福建省高二下学期2月月考数学试题(解析版)

高二下学期2月月考数学试题
一、单选题
1．设集合，则（ ）
{}104,53M x x N x x ⎧⎫
=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭M N ⋂=A ．
B ．
103x x ⎧⎫
<≤⎨⎬⎩⎭143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ． D ．
{}45x x ≤<{}05x x <≤【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为，所以, 1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤1|43M N x x ⎧⎫
⋂=≤<⎨⎬⎩⎭
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
2．数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的第（ ）项. 1
221132231142
3324145
A ．9
B ．10
C ．31
D ．32
【答案】D
【分析】由数列的前几项得出数列的特性，即可得出答案.
【详解】解：观察可得出，数列的特性：根据分子分母的和以及分子由小到大排列. 分子分母和为2的有1项，和为3的有2项，和为4的有3项，，和为的有项. L n 1n -的分子分母之和为9，且为和为9中的第4项， 4
5
又，所以是数列中的第32项. 1234567432+++++++=4
5
故选：D.
3．如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，
1111ABCD A B C D -O ABCD M 1D D 是的中点，则直线，的位置关系是（ ）
N 11A B NO AM
A ．平行
B ．相交
C ．异面垂直
D ．异面不垂直
【答案】C
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，再计算可得即
D 0NO AM ⋅=
可得直线，异面垂直.
NO AM 【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标
D DA DC 1DD
x y z 系.设正方体的棱长为2，则，，，.
()2,0,0A ()0,0,1M ()1,1,0O ()2,1,2N ∴，，∴，∴直线，异面垂直.
()1,0,2NO =-- ()2,0,1AM =- 0NO AM ⋅=
NO AM
故选：C
4．函数的导数是（ ）
2sin cos 22x x
y =A ． B ． 2sin y x '=2cos y x '=C ． D ．
sin y x '=cos y x '=【答案】D
【分析】先利用二倍角的正弦公式得到，然后利用导数公式即可求解.
sin y x =【详解】因为，所以．
2sin cos sin 22x x
y x ==cos y x '=故选：D ．
5．设是等差数列的前n 项和，若，则的值是（ ） n S {}n a 660S =34a a +A ．10 B ．20
C ．30
D ．60
【答案】B
【分析】根据等差数列的求和公式结合等差数列的下标和性质运算求解.
【详解】由题意可得：，则.
()()1663463602a a S a a +==+=3420a a +=故选：B.
6．若数列是等比数列，且，，，则（ ） {}n a ()14,a a a =
3π,
3b a ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭
a b ∥
()6sin 2023πa +=A ．
B
C
D ．
【答案】D
【分析】根据向量的平行可得，结合等比数列通项公式求得，利用三角函数诱导公
1340π
3
a a a -=6a 式即可求得答案.
【详解】由题意数列是等比数列，且，，，
{}n a ()14,a a a =
3π,3b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
a b ∥ 可得， 即，所以，
1340π3a a a -=25110π3a a q -
=5
16ππ,33a q a ∴==故， ()()666πsin 2023πsin πs 3s n in i a a a -+=+=-==故选：D.
7．已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，则|PA |的最小值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．5
12
3
2
72
【答案】A
【分析】根据题意，判断点的轨迹是双曲线，再根据双曲线的几何性质，即可求得. P 【详解】由动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，且 3AB <故可得点的轨迹为以为左右焦点的双曲线， P ,A B 故可得，解得，
23,24a c ==3
,22
a c ==由双曲线的几何性质可得的最小值为. PA 12
c a -=故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的定义，以及其几何性质，属综合基础题. 8．设等差数列，的前n 项和分别是，若，则 （ ） {}n a {}n b ,n n S T 237n n S n
T n =+33
a b =A ．1 B ．
C ．
D ．
511
2217
3
8
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质和求和公式变形求解即可 【详解】因为等差数列，的前n 项和分别是，
{}n a {}n b ,n n S T
所以， 15153515
15355()105225()1571122a a a a a S b b b b b T ++==
===+++故选：B
二、多选题
9．（多选）下列命题正确的是（ ） A ．若，则函数在处无切线
()00f x '=()f x 0x B ．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
()y f x =C ．曲线在处的切线方程为，则当时，
()y f x =1x =20x y -=0x ∆→(1)(1)
12f f x x
-+∆=∆D ．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为()f x 2()2f x x '=-(1)2f =()f x 1x =
30x y +-=【答案】BD
【解析】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误； ()00f x '=()f x 0x A 可以举例说明函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，故选项正确；
()y f x =B ，故选项错误；
(1)(1)
lim
2x f f x x
∆→-+∆∆=11-≠C 切线方程为，化简得，故选项正确．
2(1)y x -=--30x y +-=D 【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；
()00f x '=()f x 0x A 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为()y f x =3()3f x x x =-1x =，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；
=2y -(2,2)--B 因为曲线在处的切线方程为，所以 ()y f x =1x =20x y -=(1)2f '=又，故选项错误；
(1)(1)
lim
2x f f x x ∆→-+∆∆01(1)(1)lim 2x f x f x ∆→+∆-=-∆1(1)112
f =-=-≠'C 因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜()f x 2()2f x x '=-2(1)121f ='-=-(1)2f =(1,2)率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确． 1-2(1)y x -=--30x y +-=D 故选：BD ．
【点睛】易错点睛：很多学生认为曲线的切线与曲线有且只有一个交点，其实曲线的切线可以与曲线有多个交点.
