【初中数学】江苏省南通市教研室2012年中考数学全真模拟试卷(6份) 通用2

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三
试题Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．
. 1． 已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 2． 若直线y x b =-+为函数1y x
=的一条切线，则实数b = ▲ ．
3． 若使“1x ≥”与“x a ≥”恰有一个成立的x 的取值范围为{}10x x <≤，则实数a 的值是 ▲ ． 4． 已知点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的
长度大于1的概率为 ▲ ．
5． 给出如下10个数据：63，65，67，69，66，64，66，64，65，68．根据这些数据制作频
率分布直方图，其中[64.566.5，）这组所对应的矩形的高为 ▲ ． 6． 已知ππ2θ≤≤，且()
sin π1θ=-，则cos θ= ▲ ．
7． 某圆锥的侧面展开图是半径为1cm 的半圆，则该圆锥的体积是 ▲ cm 3． 8． 对于定义在R 上的函数()f x ，下列正确的命题的序号是 ▲ ．
①若(2)(1)f f >，则()f x 是R 上的单调增函数；②若(2)(1)f f >，则()f x 不是R 上的单调
减函数；
③若()f x 在区间(]0-∞，、()0+∞，上都是单调增函数，则()f x 一定是R 上的单调增函数．
9． 给出下列等式：
π2c o s 4
=，
π2c o s 8，
π2cos 16
=， ……
请从中归纳出第n ()
n ∈*N 个等式：2
222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．
10．已知电流(A)I 随时间(s)t 变化的关系式是sin [0)I A t t ω=∈+∞，
，，设100π5A ω==，，则电流
(A )I 首次达到峰值时t 的值为 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0 2)A ，，(2 0)B -，，(1 0)C ，，分别以△ABC 的边AB AC
、向
外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 ▲ ．
A
y
E
F
H
12．设x y ∈、(22)-，，且1xy =-，则函数
22
4949x y +--的最小值为 ▲ ． 13．已知过某定圆上的每一点均可以作两条相互垂直的直线与椭圆221169
y x +=的公共点都各只有一个，那么该定圆的方程为 ▲ ．
14．已知λ为非零常数，数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，且20123a =，则1a = ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）
已知sin sin 1cos cos αβαβ+=+=,
（1）求()cos αβ-的值； （2）求()cos αβ+的值．
16．（本题满分14分）
如图，在正四棱锥P ABCD -中，点M 为棱AB 的 中点，点N 为棱PC 上的点.
（1）若PN NC =，求证：//MN 平面PAD ； （2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假.
若为真，请证明；若为假，请举反例.
D
N
（第16题）
P
A
B
C
M
17．（本题满分15分）
在平面直角坐标系xOy 中，设点( ) (0)A a b ab ≠，
，点B 为直线l ：y bx =与抛物线C ：21x y ab
=异于原点的另一交点．
（1）若a =1，b =2，求点B 的坐标；
（2）若点A 在椭圆2214
x y +=上，求证：点B 落在双曲线22441x y -=上； （3）若点B 始终落在曲线22()y c x d =-（其中c d 、为常数，且0c ≠）上，问动点A 的轨迹落
在哪种二次曲线上？并说明理由．
18．（本题满分15分）
如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一
层1111EFGH E FG H -转动α，如图乙，设α的对边长为x ． （1）试用α表示x ；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．
19．（本题满分16分）
设各项均为非负数的数列{
}n a 的为前n 项和n n S na λ=（1a ≠2a ，λ∈R ）． （1）求实数λ的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式（用2n a ,
表示）． （3）证明：当2m l p +=（m l p ∈*N ,
, ）时，2m l p S S S ⋅≤．
E F G
H
1E
1F
（图甲）
1G
1H
α E '
F '
G
G '
E N
M x F H （图乙）
H '
20．（本题满分16分）
记定义在[]
1 1
-，上的函数2
()
f x x px q
=++（p，q∈R）的最大值、最小值分别为M、N，又记()
h p M N
=-．
（1）当02
p
≤≤时，求M、N（用p、q表示），并证明()1
h p≥；
（2）直接写出()
h p的解析式（不需给出演算步骤）；
（3）在所有形如题设的函数()
f x中，求出所有这样的()
f x使得()
f x的最大值为最小．
试题Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）
如图，AT为单位圆O的切线，过切点T引OA的垂线TH，H
求证：AO OH
⋅为定值．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
12
21
-
⎡⎤
=⎢⎥
--
⎣⎦
A，
5
15
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
B满足=
AX B，求矩阵X．
C．（极坐标与参数方程）
将参数方程
1(e e)cos
2
1(e e)sin
2
t t
t t
x
y
θ
θ
-
-
⎧=+
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
，
（θ为参数，t为常数）化为普通方程（结果可保留e）．
（第21—A题）
D ．（不等式选讲）
已知正实数a b c ，，成等比数列，求证：2222()a b c a b c ++>-+．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
22．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽
取的n 件产品中不合格品的个数． （1）若2n =，求X 的概率分布；
（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．99.50≈）
23．设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．
（1）若d =3，试判断(
m
x
的展开式中是否含有常数项？并说明理由；
（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m ，(m
x
的展开式中均不含常数项．
南通市教研室2012年数学全真模拟试卷三
参考答案
1. 4；
2. 2±；
3. 0；
4. 13；
5. 15；
6. 1-；
7. ；
8.
