2019届福建省厦门市高中毕业班第一次(3月)质量检查数学(文 )试题(解析版)

2019届福建省厦门市高中毕业班第一次（3月）质量检查数
学（文)试题
一、单选题
1．若集合，，则（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解不等式得到集合A后再求出即可．
【详解】
由题意得，
所以．
故选A．
【点睛】
本题考查集合的交集运算，通过解不等式求出集合A是解题的关键，考查计算能力，属于简单题．
2．是虚数单位，则的虚部是（）
A．-2 B．-1 C．D．
【答案】B
【解析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．
【详解】
由题意得，
所以复数的虚部是．
故选B．
【点睛】
本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数
的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．
3．已知，，，则（）
A．0 B．1 C．D．2
【答案】D
【解析】根据向量的垂直求出，然后可求出．
【详解】
∵，，
∴．
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，求解时注意向量运算的坐标表示，然后根据相关运算的定义进行求解，考查计算能力．
4．设双曲线：的离心率为2，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据离心率求出间的关系，然后可求出双曲线的渐近线方程．
【详解】
∵，
∴，
∴双曲线的方程为．
由得，即，
∴双曲线的渐近线方程为．
故选B．
【点睛】
已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号后的“1”改为“0”，
然后求出与之间的一次关系，即为渐近线方程．本题考查双曲线中的基本运算和离心率，解题时注意各个基本量间的关系及转化．
5．在中，，，，则的面积等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意及正弦定理得，然后根据余弦定理求出，最后结合面积公式可得三角形的面积．
【详解】
由及正弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以．
又，
所以．
故选D．
【点睛】
三角形的面积常与解三角形结合在一起考查，解题时要根据条件得到求面积时的所需量，往往要用到三角形中边角间的互化，考查变形和计算能力，属于中档题．
6．下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）
A．2018年3月的销售任务是400台
B．2018年月销售任务的平均值不超过600台
C．2018年第一季度总销售量为830台
D．2018年月销售量最大的是6月份
【答案】D
【解析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论．【详解】
对于选项A，由图可得3月份的销售任务是400台，所以A正确．
对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为
，所以B正确．
对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确．
对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确．
故选D．
【点睛】
本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题．
7．已知是偶函数，且对任意，，设，
，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得偶函数在上为增函数，可将问题转化为判断
到y轴的距离的大小问题求解．
【详解】
∵对任意，，
∴函数在上为增函数．
又函数为偶函数，
∴在上单调递减，在上单调递增．
又，
∴，即．
故选B．
【点睛】
已知函数为偶函数判断函数值的大小时，由于函数在对称轴两侧的单调性不同，所以可根据单调性将比较函数值大小的问题转化为比较变量到对称轴的距离的大小的问题求解，解题时可结合图象进行求解，考查判断和计算能力，属于中档题．
8．设函数，若直线是图像的一条对称轴，则（）A．的最小正周期为，最大值为1
B．的最小正周期为，最大值为2
C．的最小正周期为，最大值为1
D．的最小正周期为，最大值为2
【答案】A
【解析】先根据直线是图象的一条对称轴，并借助特殊值求出参数的值，再将函数化为的形式后求解即可得到答案．
【详解】
∵直线是图象的一条对称轴，
∴，
即，解得．
∴，
∴的最小正周期为，最大值为．
故选A．
【点睛】
利用特殊值求出是解题的关键，另外，解决有关三角函数的问题时，首先应将函数解析式化为的形式，然后将看作一个整体，再结合正弦函数的相关性质求解，注意“整体代换”的应用，属于基础题．
9．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），
从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据古典概型概率求解，先确定从八卦中任选两卦的所有可能的种数，再求出取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的种数，进而可得所求概率．
【详解】
由题意得，从八卦中任取两卦的所有可能为种，设“取出的两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线”为事件A，则事件A包含的情况为：一卦有三根阳线、另一卦有两根阳线和一根阴线，共有3种情况．
由古典概型概率公式可得，所求概率为．
故选A．
【点睛】
根据古典概型求事件A的概率时，首先要求出试验的所有的结果，即所有的基本事件数，然后再求出事件A包含的基本事件的个数，最后根据公式求解即可．求基本事件数时，常用的办法是列举法，列举时要做到不重不漏．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据三视图得到三棱锥的直观图，再根据三棱锥的结构特征判断出球心的位置，并根据题中的数据求出球的半径，进而可得球的表面积．
【详解】
由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在
和中，，．
取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，
所以球心在上．
设球半径为，则在中，，
由勾股定理得，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故选C．
【点睛】
求几何体外接球的体积或表面积时，关键是求出球的半径，其中确定球心的位置是解题的突破口．对于椎体的外接球来讲，球心在过底面圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后在球心、底面圆的圆心和球面上一点构成的直角三角形中求解可得球半径，进而可得所求结果．考查计算能力和空间想象能力．
