图2，则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值.
20．（12分）已知等差数列{a n }中，a 2=8，S 10=185.
（文科做）（1）求数列{a n }的通项公式a n.
（2）若从数列{a n }中依次取出第2，4，8，…，2n ，…项，按原来的顺序
排成一个新数列{b n }，试求{b n }的前n 项和An.
（理科做）已知2)1()(-=x x f ，数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为
)1(≠∈q R q q 且的等比数列，设)1(),1(31+=-=d f a d f a ，),1(1+q f p )1(3-=q f p .
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）设数列{C n }的前n 项和为S n ，如果对一切N n ∈，都有
122
11+=+++n n n a b c b c b c 成立，求n
n n S S tim 212+∞→.
21．设)(,x f R a ∈为奇数，且1
44)2(2
+-⋅=-x
x a a x f （1）试求a 的值及)()(1
x f x f -的反函数.
（2）设k x x g +=1log )(2
若]3
2,21[∈x 时，有)()(1
x g x f ≤-恒成立，求系数k 的取值范围.
22．如图，在ABC Rt ∆中，2
2
,2,90=
==∠AC AB CAB
，D 是线段AB 的垂平分线上一点，D 到AB 的距离为2，过点C 的曲线E 上任一点P 满足||||→
→
+PB PA 为常数. （1）建立适当的坐标点，求出曲线E 的方程：
（2）过点D 的直线e 与曲线E 相交于不同的两点M 、N ，且M 点在D ，之间，若
→
→=DN DM λ，求λ的取值范围.
B
综合测试题（一）答案
一、1．B
2．D 3．A 4．D
5．B
6．C
7．A
8．A
9．D
10．C 11．B 12．B
二、13．1
14．)3,2[-
15．21
16．①③⇒②
三、17．P 0(-1,2)，Q 0(-2,-1)，∴)3,1(00--=Q P ，)1,1(21=+e e .)2,3(2321=+e e ，
∴)2,3(),,()1,1(00t t Q t t t P ===，∴)12,23(),2,1(--+-t t Q t t P .
∴)3,12(--=t t .∵00Q P PQ ⊥. ∴1×(2t -1)-3(t ÷3)=0. ∴t =2. ∴用于2秒钟.
18．（1）连结A 1B 与AB 1交于点O ，连结OD ，则O 为A 1B 的中点，又D 为A 1C 1的
中点. ∴OD ∥BC ，又BC 1⊄平面AB 1D ，D ⊂平面AB 1D . ∴BC 1∥平面AB 1D . （2）∵111C B A ∆为正三角形，A 1D =C 1D ，∴B 1D ⊥A 1C 1又AA 1⊥平面A 1B 1C 1，由三垂线定理可知AD ⊥B 1D ，∴∠A 1DA 为A 1-B 1D -A 的平面角.Rt △AA 1D 中，AA 1=3，A 1D =1.∴cos ∠A 1DA =3，∴∠A 1DA =60°，∴A 1–B 1D –A 的平面角为60°. （3）∵BC 1∥平面AB 1D . ∴B 、C 1到平面AB 1D 的距离相等.
∴D AB C D AB B V V 111--=. ∵平面AA 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，B 1D ⊥A 1C 1，∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C ，∴B 1D ⊥AD .又B 1D =3，AD =2,
∴
324321312321312⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯h ∴2
3
=
h . ∴点B 到平面ABD 的距离为
2
3
. 19．设容器的高为x ，则容器底面正三角形的边长为x a 32-.
2)()32(43x a x V x -⋅=
（0＜x ＜
32a
) )36)(32(4
3
)(x a x a V x --=
'. 令a a x OB
V x 1813
3
6)(=
=
='.及32a x =
.但0＜x ＜3
2a ，∴a x 183=. 当)18
3
,
0(a x ∈时，)(x V '＞0，V (x )为增函数； 当)2,183(
B
a
a x ∈时，)(x V '＜0，V (x )为减函数. ∴当a x 183=
时，容器的容积最大，最大值为2)18
332(18343a a a ⋅-⨯= 54
3
a .答：（略） 20．（文）（1）设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨
⎧=+=+185
460811d a d a ∴35
1==d a
∴a n =5+(n -1)×3，即a n =3n +2. （2）2232+⋅==n
n n a b .
.26261
2)
12(232)222(32
n n A n n n
n +-⨯=--⨯=++++⨯=
（理）（1）2d = a 3 – a = d 2 – (d – 2)2 , ∴d =2，a 1=0，∴a n =2n – 2.
2
2
13)2(q
q b b -=， ∴q = –2，b 1=q 2=4，b n =(-2)n +1. （2）1
1221122111,--++++=+++=
n n n n n n b c b c
b c a b c b c b c a
∴211=-=
-++n n n
n n n a a b c a a 又，∴1)2(2+-⋅=n n c
∴{c n }是首项为8，公比为 –2的等比数列.
])2(1[3
8
]
)2(1[38
121222++--=--=n n n n s s
∴.2)2(1)2(1lim 21
2212-=----=+∞→+∞→n
n n n
n n lin s s 21．（1）∵f (x )为奇函数且定义域为R ，∴f (0)=0。

又122)2(222+-⋅=-x
x a a x f ，∴122)(2+-⋅=-x x a a x f ，∴012)0(0
2
=+-=-a a f . ∴1
21
2)(,1+-==x x x f a .
由y y y x x x -+=
+-=1121
212得,∴y y x -+=11log 2,∴x x x f -+=-11log )(21
(-1＜x ＜1) （2）)(1
x f -≤g (x )，即x x
-+11log 2
≤]3
2,21[1log 2
∈+x k x
（二） x x -+11≤2
)1(
k x +
k
x
+1＞0 ∴k 2≤1-x 2且k ＞0，∴1-x 2在]32,21[的最小值为
9
5. 故k 2≤
95，又k ＞0，∴0＜1≤3
5. 22．（1）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系.
∵22||||||||=+=+CB CA ＞2. ∴动点为轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆，E b c a ,1,1,2===
的方程为
3
2,21[∈x
.12
22
=+y x （2）设N (x 1,y 1)，M (x 2, y 2)，则由λ=可得⎩⎨⎧-+==)1(212
1
2λλλy y x x
又M 、N 在曲线E 上.
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+1
)]1(2[2
)(12212
12
121λλλy x y x
由①得212
112
y x -=代入②得1)1(4)1(4)1(21212212=-+-++-λλλλλy y y 即0)1(4)1[4)1(212=-+-+-λλλλy ∵1≠λ，∴y
y 453
,0)1(44)1(1-=
=-+++λλλλ
∵]1,1[1-∈y ，∴]9,1[451∈-y ，∴
]1,9
1
[4511∈-y
∴]3,31
[∈λ，又)1,0(∈λ，∴)1,3
1[∈λ
①
②。