11年高考导数精讲(二)
2011年高考数学分类全解全析—函数与导数
函数与导数安徽理（3） 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1= （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３ (3)A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题. 【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.故选A. (10) 函数()()mnf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n ==(D) 3,1m n ==(10)B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B. （16）(本小题满分12分)设()1xe f x ax=+，其中a 为正实数（Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
（16）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对)(x f 求导得.)1(1)(222ax axax e x f x+-+=' ①（I ）当34=a ，若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则综合①,可知所以,231=x 是极小值点,212=x 是极大值点. （II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122≥+-ax ax在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a安徽文（5）若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B ) (10a,1-b) (C) (a10,b+1) (D)(a 2,2b) （5）D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.(10) 函数()()n f x a x x 2=1-g在区间 〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是 （A ）1 (B) 2(C) 3 (D) 4(10)A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像， 考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证，当1n =时，()()()f x ax x a x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由()()f a 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选A. （13）函数y =的定义域是 .(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<.北京理6.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为+ 0 － 0 +↗极大值↘极小值↗()x A f x x A <=≥（A ，c 为常数）。
直击2024年高考——高三数学导数考点精讲(全国版)
导数考点精讲1．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000.()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆−∆=∆∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='，即00000.()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆．2．导函数从求函数()f x 在0x x =处导数的过程可以看出，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数．这样，当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）．()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆−''==∆．3．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =（c 为常数），则()0f x '=；（2）若*()()f x x αα=∈Q ，则1()f x x αα−'=； （3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=−；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=； （6）若()e x f x =，则()e x f x '=； （7）若()log a f x x =，则1()ln f x x a'=； （8）若()ln f x x =，则1()f x x'=．4．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±．（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+．（3）2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦． 5．复合函数的导数一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u y ，可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==，的导数间的关系为xu x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在00(())x f x ，处的切线PT 的斜率k ，即0000.()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆−'==∆．7. 求在某点处的切线方程（1）求出函数()f x 在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在00(())x f x ，处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()+'()()y f x f x x x =− 8. 求过某点处的切线方程 （1）设出切点坐标00(())x f x ，；（2）利用切点坐标写出切线方程：000()+'()()y f x f x x x =−；（3）将已知调价代入（2）中的切线方程求解.9．函数单调性的判断一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间()a b ，内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 10．求函数单调区间的步骤（1）确定()y f x =的定义域．（2）求导数()f x '，求出()0f x '=的根．（3）函数的无定义点和()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干区间，列表确定这若干区间内()f x '的符号．（4）由()f x '的符号确定()f x 的单调区间．11．在区间单调与存在单调区间问题(1)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．(2)若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 12．极值的相关概念如图，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 13．最大值和最小值的存在性一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 14．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大（小）值的步骤（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值．（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
高考数学一轮总复习课件：导数的应用(二) ——极值与最值