11．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，画出两函数的图象，结合图象可得所求的范围．
【详解】
∵函数恰有两个零点，
∴方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，
∴函数的图象和函数的图象有两个不同的交点．
①当时，显然不符合题意．
②当时，函数的图象为过原点且斜率小于0的直线．
画出两函数的图象，如下图所示．
由图象可得两函数的图象总有两个不同的交点．
所以符合题意．
③当时，函数的图象为过原点且斜率大于0的直线．
画出两函数的图象，如下图所示．
由图象可得，当时，两函数的图象总有一个交点，
所以要使得两函数的图象再有一个交点，只需直线的斜率小于曲线在原点处的切线的斜率．
由，得，
所以，
所以，解得，
所以．
综上可得或．
故选A．
【点睛】
本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键是结合函数的图象、并根据参数的几何意义进行求解，解题时要根据题意对参数进行分类讨论，考查画图能力和分类讨论思想方法的运用．
12．设动点在抛物线上，点，直线的倾斜角互补，中点的纵坐标为，则不可能为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由题意设直线的方程为，将直线方程和抛物线方程联立消元后得到，借助根与系数的关系可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，于是得到．再根据判别式得到的取值范围，进而可得的取值范围．
【详解】
设，直线的方程为，
由消去y整理得，
∵直线和抛物线交于两点，
∴，解得且．
又点，
∴，故，
∴．
以代替上式中的，可得．
∴，
由且可得且．
故选C．
【点睛】
解答本题的关键是求出两点的坐标，进而得到的表达式．求解时借助代数运算求解，由于解题过程中要涉及到大量的运算，所以在解题中要注意合理运用代换的方法以达到简化运算的目的，考查转化和计算能力．
二、填空题
13．已知，则__________．
【答案】
【解析】由题意求出和，然后再利用倍角公式求解．
【详解】
∵，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查同角三角函数关系及倍角公式，解题时容易出现的错误是忽视函数值的符号，属于简单题．
14．若满足，则的最大值为__________．
【答案】2
【解析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线
并结合的几何意义求解可得结果．
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
由变形得，
平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线
在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．
由，解得，
所以点A的坐标为，
所以．
故答案为2．
【点睛】
求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：
，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当
时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
15．在中，，，，动点在以点为圆心，半径为1的圆上，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意建立平面直角坐标系，设，然后将数量积用点的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．
【详解】
如图，以点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系．
则，
设，则，
∴
，
其中表示圆A上的点P与点间距离的平方，
由几何图形可得，
∴．
故答案为．
【点睛】
（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．
（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求解，解题时注意几何方法的运用．
16．在正三棱锥中，，，分别为的中点，平面过点
，平面，平面，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】根据题意画出图形，作出异面直线和所成的角，再根据题中的数据利用解三角形的知识求解可得结果．
【详解】
画出图形，正三棱锥如图所示．
因为平面，平面，平面平面，
所以．
取的中点，连接，则，
所以，
所以为异面直线和所成角或其补角．
取的中点，则，，
又，
所以平面，
又平面，
所以，
所以．
在中，，，
所以，，
所以异面直线和所成角的余弦值为．
【点睛】
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，解题时要注意异面直线所成角的范围．
三、解答题
17．已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，
.
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由可得，再根据等差数列的通项公式得到；然后再由得到，两式作差后可得．（2）当时根据裂项相消法求得，最后验证当
时也成立，于是可得所求结果．
【详解】
（1）依题意得，
又数列为公差为2的等差数列，
所以，
所以．
因为
所以，
两式相减得：，，
所以，，
又不满足上式，
所以．
（2）当时，
所以
，
又当时，满足上式，
所以.
【点睛】
（1）求数列的通项公式时要根据所给条件选择合适的方法，常见例类型有：已知数列类型求通项，累加（乘）求通项，已知数列和的形式求通项、构造法求通项等．
（2）用裂项相消法求数列的和时要注意从第几项开始进行列项，另外裂项相消后所剩项具有前后对称的特点，即前面剩几项后面就剩几项，前面剩第几项后面就剩第几项．18．如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，
.
（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；
（2）若，，求多面体的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．
【详解】
（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.
理由如下：
因为均垂直于平面，
所以，
因为，，
所以四边形为梯形．
又分别为中点，
所以，，
所以，，
所以为平行四边形，
因为，为中点，
所以．
又平面，平面，
所以．
又，
所以平面
又平面，
所以平面平面，
所以平行四边形即为所作的截面.
（2）法一：过点作于点．
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面
在中，，，，
得，
所以，
因为，
所以，
，
所以.
法二：将多面体补成直三棱柱，
其中，，，，
则
在中，，，，
得，
所以，
所以，
所以.
