高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形考前增分微课2解三角形的综合应用课件理新人教A版 (1)

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2
α＋cos 2
α
＝
1。

(2)商数关系：tan α＝sin α
cos α。

2．三角函数的诱导公式
公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z 。

公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α。

公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α。

公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α。

公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
π
2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π
2－α＝sin α。

公式六：sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫π2＋α
＝cos α，cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫π2＋α
＝－sin α。

1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2
＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α。

2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π
2的奇数
倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

一、走进教材
1．(必修4P 19例6改编)已知sin α＝55，π
2≤α≤π，则
tan α＝( )
A ．－2
B ．2
C ．1
2
D ．－12
解析 因为cos α＝－1－sin 2
α＝－1－⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫552
＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－1
2。

答案 D
2．(必修4P 20练习T 4改编)化简1－cos 2
2θ
cos2θtan2θ＝________。

解析 1－cos 2
2θ
cos2θtan2θ＝
sin 2
2θ
cos2θ·
sin2θ
cos2θ
＝sin2θ。

答案 sin2θ 二、走近高考
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2
α＋2sin2α＝
( )
A ．6425
B ．4825
C ．1
D ．1625
解析
cos 2
α＋2sin2α＝cos 2
α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2
α
＝1＋4tan α
1＋tan 2
α＝1＋4×
3
41＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫342＝6425。

答案 A
4．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称。

若sin α＝1
3，则
sin β＝________。

解析 由题意可知角α在第一或第二象限，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin(π－α)＝sin α＝13。

答案 1
3
三、走出误区
微提醒：①不会运用消元思想转化为关于tan x 的齐次式；②不会对式子变形，且不注意角的范围出错；③诱导公式记忆不熟出错。

5．已知tan x ＝2，则sin 2
x ＋1的值为( ) A ．0 B ．95
C ．43
D ．53
解析 sin 2
x ＋1＝2sin 2
x ＋cos 2
x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2
x ＋1tan 2
x ＋1＝95，故选B 。

答案 B 6．化简cos α1－sin α
1＋sin α
＋sin α
1－cos α1＋cos α⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
π<α<3π2得( )
A ．sin α＋cos α－2
B ．2－sin α－cos α
C ．sin α－cos α
D ．cos α－sin α 解析 原式＝cos α
(1－sin α)
2
cos 2
α
＋sin α(1－cos α)
2
sin 2α
＝cos α·1－sin α|cos α|＋sin α·1－cos α|sin α|，因为π<α<3
2π，所以
cos α<0，sin α<0。

所以原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2。

故选A 。

答案 A
7．若sin(π＋α)＝－1
2
，则sin(7π－α)＝__________，
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
α＋3π2＝________。

解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝1
2，则sin(7π－
α)＝sin(π－α)＝sin α
＝12，cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝
⎛
⎭⎪⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π2＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π2－α＝sin α＝12。

答案 12 12
考点一同角三角函数的基本关系 方向1：“知一求二”问题 【例1】 (1)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
π
2，π
，则sin(π
＋α)＝( )
A ．－1－k 2
B ．1－k 2
C ．±1－k 2
D ．－k
(2)(2019·厦门质检)若α∈⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫
π
2，π
，sin(π－α)＝3
5
，
则tan α＝( )
A ．－43
B ．4
3
C ．－34
D ．34
解析 (1)由cos α＝k ，α
∈⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π2，π
得sin α＝1－k 2
，所
以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2。

故选A 。

(2)因为α∈⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫
π2，π
，sin α＝35，所以cos α＝－4
5
，所以tan α＝－3
4。

答案 (1)A (2)C
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形。

同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的。

方向2：弦切互化
【例2】 (1)(2019·河南平顶山、许昌两市联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2
α＋12
sin2α的值是( )
A ．35
B ．－3
5
C ．－3
D ．3
(2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________。

解析 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α
＝2，则cos 2
α＋12
sin2α＝cos 2
α＋sin αcos α＝
cos 2
α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2
α＝3
5。

故选A 。

(2)由(sin θ＋3cos θ)2
＝1＝sin 2
θ＋cos 2
θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2
θ，又因为θ
为第四象限角，所以
cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－4
3。

答案 (1)A (2)－4
3
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型。

方向3：sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 【例3】 (1)(2019·山西晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233
，则sin 4θ＋cos 4θ＝( )
A ．56
B ．1718
C ．89
D ．23
(2)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2
＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ＝( )
A ．1－32
B ．1＋32
C ． 3
D ．－ 3
解析 (1)因为|sin θ|＋|cos θ|＝23
3，两边平方，得1
＋|sin2θ|＝43。

所以|sin2θ|＝13。

所以sin 4θ＋cos 4
θ＝1－
2sin 2
θcos 2
θ＝1－12sin 2
2θ＝1718。

故选B 。

(2)因为sin θ，cos θ是方程2x 2
＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )
的两根，所以sin θ＋cos θ＝1－32，sin θ·cos θ＝m
2，可得
(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m ＝2－3
2
，解得m ＝
－32。

