北京市东城区近年届高三数学下学期综合练习(二模)试题文(含解析)(最新整理)

北京市东城区2018—2019学年度第二学期高三综合练习（二）
高三数学(文科)
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，则
A 。

B 。

C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合B 中的不等式，根据集合并集运算得到结果。

【详解】，根据集合并集运算得到：.
故答案为：A.
【点睛】这个题目考查了集合的并集运算，属于基础题.
2。

下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A 。

B 。

C 。

D 。

【答案】D 【解析】 【分析】
根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果。

【详解】是奇函数，故A 排除；是非奇非偶函数,C 排除;
是偶函数，但在上有增也有减,B 排除，只有D 正确.
{13},{20}
A x x x
B x x 或=-=-≥A
B =
{}12x x x <-≥或{}
12x x -<≤{
23}x x ≤<R
{2}B
xx =≥的A
B =
{}12x x x <-≥或()0,+∞3
y x =c o s y x =x y e =1
y x =+3y x =x
y e =c o s y x
=()0,+∞
故答案为：D.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性以及单调性的判断，属于基础题.
3。

执行如图所示的程序框图,输入，那么输出的的值分别为
A. B 。

C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据程序框图，依次代入数值得到结果.
【详解】根据程序框图,依次代入数值得到：
a ＝a ＋
b ＝7,b ＝a －b ＝7－5＝2，a ＝a －b ＝7－2＝5, 所以，a ＝5，b ＝2 故答案为：D.
【点睛】本题考查了程序框图的应用,属于基础题.
4。

若满足,则点到点距离的最小值为
A 。

C 。

D
【答案】C 【解析】
5,2==b a
,a b 7,3-3,3--5,3-5,2,x y 2
1x y x -＃(,)x y (1,0)-
【分析】
根据不等式画出可行域，结合图像以及点线距公式得到结果.
【详解】相当于,画出平面区域,如下图,
过点A （－1,0）到直线y ＝x 的距离，就是点到点距离的最小值，
最小值为：d
故答案为:C.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤： （1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型(型)、斜率
型（型）和距离型（型）．
(3）确定最优解：根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
5.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作。

下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为
2
1x y x -＃21x y y x -≤⎧⎨
≤⎩(,)x y (1,0)
-ax by
+y b
x a ++()()22
x a y b +++
A. B.
C 。

D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100,宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积． 【详解】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：
长为100,宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40,宽为20，高为10的小长体的一个几何体，
如图，
∴该零件的体积：
V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．
故选：C ．
【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
6。

已知为正整数，且，则在数列中，“”是“是等比数列”的
A. 充分而不必要条件
B 。

必要而不充分条件
3
34000m m 3
33000m m 332000m m 330000m m ,,,m
npq m n pq +=+{}n a m n p q a a a a ⋅=⋅{}n a
C. 充分必要条件 D 。

既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“{a n ｝是等比数列",则a m •a n ＝a 12q
m +n ﹣2
，a p •a q ＝a 12q
p +q ﹣2
，
∵m +n ＝p +q ，∴a m •a n ＝a p •a q 成立，即必要性成立,
若a n ＝0,则｛a n }是等差数列，当m +n ＝p +q 时，由“a m •a n ＝a p •a q "成立,但“{a n }是等比数列”不成立，即充分性不成立,
则“a m •a n ＝a p •a q "是“{a n }是等比数列”的成立的必要不充分条件， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题,则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题,则命题p 是命题q 的必要不充分条件;③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题,则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要，谁小谁充分"的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
7.如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA 和
射线OB 。

射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为，。

若
，则
的值是
xOy α
β
O x
34,55A ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(1,0)C -6BOC π
∠=
()c o s βα
-
A 。

B 。

D 。

【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数的定义可知，cos
,sinα,β，然后结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】依题意,有:
，，
，
，
＝.
故答案为：C.
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题. 三角函数的定义将角的终边上的点的坐标和角的三角函数值联系到一起，。

知道终边上的点的坐标即可求出角的三角函数值，
反之也能求点的坐标.
8。

在交通工程学中，常作如下定义：交通流量(辆/小时）：单位时间内通过道路上某一
横断面的车辆数；车流速度(千米/小时）:单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度
（辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数。