法三：在多面体中作直三棱柱，
则，
在中，，，，
得，
所以，
设边上的高为，
则，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面．
所以，
，
所以．
【点睛】
对于空间中线面位置关系的判定，解题时要结合图形选择合适的定理进行证明即可，解题时有时要添加辅助线，因此要注意常见辅助线的作法．求几何体的体积时，对于不规则的几何体，可采取分割或补形的方法，转化为规则的几何体的体积求解，考查转化和计算能力．
19．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销
售量的数据，得到散点图如图所示：
（1）利用散点图判断，和（其中为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）.（2）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：
根据（1）的判断结果及表中数据，求关于的回归方程；
（3）已知企业年利润（单位：千万元）与的关系为（其中），根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距
的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）选择回归类型；（2）；（3）2.7亿元.
【解析】（1）根据散点图的形状可判断应选择回归类型．（2）将两边取对数，把问题转化为线性回归方程求解．（3）根据（2）中的回归方程，结合导数的知识求得其最大值即可．
【详解】
（1）由散点图知，选择回归类型更适合．
（2）对两边取对数，得，即
由表中数据得：，
∴，
∴，
∴，
∴年研发费用与年销售量的回归方程为.
（3）由（2）知，，
∴，
令，得，
且当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为亿元.
答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入2.7亿元.
【点睛】
求非线性回归方程时，通过换元或取对数的方法将非线性的形式转化为线性回归方程求解．由于在计算中要涉及大量的计算，所以在解题时要注意计算的准确性、合理运用题中给出的中间数据，考查转化能力和计算能力，属于中档题．
20．已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点
，直线与直线交于点.
（1）当垂直于轴时，求直线的方程；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。

（2）由于在轴上，所以只需证明点的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法．
【详解】
（1）设点，
当垂直于轴时，可得，所以，
所以点的坐标为，
又，
所以，
所以直线的方程为．
（2）法一：
①当直线的斜率不存在时，其方程为，
若，则，此时方程为，当时，，所以
，因此，所以．
若，则，此时方程为，当时，，所以，
因此，所以．
综上可得．
②当直线的斜率存在时，设，
由消去y整理得，
其中，
设，，则，
因为，
所以直线的方程为
当时，得，
因为
．
所以，
所以．
法二：
设直线，
由消去x整理得，
其中，
设，，则，
所以，故所以．
因为，
所以直线的方程为，
当时，得，
所以，
所以．
【点睛】
解答圆锥曲线问题的基本思路是把题目信息坐标化，即通过代数方法并经过运算达到解
答几何问题的目的，因此在解题中会遇到大量的运算，为此要注意计算的合理性，通过换元等方法使得运算尽量简单，如在本题的解法中，通过反设直线的方程避免了对直线斜率是否存在的讨论，使运算变得简单．
21．设函数.
（1）求的极值；
（2）证明：.
【答案】（1）函数的极小值为，无极大值；（2）详见解析.
【解析】（1）利用导数对函数的单调性进行分析，可得当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．（2）方法一：将不等式变形为
，然后构造函数，通过分析判断函数的单调性进行证明即可．方法二：令
，则由可得单调递增，
故得，然后再证明即可．
【详解】
（1）因为，
所以，
因为，
所以在上单调递增，
又，
所以当，单调递减；当，单调递增．所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．
（2）法一：的定义域为，
要证，
只需证，
只需证．
令，
则
，
因为，
所以当时，单调递减；当时，单调递增．
所以，即，
故当时，.
法二：令，
当时，，
要证，
只需证，
令，
则，
当时，单调递减；当时，单调递增．所以，即，
所以．
故当时，．
法三：的定义域为．
令，
因为，由得；由，得；
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，即．
要证
只需证，
只需证，
只需证．
令，
则，
因为，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，即.
故时，.
【点睛】
（1）对于讨论函数单调性的问题，当题目中含有参数时，若单调性要受到参数的影响时，此时需要对参数进行分类讨论．
（2）用导数证明不等式的常见类型有：①直接构造函数来证明，此时需要通过对单调性的讨论得到函数的最值，进而可达到证明的目的；②对所给不等式进行变形，然后再构造函数，通过求出函数的最值达到证明的目的；③当不等式中含有多个参数时，可采取逐步消去参数的方法，将不等式化为单变量的不等式，然后构造函数进行证明．22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为
极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若上恰有2个点到的距离等于，求的斜率.
【答案】(1) 的普通方程为, C的直角坐标方程为(2)
【解析】(1)分类讨论，消去参数t，得到的普通方程，利用，及
得到的直角坐标方程；
(2)，根据题意可知上恰有2个点到的距离等于等价于上的点到的距离的最大值为，利用椭圆的参数方程及点到直线距离，即可得到的斜率.
【详解】
（1）当，即时，的普通方程为
当，即时，的普通方程为
由，及，得
即C的直角坐标方程为
（2）依题意，设
所以上恰有2个点到的距离等于等价于上的点到的距离的最大值为
设上任一点，则到的距离
（其中，）当时，，
解得：，所以的斜率为
【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组
的解集，再取并集，即得所求；
(2)对x分类讨论，当时，，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到的取值范围.
【详解】
（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；
当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，所以；
综上所述，不等式解集为.
（2）由，得
当时，恒成立，所以；
当时，
因为
当且仅当即或时，等号成立
所以，
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。