(2)(2020·河北冀州中学摸底)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x ＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是 __(_－_1_，__0)_．
【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝ －1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a>0，当 x∈(－1，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在x＝a处取得极小值；若－1<a<0，当x∈(－1，a)时，f′ (x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝a处取得极 大值；若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，－1)时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．综上所述，a∈(－1， 0)．
第3课时 导数的应用(二) ——极值与最值
[复习要求] 1.了解函数在某点处取得极值的必要条件和 充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 不超过三次).3.会求闭区间上的最大值、最小值(其中多项式函 数不超过三次)．
课前自助餐
函数的极值 (1)设函数 f(x)在点 x0附近有定义，如果对 x0附近的所有的点， 都有 f(x)___<___f(x0)，那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值，记作 y 极大值＝f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点，都有 f(x)__>____f(x0)， 那么 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值，记作 y 极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值．
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。
数学选修2导数知识点总结
数学选修2导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它是函数在某一点上的变化率，反映了函数在这一点的斜率。
在数学选修2课程中，学生需要掌握导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等知识点。
本文将对这些知识点进行详细的总结和讲解。
一、导数的定义1.1 导数的基本概念导数在数学上的定义是函数在某一点处的变化率。
一个函数在某一点的导数可以理解为该函数在这一点附近的线性近似。
具体地，对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f在x处的导数为f'(x)。
导数的几何意义可以理解为函数在这一点处的切线斜率，也可以理解为对应点的瞬时速度。
1.2 导数的定义公式对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以通过极限的定义来求得。
导数的定义公式如下：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h表示自变量的微小变化，当h趋近于0时，就可以计算得到函数在点x处的导数f'(x)。
1.3 导数的几何解释对于函数y=f(x)，它在点x处的导数f'(x)表示了函数图像在这一点处的切线斜率。
也就是说，如果我们在点(x, f(x))处画一条切线，那么这条切线的斜率就是函数在这一点的导数。
1.4 导数的物理意义对于描述物体运动的函数，它导数的物理意义可以理解为对应点的瞬时速度。
例如，对于位置函数s(t)，它的导数s'(t)就表示了物体在时刻t的瞬时速度。
二、求导法则2.1 导数的基本运算法则对于一些基本的函数，我们可以通过一些简单的法则来求导。
这些基本运算法则包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
2.2 基本导数法则的总结常数函数f(x)=c（c为常数）的导数为f'(x)=0幂函数f(x)=x^n（n为常数）的导数为f'(x)=nx^(n-1)指数函数f(x)=a^x（a为常数且不等于1）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x三角函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)反三角函数f(x)=arcsin(x)的导数为f'(x)=1 / sqrt(1 - x^2)2.3 复合函数的求导对于复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第11课时 导数的概念与运算.pdf
函数与导数第11课时 导数的概念与运算(对应学生用书(文)、(理)28～29页) 考情分析考点新知① 导数的概念及其运算是导数应用的基础是高考重点考查的对象主要考查求导数的基本公式和法则. 对导数几何意义的考查几乎年年都有往往以导数几何意义为背景设置成导数与解析几何的简单综合． ① 了解导数概念的实际背景理解导数的几何意义.能根据基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 1. (选修22例4改编)已知函数f(x)＝1＋则f(x)在区间[1]，上的平均变化率分别为________．答案：－－2解析：＝－；＝－2.(选修222改编)一个物体的运动方程为s＝1－t＋t其中s的单位是的单位是那么物体在3 末的瞬时速度是_______答案：5解析：s′(t)＝2t－1(3)＝2×3－1＝5.(选修22习题5)曲线y＝－在x＝处的切线方程________．答案：x－y－－＝0解析：设f(x)＝－则f′＝＋＝1故切线方程为y－＝x－化简可得x－y－－＝0.(选修22习题8)已知函数f(x)＝则f(x)的导函数f′(x)＝________．答案：解析：由f(x)＝得(x)＝＝(选修22练习7)若直线y＝＋b是曲线y＝(x>0)的一条切线则实数b＝________．答案：－1解析：设x0，lnx0)，则切线斜率k＝＝所以x＝2.又切点(2)在切线y＝＋b上所以b＝－1. 1. 平均变化率一般地函数f(x)在区间[x]上的平均变化率为函数f(x)在x＝x处的导数设函数f(x)在区间(a)上有定义(a，b)，当无限趋近于0时比值＝无限趋近于一个常数A则称f(x)在点x＝x处可导并称该常数A为函数(x)在点x＝x处的导数记作f′(x)．导数的几何意义导数f′(x)的几何意义就是曲线f(x)在点(x(x0))的切线的斜率．导函数(导数)若f(x)对于区间(a)内任一点都可导则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化因而也是自变量x的函数该函数称为f(x)的导函数记作f′(x)．基本初等函数的导数公式(1) C′＝0 (C为常数)；(2) (xn)′＝nx－1；(3)(sinx)′＝；(4) (cosx)′＝－；(5) (ax)′＝a(a>0且a≠1)；(6) (ex)′＝e；(7)(logax)′＝logae＝__(a>0，且a≠1)；(8) (lnx)′＝导数的四则运算法则若u(x)(x)的导数都存在则(1)(u±v)′＝u′±v′；(2) (uv)′＝u′v＋uv′；(3) ′＝；(4) (mu)′＝mu′ (m为常数)．[备课札记] 题型1 平均变化率与瞬时变化率例1 某一运动物体在x()时离出发点的距离(单位：m)是f(x)＝＋x＋2x.(1) 求在第1内的平均速度；(2) 求在1末的瞬时速度；(3) 经过多少时间该物体的运动速度达到14解：(1) 物体在第1 内的平均变化率(即平均速度)为＝(2) ＝＝＝6＋3＋()2.当时→6，所以物体在1 末的瞬时速度为6. (3) ＝＝＝2x＋2x＋2＋()2＋2x·＋当时→2x2＋2x＋2令2x＋2x＋2＝14解得＝2 即经过2 该物体的运动速度达到14 在F1赛车中赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t(s的单位为m的单位为s)．求：(1) t＝20＝0.1时的Δs与；(2) t＝20时的瞬时速度．解：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)－10×20－5×20＝21.05 m.＝＝210.5 m/s.(2) 由导数的定义知在t＝20的瞬时速度为(t)＝＝＝＝5Δt＋10t＋10.当Δt→0＝20 时＝10×20＋10＝210 m/s.