高中数学第6章推理与证明6.3数学归纳法(2)课堂讲义配
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2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的 特点？
答 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法的含义由特殊到一般
完全归纳法
归纳法是一种
的推理方法，分
和
不完全归纳法 两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，
必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 正整数
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
6.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌 握用数学归纳法证明等式、不等式、整除 问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：
提公因式、添项、拆项、合并项、配方 等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？ 答 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不 可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推 的依据．
1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整
除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1
能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋
1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
＝12(k＋1)(k－2) ＝12(k＋1)[(k＋1)－3] 故当 n＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)知，对任意 n≥3，n∈N*，命题成立．
规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关 键在于分析由
n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)
增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了
几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即212＋312＋412＋…＋k12<1－1k， 则当 n＝k＋1 时， 212＋312＋412＋…＋k12＋k＋112<1－1k＋k＋112
＝1－kk＋k＋121－2k＝1－kk2＋k＋k＋112 <1－kkkk＋＋112＝ 1－k＋1 1， 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 综上所述，对任意 n≥1＋131＋15…1＋2k－1 11＋2k＋11－1>
2k2＋1·22kk＋＋12＝2 2k2＋k＋2 1＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
42k2＋2k8＋k＋1 3＝ 2k2＋·32·k＋2k1＋1＝ 2k＋21＋1，
结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明： 一要注意数形结合；二要注意要有必要的文 字说明．
跟踪演练 3 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条 不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)＝nn－2 1. 证明 (1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个，又 f(2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2 时，命题成立．
当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增 加了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻 顶点的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数 为 k－2＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1 ＝12(k2－k－2)
规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要 用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过 放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等 式．
跟踪演练 1 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不
等式1＋131＋15…1＋2n1－1> 2n2＋1成立． 证明 (1)当 n＝2 时，左＝1＋13＝43，右＝ 25，左>右， ∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即 1＋131＋15…1＋2k－1 1> 2k2＋1，
∴n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
要点二 用数学归纳法证明整除性问题
例2 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n
＋9能被36整除．
证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋
9＝36，能被36整除．
②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋ 7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，
由(1)，(2)知命题成立．
要点三 用数学归纳法证明几何问题 例 3 用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线有12n(n－3)条．
证明 ①当 n＝3 时，12n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对 角线，故结论正确． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确， 即凸 k 边形的对角线有12k(k－3)条，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36 整除，
所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整
除．
(2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设 的任何 k 条直线的交点个数 f(k)＝12k(k－1)， 那么，当 n＝k＋1 时， 任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线的交点个数为 f(k)＝12k(k－1)， l 与其他 k 条直线交点个数为 k， 从而 k＋1 条直线共有 f(k)＋k 个交点，
有关数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假
设.
要点一 用数学归纳法证明不等式问题 例 1 用数学归纳法证明：
212＋312＋412＋…＋n12<1－1n(n≥2，n∈N*)． 证明 (1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立．
答 与正整数n有关的命题
[预习导引]
1．归纳法的含义由特殊到一般
完全归纳法
归纳法是一种
的推理方法，分
和
不完全归纳法 两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，
必须用数学归纳法进行严格证明．
2．数学归纳法
(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与 正整数
规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题
时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆
项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬
提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的 项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的 式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，
从而达到利用假设的目的．
跟 踪 演 练 2 用 数 学 归 纳 法 证 明 62n － 1 ＋
6.3 数学归纳法(二)
[学习目标]
1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌 握用数学归纳法证明等式、不等式、整除 问题、几何问题等数学命题．
2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：
提公因式、添项、拆项、合并项、配方 等．
[知识链接]
1．数学归纳法的两个步骤有何关系？ 答 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不 可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推 的依据．
1(n∈N*)能被7整除． 证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整
除．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1
能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋
1
＝36(62k－1＋1)－35.
∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
＝12(k＋1)(k－2) ＝12(k＋1)[(k＋1)－3] 故当 n＝k＋1 时命题成立． 由(1)(2)知，对任意 n≥3，n∈N*，命题成立．
规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关 键在于分析由
n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)
增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了
几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即212＋312＋412＋…＋k12<1－1k， 则当 n＝k＋1 时， 212＋312＋412＋…＋k12＋k＋112<1－1k＋k＋112
＝1－kk＋k＋121－2k＝1－kk2＋k＋k＋112 <1－kkkk＋＋112＝ 1－k＋1 1， 所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 综上所述，对任意 n≥1＋131＋15…1＋2k－1 11＋2k＋11－1>
2k2＋1·22kk＋＋12＝2 2k2＋k＋2 1＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 >
42k2＋2k8＋k＋1 3＝ 2k2＋·32·k＋2k1＋1＝ 2k＋21＋1，
结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明： 一要注意数形结合；二要注意要有必要的文 字说明．
跟踪演练 3 平面内有 n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条 不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)＝nn－2 1. 证明 (1)当 n＝2 时，两条直线的交点只有一个，又 f(2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当 n＝2 时，命题成立．
当 n＝k＋1 时，凸(k＋1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增 加了一个顶点，设为 Ak＋1，增加的对角线是顶点 Ak＋1 与不相邻 顶点的连线再加上原 k 边形一边 A1Ak，共增加了对角线的条数 为 k－2＋1＝k－1. ∴f(k＋1)＝12k(k－3)＋k－1 ＝12(k2－k－2)
规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要 用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过 放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等 式．
跟踪演练 1 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不
等式1＋131＋15…1＋2n1－1> 2n2＋1成立． 证明 (1)当 n＝2 时，左＝1＋13＝43，右＝ 25，左>右， ∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即 1＋131＋15…1＋2k－1 1> 2k2＋1，
∴n＝k＋1 时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
要点二 用数学归纳法证明整除性问题
例2 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n
＋9能被36整除．
证明 ①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋
9＝36，能被36整除．
②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋ 7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，
由(1)，(2)知命题成立．
要点三 用数学归纳法证明几何问题 例 3 用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线有12n(n－3)条．
证明 ①当 n＝3 时，12n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对 角线，故结论正确． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确， 即凸 k 边形的对角线有12k(k－3)条，
f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，
而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36 整除，
所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整
除．
(2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，即平面内满足题设 的任何 k 条直线的交点个数 f(k)＝12k(k－1)， 那么，当 n＝k＋1 时， 任取一条直线 l，除 l 以外其他 k 条直线的交点个数为 f(k)＝12k(k－1)， l 与其他 k 条直线交点个数为 k， 从而 k＋1 条直线共有 f(k)＋k 个交点，
有关数学命题；
(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假
设.
要点一 用数学归纳法证明不等式问题 例 1 用数学归纳法证明：
212＋312＋412＋…＋n12<1－1n(n≥2，n∈N*)． 证明 (1)当 n＝2 时，左式＝212＝14，右式＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立．