10．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称
()f x D ()f x '()f x 'D 在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为()f x D ()()()f x f x ''''=()0f x ''<D ()f x D 凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）
π0,2
⎛⎫
⎪⎝⎭A ．
B ．
()sin cos f x x x =-()ln 3f x x x =-C ．
D ．
()3
31f x x x =-+-()e x
f x x -=【答案】BCD
【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可.
【详解】对于A ，，
()()π
cos sin ,sin cos sin()4
f x x x f x x x x '''=+=-+=--当时，，，故A 错误；
π0,4x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
πsin(04x -<()πsin()04f x x ''=-->对于B ，在恒成立，故B 正确；
()()2113,0f x f x x x
'''=-=-<π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭对于C ，在恒成立，故C 正确；
()()2
33,60f x x f x x '''=-+=-<π0,2
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
对于D ，，
()()e e (1)e ,e (1)e (2)e x x x x x x
f x x x x x x f ------'=-=-=---=--''因为，所以，所以恒成立，故D 正确.
π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭20x ->()(2)e 0x
x f x -=--'<'故选：BCD.
11．已知抛物线的焦点为，P 为C 上的一动点，，则下列结论正
()2
:20C y px p =>()4,0F ()5,1A 确的是（ ） A ．
B ．当PF ⊥x 轴时，点P 的纵坐标为8 4p =
C ．的最小值为4
D ．的最小值为9
PF PA PF +【答案】CD
【分析】根据焦点坐标可得，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的8p =范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.
【详解】对于A,由抛物线的焦点为可知
，故A 错误， ()2
:20C y px p =>()4,0F 482
p
p =⇒=对于B,当PF ⊥x 轴时，则点的横坐标为4，将其代入中得，故B 错误， P 216y x =8y =±对于C,设，则，由于,所以，故的最小值()00,P x y 0042
p
PF x x =+=+00x ≥044PF x =+≥PF 为4，故C 正确，
对于D ，过作垂直于准线于,过作垂直于准线于，
P PM M A AE E
则，当，，三点共线时等号成立， 6PA PF PA PM AM AE +=+≥≥=P E A 故D 正确； 故选：CD
12．已知直线，过直线上任意一点M 作圆的两条切线，切点分别为:50l x y -+=()2
2:34C x y -+=A ，B ，则有（ ）
A ．四边形MAC
B 面积的最小值为B ．最大度数为60° AMB ∠
C ．直线AB 过定点
D ．的最小值为
15,22⎛⎫
⎪⎝⎭AB 【答案】AD
【分析】，当时有最小值，求出可判断
=22MAC MACB S S MA AC MA =⋅=△四边形CM l ⊥MC min MC A ；当时最大，可判断B ；设点CM l ⊥AMB ∠2
3
cos cos 212sin 4
AMB AMC AMC ∠=∠=-∠=
，，，求出直线的方程，整理得
()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y AB ()()00334x x y y --+=，由可得直线AB 过的定点可判断C ；直线AB 所过定
()()035350x x y y x +-+-+=30
5350+-=⎧⎨-+=⎩x y y x 点为P ，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D.