答：t＝20＝0.1 时的Δs为21.05 m为210.5 m/st＝20时瞬时速度为210 m/s.题型2 利用导数公式、求导法则求导例2 求下列函数的导数．(1) y＝＋x；(2) y＝e；(3) y＝；(4) y＝x；(理)(5) y＝解：(1) y′＝－－＋3x(2) y′＝.(3) y′＝. (4) y′＝3x－.(5) y′＝－. 求下列函数的导数．(1) y＝(2x＋3)(3x－2)；(2) y＝；(3) y＝＋；(4) y＝x－sin；(理)(5)y＝2＋(1－5x)．解：(1) y′＝18x－8x＋9；(2) y′＝；(3) y′＝；(4) y′＝1－cosx；(5) y′＝2＋题型3 利用导数的几何意义解题例3 已知函数f(x)＝且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若P(x)为f(x)图象上的任意一点直线l与(x)的图象切于P点求直线l的斜率k的取值范围．解：(1) 对函数f(x)求导f′(x)＝＝(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切 即＝4b＝1(x)＝(2) ∵ f′(x)＝直线l的斜率k＝(x0)＝＝4令t＝(0，1]，则＝4(2t－t)＝2－. (1) 已知曲线y＝＋求曲线过点P(2)的切线方程；(2) 求抛物线y＝x上点到直线x－y－2＝0的解：(1) 设曲线y＝＋与过点(2，4)的切线相切于点A则切线的斜率k＝x切线方程为y－＝x(x－x)，即y＝x－＋因为点P(2)在切线上所以4＝2x－＋即x－3x＋4＝0解得x＝－1或x＝2故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(2) 由题意得与直线x－y－2＝0平行的抛物线＝x的切线对应的切点到直线x－y－2＝0距离最短设切点为(x)，则切线的斜率为2x0＝1所以x＝切点为切点到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝ 1. (2013·大纲)已知曲线y＝x＋ax＋1在点(－1a＋2)处切线的斜率为8则a＝________．答案：－6解析：y′＝4x＋2ax由题意＝y′|＝－1＝－4－2a＝8所以a＝－6.(2013·南通一模)曲线f(x)＝－f(0)x＋在点(1(1))处的切线方程为________．答案：y＝－解析：由已知得f(0)＝(x)＝－＋(x)＝－＋x(1)＝－＋1f′(1)＝从而f(x)＝－x＋(x)＝－1＋x(1)＝－(1)＝故切线方程为y－＝(x－1)即y＝－(2013·南京三模)记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x如果存在x[a，b]，使得f(b)－f(a)＝(x0)(b－a)成立则称x为函数f(x)在区间[a]上的“中值点”那么函数f(x)＝x－3x在区间[－2]上“中值点”的个数为________．答案：2解析：f(2)＝2(－2)＝－2＝1(x)＝3x－3＝1得x＝±[－2]，故2个．(2013·盐城二模)若实数a、b、c、d满足＝＝1则(a－c)＋(b－d)的最小值为________．答案：(1－)2 解析：∵ ＝＝1＝a－2＝3c－4点(a)在曲线y＝x－2上点(c)在曲线y＝3x－4上(a－c)＋(b－d)的几何意义就是曲线y＝x－2到曲线y＝3x－4上点的距离最小值的平方．考查曲线y＝x－2(x>0)平行于直线y＝3x－4的切线＝2x－令y′＝2x－＝3解得x＝2切点为(2－2)，该切点到直线y＝3x－4的距离d＝＝就是所要求的两曲线间的最小距离故(a－c)＋(b－d)的最小值为d＝(1－)2. 1. 已知函数f(x)＝－f(0)x＋则f′(1)＝____．答案：解析：由条件(0)＝－f(0)×0＋＝1则f(x)＝－x＋2，所以f′(x)＝－1＋x所以f′(1)＝－1＋1＝已知曲线C：y＝x与C：y＝－(x－2)直线l与C、C都相切则直线l的方程是____________．答案：y＝0或y＝4x－4解析：设两个切点的坐标依次为(x)，(x2，－(x－2))，由条件得解得或从而可求直线方程为y＝0或y＝4x－4.已知函数f(x)＝x过点A作函数y＝f(x)图象的切线则切线的方程为________．答案：x＋y＋＝0解析：设切点T(x)，则k＝f′(x)，∴ ＝＋1即＋＋1＝0设h(x)＝＋＋1当x>0时(x)>0，∴ h(x)是单调递增函数(x)＝0最多只有一个根．又h＝＋＋1＝0＝由(x0)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.已知函数f(x)＝lnx(x)＝＋bx(a≠0)设函数(x)的图象C与函数g(x)的图象C交于两点P、Q过线段PQ的中点R作x轴垂线分别交C、C于点M、N问是否存在点R使C在点M处的切线与C在点N处的切线互相平行？若存在求出点R的横坐标；若不存在请说明理由．解：设点P、Q的坐标分别为(x)、(x)，且＜x＜x则点M、N的横坐标均为在点M处的切线斜率为k＝＝＝在点N处的切线斜率为k＝ax＋b|＝＝＋b假设C在点M处的切线与C在点N处的切线互相平行则k＝k即＝＋b.Q是曲线C、C的交点 两式相减得lnx－lnx＝－即lnx－lnx＝(x－x)， ∴ lnx1－lnx＝即ln＝设u＝＞1则lnu＝＞1(*)．令r(u)＝lnu－＞1则r′(u)＝－＝＞1(u)＞0(u)在(1＋∞)上单调递增故r(u)＞r(1)＝0则lnu＞这与上面(*)相矛盾所以故假设不成立．故C在点M处的切线与C在点N处的切线不平行． 1. 求函数的导数有两种方法一是利用导数定义这种方法虽然比较复杂但需要了解；二是利用导数公式和运算法则求导数这是求函数导数的主要方法其关键是记住公式和法则并适当进行简便运算．利用导数研究曲线的切线问题一定要熟练掌握以下条件：(1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率已知斜率可求切点坐标．(2) 切点既在曲线上又在切线上切线有可能和曲线还有其他(3) 与导数几何意义有关的综合性问题涉及到三角函数求值、方程和不等式的解关键是要善于进行等价转化． [备课札记]。
高考(理科)导数的定义,极限,几何意义应用以及导数的综合应用(以2011年高考题为例题讲解经典)
导数及其应用（理）（一）导数导数的基本知识点：（一）．极限的基础知识:1.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限 （1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.5.两个重要的极限（1）0sin lim1x x x →=； （2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). 6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦； (2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±； (2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).基本方法和数学思想1.数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim=∞→nn ，0lim =∞→n n q （a <1,q为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S nn -==∞→1lim 1（0<1<q ）2.函数的极限：（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0: （3）掌握函数极限的四则运算法则；3..函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；4..初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→（二）导数的定义：1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ； )('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝ )(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导， 且)(x f '＝ ，即x u x u y y '⋅'='.例题讲解：求极限的方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m mm n n n n x 0lim 011011 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x例4、(1)1lim2n a n n a ∞++=+→，则a =例5、）已知函数f(x)= 23(0(0x x a x +≠⎧⎨=⎩当时）当时） ，点在x=0处连续，则2221lim x an a n n →∞+=+ .