一般的,和满足一个线
性关系,即
（其中是正数），则以下说法正确的是
A. 随着车流密度增大，车流速度增大 B 。

随着车流密度增大，交通流量增大
C 。

随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大
35
α=
4
5
=56π
=
53cos =
α4
sin 5
α=cos β=1
sin 2β=
()c o s βα-31c o s c o s s i n s i n 52βαβ+⨯+⨯s i n c o s t a n y a x =
Q
V K
V K
00
=(1)
K V v k -00,v k
D. 随着车流密度增大,交通流量先增大,后减小 【答案】D 【解析】 【分析】
先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．
【详解】由，得：
，
由单位关系，得:Q ＝VK ＝＝，
可以是看成是Q 与V 的二次函数，开口向下， 图象先增大，再减小，
所以,随着车流速度V 增大,交通流量Q 先增大、后减小。

故答案为:D 。

【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理,属简单题．
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9。

双曲线的渐近线方程________．
【答案】
【解析】 【分析】
先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程．
【详解】∵双曲线的a=2,b=1，焦点在x 轴上 而双曲线的渐近线方程为y=±
00
=(1)
K V v k -000
=k K k V
v -000
()
k V k V v -2000k
V k V v -+的1
422
=-y x x y 21
±
=221
4x y -=22221x y a b -=b x a
∴双曲线的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
10.复数的实部为_________ ；虚部为___________.
【答案】 (1）. (2)。

【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】＝＝。

实部为,虚部为。

故答案为：（1)；(2)。

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11。

在中，
,，,则__________ ；____________。

【答案】 (1）. (2）。

【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可求cos C ，结合范围C ∈（0，π）,可求C 的值，进而根据正弦定理
可得a 的值．
【详解】∵a 2
+b 2
﹣c 2
＝ab ，
∴可得cos C
， 2214x y -=12x 1
2
x
5i
1i
-5
2
-
5
2
5i
1i
-5i 1+i)2（5522
i -+5
2
-
5
2
5
2-
52
A B C ∆4
A π∠=2
2
2
a
b c a b +-=3c =C ∠==a 3π
1
2
=
2221222a b c a b a b a b +-===
∵C∈(0,π）,∴C，
∵,c＝3，
∴由正弦定理,，解得:a．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据。

解三角形时,有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
12。

已知，，，则满足的一个正整数为
_____________.
【答案】27。

【解析】
分析】
由对数值的运算得:a＝log29＞log28＝3,c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，得解．
【详解】因为a＝log29＞log28＝3,
c＝log
5
15＜log525＝2,
即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，
故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．
故答案为：27．
【点睛】本题考查了对数值的运算，以及对数间比较大小的应用，属于简单题．3
π
=
4
A
π
∠=
a c
sinA sinC
=
=
3
π
a b2
b2a
2
lo g9
a=
3
lo g
b m
=
5
lo g15
c=c
b
a>
>m
【
13。

如图，矩形中，,，为的中点. 当点在边上
时,的值为________；当点沿着，与边运动时,的最小值为
_________。

【答案】 (1）。

（2）.
【解析】 【分析】
建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可。

【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系，
则A （0，0），O （1,0），B （2，0),设P （2，b ）,
（1)＝； （2）当点P 在BC 上时，＝2；
当点P 在AD 上时，设P （0,b ），＝（2，0）（－1,b ）＝－2; 当点P 在CD 上时，设点P （，1）(0＜＜2)
＝(2,0)(－1，1）＝2－2，
因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即
综上可知，的最小值为－2。

故答案为：-2。

A
B C D 2A B =1B C =O AB P
BC A B O P
×uu u r uu u r
P BC CD DA A B O P ×uu u r uu u
r
22
-A B O P 2,02⋅（
）(1,b )＝A B O P A B O P a
a
A B O P
a a
a a (2,2)
A B O P ∈-A B O P
【点睛】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;（2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题。

通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;（3）向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
14.已知直线l 过点（1，1)，过点P(-1,3）作直线m⊥l，垂足为M,则点M 到点Q （2，4)距离的取值范围为______． 【答案】
【解析】 【分析】
先根据垂直关系得到点M 的轨迹为一个圆，然后用|CQ |减去圆的半径得|MQ |的最小值,加上半径得|MQ ｜的最大值．
【详解】
直线过定点设为A ，则有A （1,1），设M （x ，y ），
因为直线,则，所以，，
即，化简为：， 所以，点M 的轨迹为以C （0，2)
为半径的圆，
∵|CQ |
, ∴｜CQ ｜
｜MQ |≤｜CQ |,
|MQ
．
，
］。