CP AB ⊥AB AB 【详解】对于A 选项，由题意可知，当时，有最=22MAC MACB S S MA AC MA =⋅=△四边形CM l ⊥MC
小值，即，此时，所以四边形MACB 面积的最
min MC min
MA =
=
小值为A 正确；
对于B 选项，当时，最大，此时，此CM l ⊥AMB ∠2
3
cos cos 212sin 4
AMB AMC AMC ∠=∠=-∠=
时，故选项B 错误；
60∠≠ AMB 对于C 选项，设点，，，则，易知在点A 、B 处的切线方
()11,A x y ()22,B x y ()00,M x y 0050x y -+=
程分别为，，将点分别代入两切线方程得
()()11334x x yy --+=()()22334x x yy --+=()00,M x y ，，所以直线方程为，
()()0101334x x y y -⋅-+=()()0202334x x y y --+=AB ()()00334x x y y --+=整理得，代入，得， 0003350x x y y x x +--+=005y x =+()()035350x x y y x +-+-+=解方程组得所以直线AB 过定点，故选项C 错误；
30,5350,x y y x +-=⎧⎨-+=⎩5,2
1,
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭对于D 选项，设直线AB 所过定点为P ，则，当时，弦长最小，此时
51,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭
CP AB ⊥AB ，则的最小值为
D 正确，故选：AD.
2
2
2
51130222CP ⎛
⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭AB =
三、填空题
13．，若，则______． ()tan sin 1f x x x =++()2f b =()f b -=【答案】0
【分析】利用函数的奇偶性进行求解.
【详解】因为，令， ()tan sin 1f x x x =++()()1tan sin g x f x x x =-=+所以， ()()()()tan sin tan sin ()g x x x x x g x -=-+-=-+=-所以，即， ()()g b g b -=-()()11f b f b --=--⎡⎤⎣⎦所以. ()()11220f b f b -=--=-=⎡⎤⎣⎦故答案为：0.
14．已知函数在区间，上的平均变化率分别为，，那么，的大小关系
sin y x =π[0,]6ππ
[,]32
1k 2k 1k 2k 为_______. 【答案】.
12k k >【解析】根据平均变化率列出相应的式子，在讨论自变量的情况下，比较两个数的大小．
【详解】当，时，平均变化率，
[0x ∈]6
π
1sin
sin 0
3
6
6
k π
π
π
-=
=
当，时，平均变化率， [3x π
∈]2
π2sin
sin
2
323
k π
π
ππ-=
-
，
12k k >故答案为：.
12k k >【点睛】应熟练掌握函数在某点附近的平均变化率
，属于基础题． ()()y f x x f x x x
+-=A A A A 15．已知空间中三点
，则点A 到直线的距离为__________． (1,1,2),(0,0,0)A
B C -BC
【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.
【详解】， (1,1,2),(0,0,0)
A B C -
(1,1,2)CA CB ∴==-
=
=
cos ,CA CB CA CB CA CB ⋅∴<>====
sin
,CA CB ∴<= 设点A 到直线的距离为
，则 BC d sin ,d CA CA CB =<>== 16．在数列中，，则数列的最大项是______.
{}n a 2
2293n a n n =-++【答案】108
【分析】注意到，，后结合数列单调性，比较大小可2
29865248n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
29784<<78，a a 得答案.
【详解】，， 2
29865
248n a n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
29784<<得在时单调递增，
{}n a {}
17N n n n n *
∈≤≤∈，在时单调递减.又，
{}n a {}8N n n n n *∈≥∈，7
8108107，a a ==则数列最大项为.
108
故答案为：
108
四、解答题
17．求下列函数的导数. (1)；
()()1ln 2y x x =+(2).
21
e x y x
+=【答案】(1) y '()1ln 21x x
=+
+(2)
2121
22e e x x x y x ++-='
【分析】（1）将导数的乘法法则与复合函数求导相结合可得结果； （2）将导数的除法法则与复合函数求导相结合可得结果；
【详解】（1） ()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x
'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）
()21
21
21212
2
e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-=
=
''18．等差数列中，
{}n a (1)已知，，求首项与公差； 410a =719a =1a d (2)已知，，求通项． 39a =93a =n a 【答案】(1)，； 11a =3d =(2). 12n a n =-+
【分析】（1）由已知可得，求解方程组即可得出答案；
11310
619
a d a d +=⎧⎨+=⎩（2）由已知可得，求解方程组得到和，即可得出答案.
11
29
83a d a d +=⎧⎨+=⎩1a d 【详解】（1）由已知可得，解得. 4171310619
a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩11
3a d =⎧⎨
=⎩
（2）由已知可得，解得. 31912983a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩111
1a d =⎧⎨
=-⎩所以，.