例6、（2007湖北理）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111pq n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→A ．0B ．1C ．pqD ．11p q --练习：极限及其运算1.(1)5lim(7)10n n →∞-= ;(2)1lim n n n →∞+= ;(3)2(1)lim (1)n n nn →∞-+= ;(4)1lim ()2x x +→∞= ;(5)21lim()2x x →= ;(6)2211lim 21x x x x →---= ;(7) 24lim()1n n n n →∞--+= ;(8)32lim 32n n n n n →∞+-=;(9)1x →= ;(10)lim )x x +→∞= ;(11)111lim[(1)(1)(1)]23n n n→∞--⋅⋅⋅-= .2.设函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则0lim()x f x +→= ; 0lim ()x f x -→= ; 0lim ()x f x →= . 3.已知0a >,则1lim 1n n a →∞+= ;lim 1nnn a a →∞+= .4.下列说法正确的是 A,若()f x =,则lim ()0x f x →∞=; B若()f x 则1lim ()0x f x →=; C 若22()2x x f x x +=+,则2lim ()2x f x →-=-;D,若0)()1(0)x f x x x ≥=+<⎪⎩,则0lim ()0x f x →=.5.下列函数在1x =处没有极限的是A,32()1x x f x x -=- B,3()21g x x =+C,2(1)()0(1)x x h x x ≥⎧=⎨<⎩ D,1(1)()1(1)x x v x x x ->⎧=⎨-+<⎩导数的几何意义应用：一、知识点：1. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是________________________________.2. 若函数)(x f y =在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线上点))(,(00x f x 处的切线方程是___________________________.3.曲线423+-=x x y 在点（1,3）处的切线的倾斜角为_______.4.曲线12++=x xe y x 在点（0,1）处的切线方程是_______________________.5.曲线2-=x xy 在点1=x 处的切线方程是______________________________. 例题：1.已知函数ax x x f +=32)(与c bx x g +=2)(的图像都过点P(2,0),且在点P 处有相同的切线。
2011年高考数学真题(全国Ⅱ.理)含详解
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题上作答无效．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z ＝1+，z 为z 的共轭复数，则z z -z -1＝（A ）-2 （B ）- （C ） （D ）2（2）函数y ＝x ≥0）的反函数为（A ）y ＝24x （x ∈R ） （B ）y ＝24x （x ≥0） （C ）y ＝24x （x ∈R ） （D ）y ＝24x （x ≥0）（3）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）a >b +1 （B ）a >b -1 （C ）2a >2b （D ）3a >3b（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d = 2, 224k k S S +-=,则k =(A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5(5) 设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 （6）已知直二面角α –ι- β, 点A ∈α ，AC ⊥ ι ,C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ ι，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）（A ）3（B (C) (D) 1 (7) 某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（A ）4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种（8）曲线21x y e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）1（9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x 2(1)x x =-，则5()2f -= （A ）12- （B ）14- （C ）14 （D ）12（10）已知抛物线C:2y =4x 的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos(A) 54 (B)53 (C).—53 (D) —54（11）已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与 成60 二面角的平面β截该球面得N 。
高三数学必修二导数知识点
高三数学必修二导数知识点导数是高等数学中一个重要的概念，它在解析几何、微积分以及其他数学领域中都有广泛的运用。
在高三数学必修二中，导数知识点是非常重要的一部分，掌握导数的相关概念和性质对于解决数学问题和拓展数学思维有着重要的帮助。
一、导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数用f'(x)表示，其定义为：f'(x) = lim┬(△x→0)〖(f(x+△x)-f(x))/△x〗二、导数的基本运算法则1.和与差的法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则有：(u±v)'(x) = u'(x)±v'(x)2.常数因子法则：设c为常数，u(x)在点x处可导，则有：(cu(x))'(x) = cu'(x)3.乘积法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则有：(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)4.商的法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则有：(u/v)'(x) = (u'(x)v(x) - u(x)v'(x))/[v(x)]^25.复合函数求导法则（链式法则）：设函数y=f(u)，且u=g(x)，其中f和g都可导，则有：dy/dx = dy/du * du/dx三、常见函数的导数1.常数函数的导数为0。
2.幂函数的导数：设函数y=x^n，其中n为常数，则有：dy/dx = nx^(n-1)3.指数函数的导数：设函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：dy/dx = a^x*ln(a)4.对数函数的导数：设函数y=logₐx，其中a为常数，a>0，a≠1，则有：dy/dx = 1/[x*ln(a)]5.三角函数的导数：sinx的导数为cosx；cosx的导数为-sinx；tanx的导数为sec^2(x)。
2011届高考数学分类导数及其运用
