湖北省黄冈中学-度高二数学上学期期末考试试题(文科)

湖北省黄冈中学2008-2009学年度高二数学上学期期末考试试
题（文科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的. 1．给出下列命题：
①平行于同一平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行．
其中真命题的个数是 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知a 、b ∈R ，若|a+b |=1，则下列各式中成立的是 （ ）
A ．|a |+|b |≥1
B ．|a |+|b |≤1
C ．|a |+|b |>1
D ．|a |+|b |<1
3．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别为正方体相应棱的中点， 对于直线AB 、CD 、EF ，下列结论正确的是 （ ） A ．AB ∥CD
B ．AB 与CD 相交
C ．AB 与C
D 异面 D ．CD 与EF 异面
4．已知圆C 与圆2
2
(1)1x y -+=关于直线y=x 对称，则圆C 的方程是 （ ）
A ．22(1)1x y ++=
B ．22(1)1x y ++=
C ．2
2
1x y +=
D ．2
2
(1)1x y +-=
5．若直线1:2(1)40l x m y +++=与2:320l mx y +-=平行，则m 的值为 （ ）
A ．2
B ．3-
C ．3-或2-
D ．3-或2
6．对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得
( )
A ．,a b αα⊂⊂
B ．,a b αα⊥⊥
C ．,//a b αα⊂
D ．,a b αα⊂⊥
7．若P 为双曲线22
197
x y -=右支上的一点，且P 到右焦点的距离为6，则P 到左准线的距离
A
E
B D
F
C
（ ）
A ．
274
B ．
163
C ．16
D ．9
8．曲线
221259x y +=和曲线22
1(925)259x y k k k
+=<<--的 （ ）
A ．焦距相等
B ．离心率相等
C ．准线相同
D ．焦点到准线距离相等
9．下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是
（ ）
① ② ③ ④ A ．①、② B ．①、③ C ． ②、③
D ．②、④
10．已知椭圆15
92
2=+y x ，过其右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，线段 AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：
（ ）
A ．1
3
B ．23
C ．1
2
D ．14
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上. 11．过点(2,2)P 的抛物线的标准方程是____________.
12．设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤+01y x y y x ，则y x z +=2的最大值是 _________．
13．若双曲线2
2
1mx y -=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于 . 14．设抛物线2
4x y =的焦点为F ，经过点(1,2)P 的直线与抛物线交于A 、B 两点，又知点P
A D M C
A M
B
N
P
A
M B
N
P
A M
N P
P
A M
B
N
恰好为AB 的中点，则AF BF +的值是 .
15．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 与方向向量为)6,6(=k 的直线交于A 、B 两点，
线段AB 的中点为（4，1），则该双曲线的渐近线方程是 .
答题卡
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤. 16．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
（Ⅰ）求异面直线1CD 与1BC 所成的角的大小； （Ⅱ）求证：1DB ⊥1BC ．
17．（本小题满分12分）将直线515y x =-+绕着它与x 轴的交点按逆时针方向旋转θ角后，
恰好与圆22
x y +4280x y ++-=相切，求旋转角θ的最小值．
A
B
D
C A 1
D 1 C 1
B 1
18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）证明：P A ∥平面EDB ； （Ⅱ）证明：DE ⊥平面PBC ．
19．（本小题满分12分） 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，
两条准线间的距离为1，1F 、2F 是双曲线的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N
的一点，且直线PM 、PN 的斜率PM k 、PN k 均存在，求PN PM k k ⋅的值．
P
A
D
C
B
E
20．(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线l ：1x =- 交x 轴于点H ，点M 是l 上的动点，过点M 垂直于l 的直线与线段MF 的垂直平分线交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）若 A 、B 为轨迹C 上的两个动点，且4,OA OB ⋅=- 证明直线AB 必过一定点， 并求出该定点．
21．（本小题满分14分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；
以12F F 、
为焦点，离心率1
2
e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P . （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，经过点2F 的直线l 与抛物线1C 交于12A A 、
，如果以线段12A A 为直径作圆，试判断抛物线1C 的准线与椭圆2C 的交点1B （如图）与圆的位置关系； （Ⅲ）是否存在实数m ，使得△12PF F 的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m ；
若不存在，请说明理由．
答案
1．B ①和③的两直线还可以异面或相交 2．A |a |+|b |≥|a+b |=1
3．C
因为ED 与CF 平行，所以CD 与EF 共面；易知A 、 B 答案是错误的
4．D 已知圆心的坐标(1,0)关于直线y=x 的的对称点为(0,1)，所以圆C 的方程为D 5．3-或2 当0m =时，易知1l 、2l 两直线不平行；当0m ≠时，由
214
32
m m +=≠
-可得 6．C 若a 和b 空间两条不相交的直线，则a 和b 或平行，或异面．答案A 要求a 和b 一定
共面；答案B 要求a 和b 一定平行；答案D 要求a 和b 一定垂直．
7．D
3, 4.a b c ==于是P 到左焦点的距离为12，124
.3
d ∴
=即9d = 8．A Q 曲线90k -<，∴221(925)259x y k k k +=<<--表示双曲线22
1259x y k k
-=--．
此时焦距28c ==．而曲线22
1259
x y +=表示椭
圆，此时焦距28c ===．