【点睛】一般和圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的,联立的时候较少;在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
l
m l ⊥M P M A ⊥0M P M A =(1,3)(1,1)0xy xy -----=()2
2
22x y +
-==≤
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.设数列满足：，． {}n a 11a =120n n a
a ++=
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
(Ⅱ)若等差数列满足， ，问：与的第几项相等？ 【答案】（I ），
（II ）与数列的第项相等
【解析】 【分析】
（Ⅰ）推导出数列｛a n ｝满足：a 1＝1，a n +1＝﹣2a n ,从而｛a n ｝是首项为1,公比为﹣2的等比数列，由此能求出{a n }的通项公式和前n 项和；(Ⅱ)由 b 1＝﹣8，b 2＝﹣6,{b n }为等差数列，求出｛b n }的通项公式，从而b 37＝2×37﹣10＝64．由此能求出b 37与数列{a n ｝的第7项相等．
【详解】(Ⅰ）依题意，数列满足：，， 所以是首项为1，公比为的等比数列. 则的通项公式为，
由等比数列求和公式得到：前项和。

（Ⅱ）由 （Ⅰ） 可知,, ，
因为为等差数列， . 所以的通项公式为. 所以。

令，解得.
所以与数列第项相等。

【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质基础知识，考查运算求解能力,考查化归与转化思想，是中档题．
{}n a n n
S {}n b 14b a =223b
a a =-37
b {}n a 1
(2)n n
a -=-1(2)3n
n S --=
37b {}n a 7
{}n a 11a =12n n a
a +=-{}n a 2
-{}n a 1
(2)n n
a -=-132
<<m 1[1(2)]1(2)1(2)3n
n
n
S ⨯----==--18
b =-26b =-{}n b 212d b b =-={}n b 210n b n =-372371064b
=⨯-=1
64(2)n -=-n=737b {}n a 的7
16.已知函数f （x)=Asin(ωx+)（A ＞0,ω＞0,|｜＜）的部分图象如图所
示．
（Ⅰ）求f （x ）的解析式；
(Ⅱ）若对于任意的x∈[0，m]，f （x ）≥1恒成立，求m 的最大值．
【答案】（I)
（II)
【解析】 【分析】
（Ⅰ)由图象可知，A ＝2．可求函数的周期,利用周期公式可求ω的值，又函数f （x )的图象
经过点,可得
,结合范围
，可求
，即可得解函数解析式;
（Ⅱ）由x ∈［0,m ]，可得：
，根据正弦函数的单调性，分类讨论即可得
解m 的最大值．
【详解】（Ⅰ)由图象可知，A ＝2．
因为,
所以T ＝π． 所以
．解得ω＝2．
又因为函数f (x ）的图象经过点，
所以．
ϕϕ
π2
)
62sin(2)(π+=x x f 3π
26π⎛⎫
⎪⎝⎭
，()
26
k k Z πϕπ=+∈2
π
ϕ＜
6
πϕ=
22666x m ，πππ⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦51264
T
ππ-=
2ππω
=
26π⎛⎫ ⎪
⎝⎭，2226s i n πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭
解得
．
又因为， 所以
．
所以
．
（Ⅱ）因为 x ∈[0,m ］，
所以
，
当
时，即时,f （x )单调递增，
所以f （x )≥f （0）＝1，符合题意；
当时，即时，f （x )单调递减,
所以,符合题意; 当
时，即时，f （x ）单调递减，
所以，不符合题意；
综上，若对于任意的x ∈［0，m ],有f （x ）≥1恒成立，则必有
,
所以m 的最大值是．
【点睛】本题主要考查了由y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．确定y ＝A sin(ωx ＋φ）＋b （A ＞0，ω＞0）的步骤和方法：（1）求A ,b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝
()
26
k k Z πϕπ=+∈2
πϕ＜6
π
ϕ=
()22
6f x s i n x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭22666x m ，πππ⎡⎤
+∈+
⎢⎥⎣⎦2662x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，06x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，52626x ，πππ⎡⎤+∈⎢⎥
⎣⎦63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，()1
3f x f π⎛⎫≥= ⎪⎝⎭532662x πππ⎛⎤
+∈ ⎥⎝⎦，233x ，ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
()1
3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭＜03m π
≤
＜3
π
，b
＝；(2）求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝;（3）求φ，常
用的方法有:①代入法:把图象上的一个已知点代入（此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．②特殊点法:确定φ值时，往往以寻找“最值点"为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋
φ＝；“最小值点"（即图象的“谷点")时ωx ＋φ＝。

17。

某工厂机器上存在一种易损元件,这种元件发生损坏时，需要及时维修. 现有甲、乙两名工人同时从事这项工作,下表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数.
(1）从这天中,随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；
（2）试比较这10天中甲维修的元件数的方差与乙维修的元件数的方差的大小。