2011届高考数学分类导数及其运用导数选修1-1 第3章 导数及其运用§3.1导数概念及其几何意义重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义．经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数．当堂练习：1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ∆满足（ ） A x∆>0 Bx∆<0 Cx ∆0≠Dx∆=02、设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到xx ∆+0时，函数值的改变量是（ ）A)(0x x f ∆+ Bxx f ∆+)(0 Cxx f ∆)(0 D)()(00x f x x f -∆+3、已知函数12+=xy 的图像上一点（1，2）及邻近一点)2,1(y x ∆+∆+，则xy ∆∆等于（ ） A 2 B 2x C x∆+2D 2+2)(x ∆4、质点运动规律32+=ts ，则在时间)3,3(t ∆+中，相应的平均速度是（ ）A t ∆+6B tt ∆+∆+96 C t ∆+3 D t ∆+95．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy ）,则xy ∆∆等于A ．4Δx+2Δx2B ．4+2ΔxC ．4Δx+Δx2D ．4+Δx7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y －1=0，则A ．f ′(x0)>0B ．f ′(x0)<0C ．f ′(x0)=0在t=5时的瞬时速度________．15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s∆∆． (2)当t=2，Δt=0.001时，求t s∆∆．(3)求质点M 在t=2时的瞬时速度．16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A 处的切线的斜率．(2)点A 处的切线方程．17．已知函数f(x)=2 1 0 0x x x ax b x ⎧++≤⎨+>⎩，试确定a 、b 的值，使f(x)在x=0处可导．18．设f(x)=)()2)(1()()2)(1(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--,求f ′(1)．选修1-1 第3章 导数及其运用 §3.2导数的运算重难点：能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．考纲要求：①能根据导数定义，求函数21,,,y c y x y x y x====的导数．能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：()()()10(,;sin cos ;cos sin ;n n c c x nx n N x x x x -*''''==∈==为常数）；()()()();ln ;log ;11ln ;log xxx x a a e a x e a a x e x x ''''====法则1[]()()()()u x v x u x v x '''±=± 法则2[]()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+法则32()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''-=≠⎡⎤⎢⎥⎣⎦经典例题：求曲线y=21x x+在原点处切线的倾斜角.当堂练习：1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5C.10a2x －6x5D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+63.函数y=（2+x3）2的导数是( )A.6x5+12x2B.4+2x3C.2（2+x3）3D.2（2+x3）· 3x4.函数y=x －（2x －1）2的导数是( ) A.3－4x B.3+4x C.5+8x D.5－8x5.设函数f （x ）=ax3+3x2+2,若f'（－1）=4，则a 的值为( )A.319B.316C.313D.310 6.函数y=212x x -的导数是( )A.221)1(2x x -+ B.22131x x -+ C.222)1(4)1(2x x x ---D.222)1()1(2x x -+7.函数y=8354-+x x 的导数是( )A.3453+x B.0 C.243)83()34(5-++x x xD.243)83()34(5-++-x x x8.函数y=xx cos 1-的导数是( )A.xxx x cos 1sin cos 1--- B.2)cos 1(sin cos 1x x x x --- C.2)cos 1(sin cos 1x x x -+- D.2)cos 1(sin cos 1x x x x -+-9.函数f （x ）=1213++x x 的导数是 ( )A.23)12(1++x x B. 232)12(23+++x x xC.232)12(23++--x x x D.232)12(3++-x x x106.曲线y=－41x3+2x2－6在x=2处的导数为( )A.3B.4C.5D.6 11.曲线y=x2（x2－1）2+1在点（－1，1）处的切线方程为_________.12.函数y=xsinx －cosx 的导数为_________. 13.若f （x ）=xcosx+xx sin ,则f'（x ）=_________.14.若f （x ）=cotx,则f'（x ）=_________. 15.求曲线y=2x3－3x2+6x －1在x=1及x=－1处两切线的夹角.16.已知函数f （x ）=x2（x －1）,若f'（x0）=f （x0）,求x0的值.17.已知函数y=xx 21322+-,求在x=1时的导数.18.求函数y=x x++-1212的导数.选修1-1 第3章 导数及其运用§3.3导数在研究函数中的应用重难点：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．考纲要求：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次． 经典例题：已知函数axx 2)x (f 3+=与cbx )x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线. (1) 求实数c ,b ,a 的值;(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.当堂练习： 1. 函数1x 3x )x (f 23+-=是减函数的区间为( )A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2. 函数9x 3ax x)x (f 23-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则=a ( )A. 2B. 3C. 4D. 5 3. 在函数x8x y 3-=的图象上, 其切线的倾斜角小于4π的点中, 坐标为整数的点的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0 4. 函数1ax y 2+=的图象与直线x y =相切, 则=a( ) A.18B. 41C. 21D. 1 5. 已知函数mx 21x 3)x (f 23+-=(m 为常数) 图象上点A 处的切线与直线03y x =+-的夹角为45, 则点A 的横坐标为( )A. 0B. 1C. 0或61D. 1或61 6. 曲线=y xx 32+在2x =处的切线的斜率为( )A. 7B. 6C. 5D. 4 7. 已知某物体的运动方程是+=t S 913t , 则当s 3t =时的瞬时速度是 ( ) A. 10m /s B. 9m /sC. 4m /sD. 3m /s 8. 函数)(x f ＝5224+-x x在区间] ,[32-上的最大值与最小值分别是 ( ) A. 5, 4 B. 13, 4C. 68, 4D. 68, 59. 已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间] ,[2a 上的最大值为433, 则a 等于 ( ) A. －23 B.21C. －21D. －21或－2310. 若函数y ＝x 3－2x 2＋mx, 当x ＝31时, 函数取得极大值, 则m 的值为 ( )A. 3B. 2C. 1D. 32 11. 曲线3x y =在点)1,1(处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为 . 12. 曲线1x x y 3++=在点)3,1(处的切线方程是 .13. 与直线1+-y x ＝0平行, 且与曲线y ＝132-x 相切的直线方程为 . 14. 曲线y ＝122-+x ax 在点M) ,(4321-处的切线的斜率为－1, 则a ＝ .15. 已知函数,a x 9x 3x )x (f 23+++-=(1) 求)x (f 的单调递减区间;(2) 若)x (f 在区间]2,2[ -上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.16. 已知函数dax bx x )x (f 23+++=的图象过点P )2,0(, 且在点M ))1(f ,1(--处的切线 方程为07y x 6=+-.(1) 求函数)x (f y =的解析式; (2) 求函数)x (f y =的单调区间.17. 已知函数,bx ax y 23+=当1x =时, y 的极值为3.