因为θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，因为(sin θ－cos θ)2
＝1－2sin θ·cos θ＝1－m ＝1＋3
2
，所以sin θ－cos θ＝
1＋32＝1＋3
2。

故选B 。

答案 (1)B (2)B
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝
t 2－1
2
，
sin α－cos α＝±2－t 2
(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用。

【题点对应练】
1．(方向1)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π2－α值为( )
A ．2 2
B ．－2 2
C ．24
D ．±2 2
解析 因为sin(π＋α)＝－13，所以sin α＝1
3
，cos α＝
±223，tan ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫π2－α＝cos αsin α＝±22。

故选D 。

答案 D
2．(方向2)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2
θ的值
为( )
A ．195 B.165
C ．2310 D.1710
解析 原式＝sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝sin θ＋cos θsin θ＋
sin 2
θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan θ＋tan 2
θ
tan 2
θ＋1，将tan θ＝2代入，得原式＝23
10。

故选C 。

答案 C
3.(方向2)若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( )
A ．－43 B.34
C ．－34 D.43
解析 由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2
α＝43。

故选D 。

解析：由题意知，sin α＝－2cos α，tan2α＝sin2α
cos2α＝
2sin αcos αcos 2α－sin 2
α＝4
3。

故选D 。

答案 D
4．(方向3)已知sin α＋cos α＝1
5，α∈[0，π]，则tan α
＝( )
A ．－43
B ．－34
C ．34 D.43
解析 将sin α＋cos α＝1
5①，左右两边平方，得1＋
2sin αcos α＝125，即2sin αcos α＝－24
25<0。

又α∈[0，π]，
所以sin α>0，cos α<0，即sin α－cos α>0，因为(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝4925，所以sin α－cos α＝7
5
②，联立
①②解得sin α＝45，cos α＝－35，则tan α＝sin αcos α＝－4
3。

答案 A
考点二诱导公式及应用
【例4】 (1)已知f(α
)＝sin (2π－α)cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫
π2＋αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫－π2＋αtan (π＋α)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
π
3＝( )
A ．12
B ．2
2
C ．32
D ．－1
2
(2)已知cos(75°＋α)＝1
3，则sin(α－15°)＋cos(105°
－α)的值是( )
A ．13
B ．23
C ．－13
D ．－23
解析 (1)f(α)＝sin (2π－α)cos ⎝
⎛⎭
⎪
⎪⎫π2＋αcos ⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫－π2＋αtan (π＋α)＝
－sin α·(－sin α)
sin α·tan α＝
sin 2
αsin α·
sin αcos α
＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫π3＝cos π3＝12。

(2)因为cos(75°＋α)＝1
3，所以sin(α－15°)＋cos(105°
－α)＝sin[(α＋75°)－90°]＋cos[180°－(α＋75°)]＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2
3。

答案 (1)A (2)D
1．已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解。

转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用。

2．对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化。

特别要注意每一个角所在的象限，
防止符号及三角函数名出
错。

【变式训练】 (1)sin300°＋tan600°的值是( ) A ．－3
2
B ．3
2
C ．－1
2＋ 3
D ．1
2
＋ 3
(2)若
sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫π4－α＝13，则cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫
π
4＋α
＝________。

解析 (1)sin300°＋tan600°＝sin(－60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝3
2。

故选B 。

(2)因为sin
⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
π4－α
＝1
3，所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
π4＋α＝
cos ⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π
2－⎝
⎛⎭⎪⎪⎫π
4－α
＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫π4－α
＝13。

答案 (1)B (2)1
3
错误!
1．(配合例2使用)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2，则
tan α＝________。

解析 由题意结合同角三角函数基本关系有
⎩⎪⎨
⎪⎧
sin α＋2cos α＝102，
sin 2α＋cos 2α＝1，
解方程可得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α＝310
，
cos α＝110
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin α＝－110
，
cos α＝310
，则tan α＝
sin αcos α＝3或－1
3。

答案 3或－1
3
2．(配合例2使用)若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝3
4
x 上，则cos2α＝( )
A ．2425
B ．725
C ．17
D ．－725
解析 由题意易得tan α＝34，cos2α＝cos 2
α－sin 2
α
sin 2α＋cos 2
α＝1－tan 2
α1＋tan 2
α＝1－9
161＋
916
＝725。

故选B 。

答案 B
3．(配合例3使用)已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos α
sin α
的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．12
D ．2
解析 因为sin α＋cos α＝2，所以(sin α＋cos α)2
＝2，
所以sin αcos α＝12。

所以tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos α
sin α＝
1
sin αcos α
＝2。

故选D 。

答案 D
4．(配合例4使用)已知α
∈⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，
π6，sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝1213
，则
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫π6－α
＝( )
A ．5
12
B ．12
13
C ．－513
D ．－1213
解析 因为
sin ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎢
⎡⎦⎥⎥⎤π2
－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＝1213，所以
cos ⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫π6－α
＝1213。

故选B 。

答案 B。