()()1111112n a a n d n n =+-=--=-+19．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原F 2:3C y x =F 30 C ,A B O 点，求的面积. OAB ∆【答案】
9
4
【分析】先求解出直线的方程，联立直线与抛物线结合抛物线焦点弦的计算公式求解出的AB AB 值，再求解出到的距离，即可求解出. O AB OAB S A 【详解】解：∵抛物线的焦点为，
2:3C y x =3,04F ⎛⎫
⎪⎝⎭
∴直线的方程为.
AB 34y x ⎫=
-⎪⎭
（法一）联立直线与抛物线的方程，得消元得.
AB 23,43,
y x y x ⎧⎫
=-⎪⎪⎨
⎭⎪=⎩22190216x x -+=设，，则， ()11,A x y ()22,B x y 12212
x x +=
∴由抛物线的定义，可得. 12213
1222
AB x x p =++=
+=∵点到直线的距离为
，
O AB 38d =
=
∴的面积为. OAB ∆113
9122284
OAB S AB d ∆=
⋅=⨯⨯=（法二）联立直线与抛物线的方程，得消元得. AB 23
,43,y x y x ⎧⎫
=-⎪⎪⎨
⎭⎪=⎩2490y -
-=设，，则. ()11,A x y ()22,B x y 12y y +=1294
y y =
-∴ 121
2
OAB S OF y y ∆=⋅-
1324
=⨯. 94
=
=
【点睛】本题考查抛物线中的三角形面积求解，难度一般.圆锥曲线中常见的求解三角形面积的方法：（1）求解出对应弦长作为三角形的底，再根据点到直线的距离求解出三角形高，即可求解出三角形面积；（2）将三角形切割成两个同底（或同高）三角形，然后根据三角形高的坐标表示求解出高，亦可求解出三角形的面积.
20．已知等差数列和等比数列满足，.
{}n a {}n b 11232342,1,10,a b a a b b a ==+==-(1)求数列，通项公式
{}n a {}n b (2)设数列中满足，求和
{}n c n n n c a b =+13521n c c c c -++++ 【答案】(1)，
2n a n =()12n n b -=-(2) 2
41233n n +-
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式； （2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
{}n c 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
{}n a d {}n b q 则，解得，
123110243a a d a d a d =++=++=+2d =，
()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，解得，
23112348b qb q b a q b ∴=-===-2q =-，
()1112n n n b b q --∴==-即，；
2n a n =()12n n b -=-（2）由（1）得，
()122n n c n -=+-
()()1352113211321n n n c c c c a a a b b b ---∴++++=+++++++ . ()()()()()
2211212221242124122123312n n n n b q n a a n n n q --++---=+=+=+----21．已知函数． ()ln x f x x
=
(1)求的导数； ()f x (2)求曲线在点处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
()y f x =()1,0
【答案】(1)， ()2
1ln x f x x -'=0x >(2)；面积为
10x y --=12
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案. 【详解】（1）因为，所以， ()ln x f x x =()22
1ln 1ln ⋅--'==x x x x f x x x 0x >（2）由（1）得，，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为．
()11f '=10x y --=当时，；当时，.故切线与坐标轴所围三角形的面积. 0x =1y =-0y =1x =111122
S =⨯⨯=22．已知曲线在点处的切线与轴的交点为，且. 2:C y x =()(),0n n n x y x >x ()*1,0,n x n +∈N 112
x =(1)求数列的通项公式；
{}n x (2)设为数列的前项和，求使得成立的正整数的最小值. n S {}n n x ⋅n 12564n S >
n 【答案】(1) 12n n x =
(2)8
【分析】（1）根据切线方程的求解得切线方程为，得，()22n n n x x x y x -+=0y =()1102
n n n x x x +=>即可判断为等比数列，进而进行求解，
（2）根据错位相减法求解，即可根据的单调性求解.
n S n S 【详解】（1）因为，所以，
2y x =2y x '=所以曲线上点处的切线方程为.
C ()(),0n n n x y x >()22n n n x x x y x -+=令，得，即， 0y =()1102n n n x x x +=
>112n n x x +=又，所以是以为首项，为公比的等比数列. 112
x ={}n x 1212故的通项公式为. {}n x 1111222n n n
x -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，， 2n n
n n x ⋅=
所以， 223112112,2222222
n n n n n n S S +=+++=+++ 两式相减得，， 23111111111111221122222222212
n n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-=-=---所以. 222n n n S +=-
因为，所以， 02n n n n x ⋅=>1n n S S +>又， 787872247125822511252,2212864212864
S S ++=-=<=-=>所以使得成立的正整数的最小值为8. 12564n S >n。