求: (1) a, b 的值; (2) 该函数单调区间.18. 设函数,5x 2x 21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m)x (f <成立, 求实数m 的取值范围.选修1-1 第3章导数及其运用§3.4生活中的优化问题重难点：会利用导数解决某些实际问题．考纲要求：①会利用导数解决某些实际问题．经典例题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分(其中r是瓶子的半径,单位是厘米).已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?当堂练习：1.函数y=x3+x的单调增区间为( )A.(-∞,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.不存在2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f′(x)的图象是（）3.右上图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是（）A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时f(x)取到极小值4.下列说法正确的是（）A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|<6,则f(x)无极值D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.a≥3B.a=2C.a≤3D.0<a<36.★若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函数,则( )A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac<07.已知函数f(x)=ax3+(2a-1)x2+2,若x=-1是y=f(x)的一个极值点,则a的值为( )2 A.2 B.-2 C.7D.48.在区间(0,+∞)内，函数y=ex-x是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增9.函数y=f(x)=lnx-x在区间(0,e］上的最大值为( )A.1-eB.-1C.-eD.010.函数y=x5-x3-2x，则下列判断正确的是( )A.在区间（-1，1）内函数为增函数B.在区间（-∞,-1)内函数为减函数C.在区间(-∞,1)内函数为减函数D.在区间(1,+∞)内函数为增函数11.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是 . 12.函数y=4x2+x1的单调增区间为 . 13.函数y=3x2-2lnx 的单调减区间为 . 14.函数y=x4-8x2+2在［-1，3］上的最大值为 .15.已知函数y=ax 与y=-xb 在区间（0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.16.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t 小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2. (1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?17.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)求导数f′(x);(2)若f′(-1)=0,求f(x)在［-2,2］上的最大值和最小值.18.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?选修1-1 第3章导数及其运用§3.5导数及其运用单元测试 1、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则（ ）A ．21 B ．－1 C ．0 D ．－22、f/（x ）是f （x ）的导函数，f/（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3、下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.xy 2sin = B.xxe y = C.xx y -=3D.x x y -+=)1ln( 4、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 （ ） A. 21>-<b b ，或 B.21≥-≤b b ，或 C.21<<-b D.21≤≤-b5、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A.),3[]3,(+∞--∞ B.]3,3[- C. ),3()3,(+∞--∞D. )3,3(- 6、下列说法正确的是（ ）A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大;B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值;C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 （ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在8、定义在闭区间],[b a 上的连续函数)(x f y =有唯一的极值点0x x =,且)(0x f y=极小值,则下列说法正确的是（ ）A.函数)(x f 有最小值)(0x f B. 函数)(x f 有最小值,但不一定是)(0x fC.函数)(x f 的最大值也可能是)(0x f D. 函数)(x f 不一定有最小值 9、函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）A. 5，15B. 5，4-C. 5，15-D. 5，16- 10、函数xx x x f cos sin cos )(23-+=上最大值等于（ ）A ．274B ．278C ．2716D ．2732 11、设函数5()ln(23)f x x =-，则f′1()3＝____________________12、函数1032)(23+-=x x x f 的单调递减区间为13、函数)0(3)(3>+-=a b ax x x f 的极大值为6,极小值为2,则)(x f 的减区间是 14、点P 是曲线xx y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2+=x y 的距离的最小值是15、已知直线1l 为曲线22-+=x x y 在点(0,2)-处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且21l l⊥ （Ⅰ）求直线2l 的方程；（Ⅱ）求由直线1l 2l 和x 轴所围成的三角形的面积16、设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中（Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合； （Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数17、设函数f(x)=x(x-1)(x-a),(a>1) (Ⅰ)求导数f ' (x);(Ⅱ)若不等式f(x1)+ f(x2)≤0成立，求a 的取值范围18、已知c3在2-=x时有极大值6，在+=2)-(2bxf+xaxx=x时有极小值，求c b a,,的值；并求)(x f在区间[－3，13]上的最大值和最小值.19、设函数R-+(3)6=,5f∈xxxx（Ⅰ）求)(x f的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程a(有3个不同实根，求)f=x实数a的取值范围.（Ⅲ）已知当)1k∈xxx时恒成立，求实数k+∞f(()≥,),1(-的取值范围.选修1-1 选修1-1综合测试1．已知命题甲：0)(0='x f ，命题乙：点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则甲是乙的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件 2、已知椭圆的焦点为()11,0F -和()21,0F ，点P 在椭圆上的一点，且12F F 是12PF PF 和的等差中项，则该椭圆的方程为（ ） A 、221169x y += B 、2211612x y += C 、22143x y += D 、22134x y +=3、已知4||=AB ，点P 在A 、B 所在的平面内运动且保持6||||=+PB PA ，则||PA 的最大值和最小值分别是 ( ) A ．