河南省中原高三数学下学期第一次联考试题 理(扫描版)

高三数学下学期第一次联考试题理（扫描版）
理科数学试题参考答案
一、 选择题：
二．填空题： 【13】 72 【14】 ±1 【15】 3 【16】 ①③
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当1n =时，112S a a ==+.………………………………………1分
当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=.…………………………………………………3分 因为{}n a 是等比数列，所以111221a a -=+==，即11a =，1a =-.…………5分 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=*()n ∈N .…………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(21)(21)2n n n b n a n -=-=-⋅.
则23111325272(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⨯++-⋅ . ①
2312123252(23)2(21)2n n n T n n -=
⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ . ②
①-②得 2111222222(21)2n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯--⋅ …………………9分 2112(222)(21)2n n n -=++++--⋅
114(21)(21)2n n n -=+---⋅
(23)23n n =--⋅-.…………………………………………………12分
所以(23)23n n T n =-⋅+.……………………………………………………………13分
18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====． ………………4分 （Ⅱ）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．
所以ξ的可能取值为0,1,2，则 ………………………………………6分
242662(0)155C P C ξ====，1142268(1)15C C P C ξ===，22261
(2)15
C P C ξ===．
所以，ξ的分布列为
…………………………10分 所以，
281
20
125
15
1
E ξ=⨯+⨯
+
．
……………………………………12分
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．
因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //．……2分因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………3分
（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………4分 因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，
所以⊥CD 平面PAD ． ………………5分 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………6分 （Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．
由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -．…………7分 设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．
所以(301)EA =-u u u r ，，，(440)AC =-u u u r ，，．
设平面EAC 的法向量为()n x y z =r ，，，则有0
n EA n AC ìï=ïíï=ïîr u u u r g r u u u
r g 所以 ⎩
⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(113)n =r ，
，． ………………9分
易知平面ABCD 的法向量为(01)v =r
，0，． ………………10分
所以cos ,11n v n v n v
<>=v v v v g v v ． ………………11分
因为二面角与两平面的法向量所成角相等或互补， 而由图可知二面角B AC E --的平面角
是钝角 ，所以二面角B AC E --的余弦值为1111
3-
． ………………12分 解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．
由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyz M -． 设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．
所以(301)EA =-u u u r ，，，(440)AC =-u u u r ，，．
设平面EAC 的法向量为()n x y z =r ，，，则有00
n EA n AC ìï=ïíï=ïîr u u u r g r u u u r g 所以 ⎩
⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(113)n =r ，
，． ………………9分
易知平面ABCD 的法向量为(01)v =r
，0，． ………………10分
所以cos ,11n v n v n v
<>=v v v v g v v ． ………………11分
因为二面角与两平面的法向量所成角相等或互补， 而由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角 ，所以二面角B AC E
--的余弦值为11
11
3
-． ………………12分 20.（本小题满分12分）
解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，0)为焦点，长半轴长为2 的椭圆．……………………………………………………………………………3分
故曲线C 的方程为2
214
x y +=． …………………………………………………5分 （Ⅱ）存在△AOB 面积的最大值. …………………………………………………6分 因为直线l 过点(1,0)E -，可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =（舍）．
则 整理得 22(4)230m y my +--=．…………………7分 22(2)12(4)0m m ∆=++>．设1122()()A x y B x y ，，，．
解得
1y =，
2y =．则
21
||y y -= 因为1212AOB S OE y y ∆=⋅
-21=
． ………………………10分 设1
()g t t t =+
，t =
t ≥．则()g t
在区间)+∞上为增函数．
所以()3g t ≥
．所以2
AOB S ∆≤0m =
时取等号，即max ()2AOB S ∆=．
所以AOB S ∆
．………………………………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
（1）依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-++=-+a x a a x f x f a x a
a x f x f x x x x
ln 2)1()(2)(ln )1(2)(2)(解之得a x a x f x ln )(-=……4分
（2）a a a a a x f x
x ln )1(ln ln )('-=-=
当x ＞0时()0f x '> 当x ＜0时()0f x '<∴()f x )在(,0)-∞上递减在(0,)+∞上递增
∴min ()f x ＝f (0) ＝1 ……8分 （3）由（2）得 ln 1x a x a -≥恒成立，令a ＝e ， 则1x e x +≥
在1x
e x +≥中令x ＝－n k （k ＝1，2，…n -1） ∴1－n k ≤n k
e - ∴(1)n k k e n
--≤
∴（1－n 1）n ≤e －1 （1－n 2）n ≤e －2 …（1－n n 1-）n ≤e －(n －1)，（n
n ）n
＝1
∴（n n ）n ＋（n n 1-）n ＋（n n 2-）n ＋…＋（n
1）n ≤1＋e －1＋e －2＋…＋e
－(n －1)
＝
1-e e 1]
)1(1[11)1(1＜--=--e e e e
e n n ……12分 22.（本小题满分10分）《选修4—1：几何证明选讲》 【证明】(1)连结BC,∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。

5分
2
21,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
(2)连结CF,∵EC 切⊙O 于C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF ∽△AEC. ∴
AC AF AE AC
=,∴AC 2
=AE ²AF. 。

10分
23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》 解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2，y 2，
由于M 点在C 1
上，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x
2＝2cos α，
y
2＝2＋2sin α.
从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.
(α为参数) 。

5分
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3.
所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。

10分
24. （本小题满分10分）《选修4—5：不等式选讲》 解：（Ⅰ）当1a =时，
()32f x x ≥+可化为12x -≥.由此可得 3x ≥或1x ≤-.
故不等式()32f x x ≥+的解集为{}
|31x x x ≥≤-或.。

5分 (Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤
此不等式化为不等式组30x a x a x >⎧⎨-+≤⎩ 或30
x a
a x x ≤⎧⎨-+≤⎩
即 4x a a x >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩
因为0a >，所以不等式组的解集为|2a x x ⎧
⎫≤-⎨⎬⎩
⎭
由题设可得12
a
-=-，故2a = .。

10分。