（只需写出结论）；
(3）由于甲、乙的任务量大,拟增加工人,为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人。

【答案】（1）；（2）；（3）为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3
件，至少应增加2名工人. 【解析】 【分析】
（1）设A 表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．利用古典概型
能求出甲维修的元件数不少于5件的概率；（2）
2
M m -2M m +2π
ω
2
π23π
的10
2
s 甲
2s 乙
1
2
22s s >乙甲22
s s 甲乙＞
；（3）设增加工人后有n 名工人．求出每天维修的元件的平均数为10,从而这n 名工人每天
维修的元件的平均数为．令．解得n 的最小值为4．为使增加工人后平均每人每
天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．
【详解】（1）设A 表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，
．
（2)．
（3）设增加工人后有n 名工人． 因为每天维修的元件的平均数为：
． 所以这n 名工人每天维修的元件的平均数为．
令
．解得
．所以n 的最小值为4．
为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．
【点睛】本题考查概率、方差、至少需要增加几名工人的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．对于古典概型，要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可。

18.如图所示的五面体中，平面平面, ，，∥,，
，
．
（Ⅰ）求四棱锥的体积； 10
n
103
n
≤()51102
P A =
=22s s 甲乙＞()()1354646378447455455471010⎡⎤+++++++++++++++++++=⎣⎦10n 103n ≤10
3
n ≥
A
B C D E F ⊥
A
B C D A E D E ⊥A E D E =AB CD A B B C ⊥E
A B C D -
（Ⅱ)求证：∥平面； （Ⅲ）设点为线段上的动点，求证:
与
不垂直．
【答案】(I ）（II ）见解析（III ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）取AD 中点N ，连接EN ．可得EN ⊥AD ．由平面ADE ⊥平面ABCD ,利用面面垂直的性质可得EN ⊥平面ABCD ．再由已知求得梯形ABCD 得面积，代入棱锥体积公式求解;（Ⅱ）由
AB ∥CD ，得CD ∥平面ABFE ．进一步得到CD ∥EF ．再由线面平行的判定可得EF ∥平面ABCD ;
（Ⅲ）连接MN ，假设EM ⊥AM ．结合（Ⅰ)利用反证法证明EM 与AM 不垂直． 【详解】(Ⅰ）取AD 中点，连接．
在中，, 所以. 因为平面平面， 平面平面， 平面ADE,
所以平面． 又因为，，所以。

因为∥,,
， 所以。

所以.
EF A
B C D M
BC N
EN ADE △
A E D E =E
N A D ⊥A
D E ⊥A B C D A D
E
A
B C DA D =E N ⊂E N ⊥A
B C D A
E D E ⊥4=A D 2E N =AB CD A B B C ⊥60,4D A B A B A D ︒
∠=
==A B C D S
梯
形1
3-E A B C D
V =⨯
(Ⅱ)因为∥，平面，平面， 所以∥平面． 又因为平面，平面平面， 所以∥．
因为平面，平面， 所以∥平面． （Ⅲ）连接，假设. 由（Ⅰ)知平面， 因为平面,所以． 因为， 且，
所以平面． 因为平面， 所以． 在△中,， 所以。

所以． 这与矛盾． 所以假设不成立，即与不垂直．
【点睛】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了多面体体积的求法，是中档题．
19.已知函数。

（Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ)求证：. 【答案】（I ）（II ）见解析 【解析】
AB CD AB ÌA
B F E
C
D ⊄A B F
E CD A
B F E C
D ⊂C D
E
F A B E F C
D E F E F =CD EF C
D ⊂A B C D
E
F ⊄A B C D EF A
B C D MN E
M A M ⊥E N ⊥A
B C D A
M ⊂A B C D E N A M ⊥E M A M ⊥E NE M E =A
M ⊥E N M M
N ⊂E N M A
M M N ⊥A M N 2,4A
NA M A N =≥>A M NA N M ∠
<∠90A M N ∠
<A
M M N ⊥EM AM 1
()2l n 2
f x x x x x =--+()y f x =(1,(1))f (
1)()0x f x -≥2
2y x =-
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程;（Ⅱ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用函数的单调性转化为函数最值问题，即可证明（x ﹣1)f (x ）≥0． 【详解】(Ⅰ)定义域为，.
. . 所以曲线在处的切线方程为， 即 (Ⅱ)记.
. 由解得． 与在区间上的情况如下：
所以在时取得最小值．
所以.所以。