5、3 B ．10、2 C ．5、1D ．6、44、椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A 3 B 、34 C 、22D 、125．双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是 （ ） A ．(a+1, 0) , (－a+1, 0) B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（a a 1+, 0） D ．(－a a 1-,0),(a a 1-, 0)6、若双曲线22221x y a b-=与()222210x y a b a b-=->>的离心率分别为12,e e ，则当,a b变化时，2212e e +的最小值是（ ）A ．42B ．4C ．22D ．3 7.曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0的坐标可能是( )A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4) 8. 函数xax x f 1)(2-=在区间),0(+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a 9、方程x3－6x2+9x －10=0的实根个数是 （ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、010．已知函数f(x)的导函数)('x f 的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )11．命题2,30x R x x ∀∈-+>的否命题是 .12．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 条件。
高中数学 选修2-2 知识讲解_《导数及其应用》全章复习与巩固(基础)(理)
《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值.要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相建立数学模型应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x=后，必须由实际意义确定自变量x的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x=的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．要点五：定积分的概念如果函数=()y f x在区间[]a b，上连续，用分点0121i i na x x x x x x b-=<<<<<<<=L L将区间[]a b，等分成n个小区间，在每个小区间[]1,i ix x-上取点()1,2,,ii n=Lξ，作和式：11()()n nn i ii ib aS f x fn==-=∆=∑∑ξξ．当n→+∞时，上述和式nS无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x在区间[,]a b上的定积分，记作：()baf x dx⎰，即+1()lim()nbia nib af x dx fn→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释：（1）定积分()baf x dx⎰是一个常数，即n S无限趋近的常数S（n→+∞时），记为()baf x dx⎰，而不是n S．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b b ba a af x dx f u du f t dt===⎰⎰⎰L（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x⎰与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)x dx+⎰与32(1)x dx+⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案要点诠释：（1）当()0f x≤时，由()y f x=、x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，积分()dbaf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d()b ba aS f x x f x S=-=-=-⎰⎰，即()dbaf x x S=-⎰，如图（b）．（2）当()f x在区间[a，b]上有正有负时，积分()dbaf x x⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x轴上方面积取正号，x轴下方面积取负号）．在如图（c）所示的图象中，定积分132()dbaf x x S S S=+-⎰．要点七：定积分的运算性质性质1：()d()b ba ak f x x k f x kS==⎰⎰；性质2：[()g()]d()g()db b ba a af x x x f x x x±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。
2011年高考数学导数题型解法
专题十
导数解答题的解法 考题剖析
［解析］(1)f′(x)=3ax2+6x－6a 解析］ －
f ′(2) = 0 由已知 f (2) = 9
解得a=－ ， － 解得 －2，b=－11
12a + 12 − 6a = 0 ⇒ 8a + 12 − 12a + b = 9
专题十
导数解答题的解法 考题剖析
专题十
导数解答题的解法 试题特点
2.主要特点 2.主要特点 (1)导数是中学选修内容中最为重要的内容， 导数为解决函 导数是中学选修内容中最为重要的内容， 导数是中学选修内容中最为重要的内容 数问题、 曲线问题提供了一般性的方法，由于导数可与函数、 数问题 、 曲线问题提供了一般性的方法 ， 由于导数可与函数 、 不等式等许多知识进行整合，有利于在“知识网络交汇点” 不等式等许多知识进行整合 ， 有利于在 “ 知识网络交汇点 ” 处 命题，合理设计综合多个知识点的试题，考查分类整合、 命题 ， 合理设计综合多个知识点的试题 ， 考查分类整合 、 数形 结合等数学思想方法，因此，近几年来加大了导数的考查力度. 结合等数学思想方法，因此，近几年来加大了导数的考查力度. 主要有如下几方面： 主要有如下几方面： 应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； ①应用导数求函数的单调区间，或判定函数的单调性； 应用导数求函数的极值与最值； ②应用导数求函数的极值与最值； 应用导数解决实际问题. ③应用导数解决实际问题 应用导数解决有关不等式问题. ④应用导数解决有关不等式问题
2a + 3 3
2a + 3 3 2a + 3 3
,
上是增函数， ］,［1,+∞)上是增函数， ［ 上是增函数
2011届高考数学压轴题能力提升之导数
2011届高考数学压轴题能力提升之导数届高考数学压轴题能力提升之导数1．定义，（（1）令函数的图象为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A （0，m ），过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B （n,t n,t）（）（）（n>0n>0n>0），设），设曲线C 1在点A 、B 之间的曲线段与线段OA OA、、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值。
（（2）当（（3）令函数的图象为曲线C 2，若存在实数b 使得曲线C 2在处有斜率为－处有斜率为－88的切线，求实数a 的取值范围。
的取值范围。
2.2.已知在函数已知在函数的图象上以N （1，n ）为切点的切线的倾斜角为（1）求m 、n 的值；的值；（2）是否存在最小的正整数k ，使得不等式恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；；如果不存在，请说明理由；（3）求证：3.3.已知函数已知函数（Ⅰ）设（Ⅰ）设m 为方程的根，求证：当时，；（Ⅱ）若方程（Ⅱ）若方程有4个不同的根，求a 的取值范围的取值范围. .4.4.已知奇函数已知奇函数的图像在（1，）处的切线的斜率为6.6.且且=2时，取得极值取得极值. .（1）求实数、的值；的值；（2）设函数的导函数为，函数的导函数的导函数，（0，1），求函数的单调区间；的单调区间；（3）在（2）的条件下，的条件下，当当时，恒成立，恒成立，试确定试确定的取值范围取值范围. .5.5.已知函数已知函数取得极小值．（Ⅰ）求a ，b 的值；的值； （Ⅱ）（Ⅱ）设直线设直线． 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：个条件：（1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有． 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”．试证明：直线是曲线的“上夹线”．的“上夹线”．6.6.已知函数已知函数，且对于任意实数，恒有。