9．B 在①中NP 平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB ，所以//AB 平面
MNP ；在②中设过B 且垂直于上底面的棱与上底面交点为C ，则由//NP CB ，
//MN AC 可知平面MNP //平行平面ABC ，即//AB 平面MNP ．
10．A 因为答案唯一确定，可考虑特殊情形：过右焦点F 与x 轴重合的直线交椭圆于A 、B
两点，此时，A 、B 两点分别为椭圆长轴的两个端点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴的交点N 即是坐标原点O ，21
2233
c NF AB a =
==⨯： 11．22y x =或22x y =
12．2 画图即知当动直线2x y t +=过点(1,0)P 时，y x z +=2取最大值2
13．4 221,1a b m =
=， 2b a =，22
4b a ∴=，即114m
=，
4.m = 14．6 过A 、B 两点分别作抛物线准线的垂线，设垂足分别为1A 、1B ，由抛物线定义知
AF BF +=1112426AA BB y y p +=++=+=
15．1
2
y x =± 设弦的两个端点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，分别代入双曲线方程作差得到
2222212122x x y y a b --=．2212122121.y y x x b x x a y y -+∴=-+由题设知直线的斜率为1，所以2
214.b a
=故22
1
,4b a =即1,2b a =±从而渐近线方程是12y x =±
16．解：（Ⅰ）如图，连结1AC 、1A B ，
BE CN ，
11A BC ∴∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角．
因为11A BC ∆为等边三角形，
所以11A BC ∠=60
þ．故异面直线1CD 与1BC 所成的角等于60þ． 证明：（Ⅱ） 连结1B C ，由正方形的性质知11.BC B C ⊥ 由ABCD —A 1B 1C 1D 1正方体可知DC ⊥平面1BC ，
即直线1B C 是直线1DB 在平面1BC 内的射影，所以1DB 与1BC 垂直．
17．解：
因为直线与x 轴的交点（3，0），所以设切线方程为(3)
y k x =-，又已知圆的圆心
(2,1)--=2
3k =-，
和3,2k = 由题设可知应取2
.3k =- 由到角公式知2
5
3tan 11013
θ-+==+，
故旋转角θ的最小值
A
B
D
C A 1
D 1 C 1
B 1
为4
π．
18．证明：（Ⅰ）连结AC ，设AC ∩BD =O ，连结EO ，
∵四边形ABCD 为矩形，∴O 为AC 的中点．∴OE 为△P AC 的中位线． ∴P A ∥OE ，而OE ⊂平面EDB ，P A ⊄平面EBD ， ∴P A ∥平面EDB . ……………6分
（Ⅱ）∵PD ⊥平面AC ，BC ⊂平面AC ，∴BC ⊥PD ，而BC ⊥CD ，PD ∩CD =D. ∴BC ⊥平面PDC . ∵DE ⊂平面PDC , ∴BC ⊥DE . ① 又∵PD=DC ， E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ． ②
由①、②可知DE ⊥平面PBC . ……………12分
19．解：（Ⅰ）依题意有：
2
22221,.b
a a c a
b
c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪
⎪+=⎪⎩
解得3,12
2==b a ．∴双曲线方程为1322=-y x ．………6分 (Ⅱ)解法一：设),(00y x M ，由双曲线的对称性，可得),(00y x N --． 设),(P P y x P ，则2
22
020000x x y y x x y y x x y y k k P P P P P P PN
PM --=++⋅--=⋅， 又13
2
02
=-y x ，∴332020-=x y ．同理332
2-=P P x y ， ∴33
3332
2
2
02=-+--=
⋅x x x x k k P P PN PM ． ………………12分
(Ⅱ)解法二：设直线l 方程为(3)y kx k =≠，代入双曲线方程，并整理得22
(3)30.k x --=
设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212230,3x x x x k -+==-；2
122
3,3k y y k -=
- 120.y y += 又设),(P P y x P ，
则21212122
121212()()P P P P PM PN
P P P P y y y y y y y y y y k k x x x x x x x x x x ---++⋅=⋅=---++22
22
2
3333 3.3P P k x k
x k
-+--==+-
20． 解：（Ⅰ）连结PF ，依题意有PM PF =，所以点P 的轨迹以F （1，0）为焦点，直
线l ：1x =-为准线的抛物线，即点P 的轨迹C 的方程2
4y x =． ……6分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为2
,4x ty b y x =+=代入抛物线消去x ，得
21122440.(,),(,)y ty b A x y B x y --=设，则124y y t += ，124.y y b =-
2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++
=b b b b bt bt 44442
2
2
2
-=-++-．
令244, 2.b b b -=-∴=，∴直线AB 过定点（2，0）．……13分
21.解：（Ⅰ）设椭圆长半轴为a ，半焦距为c ，当1m =时，1(1,0)F -，2(1,0)F . ∵11,2
c e ==，∴2222,3a b a c ==-= 故椭圆方程为22 1.43
x y += ………………………4分 （Ⅱ）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k ∈R
将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=.
设111222(,),(,)A x y A x y ，由韦达定理得12124,4y y k y y +==-.
易知点1B 的坐标是3(1,)2-, ∵1111122233(1,),(1,)22B A x y B A x y =+-=+-,
∴221122121212123993()1()464().2444B A B A x x x x y y y y k k k ∙=++++-++=-+=-
当k ∈R,总有11120B A B A ∙≥,即点1B 在圆上或圆外.
(也可利用先抛物线的定义证明圆与抛物线的准线相切，后说明点与圆的位置关系；或利用弦长公式求半径与点1B 到圆心的距离比较大小)……………………9分 （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m ， 由题设有12,2,2c m a m F F m ===. 又设1122,PF r PF r ==，有1224r r a m +==
设00(,)P x y ，对于抛物线1C ，20r x m =+；
对于椭圆2C ，2
2012
r e a x c ==-，即201(4)2r m x =-. 由001(4)2x m m x +=- 解得 023x m =, ∴253r m =, 从而 173
r m =.
因此，三角形12PF F 的边长分别是567,,333m m m .
所以3m =时，能使三角形12PF F 的边长是连续的自然数. …………14分。