所以在上单调递增。

又由知，
当时,，，所以; 当时，，，所以。

()f x (0,)
+∞f(1)=0
22
11
'()2(1l n )112l n f x x x x x =+-+=++'(1
)2f =()y f x =(1,(1))f ()120-=-x y
2
2y x =-21
()12l n gx x
x =++33
222(1)(1)
'()x x gx x x x +-=-=0)(='x g
x=1()
g x ()'g x ()0,∞+()g x 1x =g(1)=221()12l n 20
g x x x =++≥>'()0f x
>()f x (0,)+∞f(1)=0
01x <<()0
f x <x-1<0
(
1)()0x f x ->1>x ()0f x >01>-
x (1)()0x f x ->
所以。

【点睛】本题解出函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1） 构造差函数。

根据差函数导函数符号，确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2)根据条件，寻找目标函数。

一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数。

20。

已知椭圆的一个焦点为，离心率为.为椭圆
的左顶点，为椭圆上异于的两个动点,直线与直线分别交于两点.
（I)求椭圆的方程; （II ）若与的面积之比为,求的坐标；
（III ）设直线与轴交于点，若三点共线，求证：. 【答案】（I ）(II)的坐标为或。

(III ）见解析
【解析】
【分析】 （Ⅰ）由题意得c ＝1，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ,则椭圆方程可求;（Ⅱ）由
△PAF 与△PMF 的面积之比为,可得．设M (4，m ）（m ≠0），P (x 0，y 0),则
，求得．将其代入，解得m ＝±9．则M 的坐标
可求；（Ⅲ）设M （4，m ）,N （4，n ）,P （x 0，y 0),分析可得m ≠0，n ≠0．直线AM 的方程为．联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得P 的坐标，利用利用对称性证明若P ，F ，Q 三点共线，则∠MFR ＝∠FNR ．
(
1)()0x f x -≥()()()
h x f x g x =-22221(0)x y C a b a b +=>>：(1,0)F 1
2A C ,P Q C
A ,A P A Q 4:=x l ,M N C
P A F ∆P M F ∆15M l x R ,,P F Q M F R F N R ∠
=∠1
342
2=+y x M
)9,4((4,9)-1
516AP AM =()()001266x y m +=，，0016m x y ，=-=22143x y +=()26m y x =+
【详解】
(I ）由题意得解得
因为，所以。

所以椭圆的方程为.
（II ）因为与的面积之比为， 所以。

所以。

设，则，
解得。

将其代入，解得.
所以的坐标为或。

(III)设，
若，则为椭圆的右顶点,由三点共线知，为椭圆的左顶点，
不符合题意.
所以.同理。

1,
1
,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2,
1.a c =⎧
⎨=⎩222a b c -=32=b C 1
342
2
=+y x P A F ∆P M F ∆1
51
||||5A P P M =1
6AP AM =00(4,)(0),(,)M m mP x y ≠001
(2,)(6,)6x y m +=001,6m
x y =-=1
342
2=+y x 9m =±M ()4,9(4,9)-00(4,),(4,),(,)M m N n P x y 0m =P C ,,P F Q Q
C 0m ≠0n ≠
直线的方程为.
由消去,整理得
. 成立.
由,解得.
所以。

所以. 当时，，，即直线轴.
由椭圆的对称性可得.
又因为，
所以. 当时,，
直线的斜率. 同理.
因为三点共线， 所以.
所以.
在和中，
，，
AM (2)6m y x =+22(2),6143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2222(27)4(4108)0m x m x m +++-=2222(4)4(27)(4108)0m m m Δ=-+->2
024108227m x m --=+2
0254227m x m -=+00218(2)627m
m
y x m =+=+22254218
(,)2727m m P m m -++3=m 3=n 2
254227m m -
+=1x PQ ⊥||||||3M R F R N R ===90M R F N R F ∠=∠=︒45M F R F N R ∠=∠=︒3m ≠3n ≠FP 222
21806275429127F P m
m
m k m m m -+==---+269FQ n
k n =-,,P F Q 226699m
n m n =--9m n =-R t M R F ΔR t N R F Δ||||t a n ||3M R m M F R F R ∠==||3||
t a n ||||3F R m F N R N R n ∠===
所以。

因为均为锐角， 所以. 综上，若三点共线,则。

【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力,是中档题．
t
a n t a n M F R F N R ∠=∠,M F R F N R ∠
∠M F R F N R ∠
=∠,,P F Q M F R F N R ∠
=∠。