（1）求函数的解析式；的解析式；（2）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；范围；（3）函数有几个零点？有几个零点？7.7.已知函数已知函数．(1)(1)证明：存在证明：存在，使；(2)(2)设设=0=0，，，，，其中=1=1，，2，…，证明：；(3)(3)证明：证明：．8．已知：函数（1）证明：；（2）证明：在上为减函数，在上为增函数；上为增函数；（3）记，求证：，求证：9.9.如果函数如果函数在区间D 上有定义，且对任意，则称函数为区间D 上的“凹函数”，上的“凹函数”，（Ⅰ）已知（Ⅰ）已知是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；请给出证明；若不是，请说明理由；（Ⅱ）（Ⅱ）（Ⅱ）对于对于对于（Ⅰ）（Ⅰ）（Ⅰ）中的函数中的函数有下列性质：“若使得使得”成立，利用这个性质证明唯一唯一. .（Ⅲ）设（Ⅲ）设A 、B 、C 是函数图象上三个不同的点，求证：证：△ABC 是钝角三角形是钝角三角形. .10.10.已知函数已知函数f(x)f(x)（（x ∈R ）满足下列条件：满足下列条件：对任意的实数对任意的实数x 1、x 2都有≤[f(x 1)f(x 2)])]和和|f(x 1) f(x 2)|)|≤≤|x 1－x 2|，其中是大于0的常数，设实数a 0，a ，b 满足f(a 0)=0)=0，，b=af(a).（（1）证明≤1，并且不存在b 0≠a 0，使得f(b 0)=0（（2）证明（）证明（b b a 0）2≤(12)(a a 0)2（（3）证明）证明[f(b)][f(b)]2≤(1) [f(a)]211.11.已知函数已知函数(常数常数))是实数集R 上的奇函数上的奇函数, , , 函数函数是区间是区间[[―1, 1]1, 1]上的减函数上的减函数上的减函数. .（1）求a 的值的值; ; （2）若在上恒成立上恒成立, , , 求求t 的取值范围的取值范围; ;(3)(3)讨论关于讨论关于x 的方程的根的个数的根的个数. .1212．已知函数．已知函数f(x)=mx 33+nx 22(m (m、、n ∈R ,m R ,m≠≠0)0)的图像在（的图像在（的图像在（22，f(2)f(2)）处的切线与）处的切线与x 轴平行轴平行. .（1）求n,m 的关系式并求f(x)f(x)的单调减区间；的单调减区间；的单调减区间； （2）证明：对任意实数0<x 1<x 2<1, <1, 关于关于x 的方程：的方程：在（在（x x 1,x 2）恒有实数解）恒有实数解（3）结合（）结合（22）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)f(x)是在闭区是在闭区间[a,b][a,b]上连续不断的函数，且在区间上连续不断的函数，且在区间上连续不断的函数，且在区间(a,b)(a,b)(a,b)内导数都存在，则在内导数都存在，则在内导数都存在，则在(a,b)(a,b)(a,b)内至少存内至少存在一点x 0，使得.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件数等都符合拉格朗日中值定理条件..试用拉格朗日中值定理证明：试用拉格朗日中值定理证明：当0<a<b 时，（可不用证明函数的连续性和可导性）（可不用证明函数的连续性和可导性）1313．设函数．设函数，其中为常数．为常数．（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．都成立．1414．设函数．设函数，其中为常数．为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：．答案：答案：1．解：（．解：（11），故A （0，9）又过坐标原点O 向曲线C 1作切线，切点为B （n ，t ）（）（n>0n>0n>0），），（（2）令，又令 ，单调递减单调递减..单调递减，单调递减，，（3）（处有斜率为－88的切线，的切线，设曲线处有斜率为－①②③①②③又由题设有解，∴存在实数b使得 有解，有解，由①得代入③得，有解，得，．解：（11）依题意，依题意，2．解：（得∴∴（2）令当在此区间为增函数在此区间为增函数在此区间为减函数当在此区间为减函数在此区间为增函数当在此区间为增函数处取得极大值处取得极大值又因此，当要使得不等式恒成立。
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11年高考导数精讲（二）
一．选择填空题
1．对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，
选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．
A ．4和6
B ．3和1
C ．2和4
D ．1和2 2.函数1
1y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐 标之和等于
（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
3．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解
集为
A ．（1-，1）
B ．（1-，+∞）
C ．（∞-，1-）
D ．（∞-，+∞）
4．已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________．
二．解答题
1．(本小题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)
与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式2
10(6)3a
y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(Ⅰ) 求a 的值；
(Ⅱ) 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大．
2．（本小题满分12分）
设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2． （I ）求a ，b 的值；（II ）证明：)(x f ≤2x -2．
3. （本小题满分12分）设ax x x x f 22131)(23++-
=. （1）若)(x f 在),32
(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.
4.(本小题满分13分）设()nx mx x x f ++=2331
.
（1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；
（2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n
的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -）
5.（本小题满分12分）已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点； （Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围。
6.（本小题满分14分）设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．
（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1
()g x 的大小关系； （3）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a 对任意x ＞0成立．
7. 已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x +x 。
（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列*{}()n a n N ∈满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数M,使
得对于任意的*
n N ∈，都有n a ≤ M .。