②；
9. 1
2cos n +π2； 10. 1200； 11. 4140x y +-=； 12. 125； 13. 2225x y +=； 14. 3．
答案解析
1．()(12)(40)4a a b ==⋅-⋅=，，
； 2. 由211y x
'=-=-得1x =±，故切点为(1 1)，
或(1 1)--，，代入y x b =-+得2b =±； 3. 易得0a =；
4. “劣弧AB 的长度大于1”的概率等于13
；
5. 落在区间[64.56
6.5，）的数据依次为65，66，66，65，共4个，则矩形的高等于
4
110==66.5-64.55
频率组距； 6. 法 1 由ππ2θ≤≤得π5366θππ-≤≤，且()
s i n π162θ=-，所以π5266
θππ<-≤，则
(
)
c o s π6θ=-
此时()
cos cos ππ111θθ==⎡⎤-+⨯=-⎢⎥⎣⎦
；
法2由ππ2θ≤≤得π5θππ-≤≤，且()s i
n π1θ=-，所以π5θπ-=，则c o s c o s 1θ==π-；
7. 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则由2πr =π得12
r =，h =，所以该
圆锥
体积()
2
13V 1=π⨯=2； 8. 对于①：不符合单调增函数的定义；②正确；对于③：注意在0x =处，若函数()f x 不连续时
该命题就不一定正确；
9. 易得第n (
)
n ∈*N 个等式：2
222n +⋅⋅⋅+=个1
2cos n +π2
； 10. 易得周期2150T π==200π，则函数sin [0)I A t t ϖ=∈+∞，
，首次达到峰值时14200
T t ==； 11. 易得(2 4) (2 3)F H -，
，，，则直线FH 的方程为4140x y +-=； 12. 易得()()()()
()()
22
22
22222
2
499472944949493794y x x
y x y x y x
y
-+--++==-----+，设2294t x y =+，则
t ≥12
=（当且仅当2294x y =时等号成立），则原式723512137375
t t t -==+--≥（当且仅当12t =时等号
成立）；
13. 易得椭圆221169
y x +=的外切矩形的四个顶点()4 3±±，
必在该定圆上，则该定圆必是该外切矩形
的外接圆，方程为2225x y +=，可以验证过该圆上除点()4 3±±，
的任意一点也均可作两条相互
垂直的直线与椭圆221169
y x +=的交点都各只有一个；
14. 因为数列{}n a 与{}2n a λ+均为等比数列，所以()()()2
11222n n n a a a λλλ-++=++且
211n n n a a a -+=，
得112n n n a a a -+=+，故数列{}n a 也为等差数列，不难得数列{}n a 为非零常数列，则120123a a ==．
15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力．
（1）因为sin sin 1αβ+=①，
c o s c o s 3αβ+②，
②2+①2得2222sin 2sin sin sin cos 2cos cos cos 4ααββααββ+++++=，（3分） 即2+2()cos 4αβ-=， 所以()cos 1αβ-=；（6分）
（2）②2-①2得2222cos sin 2cos cos 2sin sin cos sin 2αααβαβββ-+-+-= 即cos 22cos()cos 22ααββ+++=，（8分）
故[][]cos ()()2cos()cos ()()2αβαβαβαβαβ++-++++--=，（12分） 化简得cos()cos()cos()1αβαβαβ+-++=， 由（1）得1cos()2
αβ+=. （14分）
16．命题立意：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、
推理论证能力．
【证明】（1）延长CM ，DA 交于点Q ，连结PQ ，
因为点N 为线段PC 上的点， 且PN NC =，
所以点N 为线段PC 的中点，
又点M 为线段AB 的中点，
所以//MN PQ ，（3分）
又MN ⊄平面PAD ，
PQ ⊂平面PAD ，
所以//MN 平面PAD .（6分）
（2）（1）的逆命题为：若//MN 平面PAD ， 则PN NC =（真命题），（8分）
下证之： 因为//MN 平面PAD ， MN ⊂平面PQC ， 平面PAD 平面PQC PQ =， 所以//MN PQ ，（12分）
在PQC ∆中，点M 为线段AB 的中点，点N 为线段PC 上的点，
所以，点N 为线段PC 的中点.（14分）
17．命题立意：本题主要考查求直线、抛物线、双曲线、圆、椭圆等基础知识，考查运算求解与探
究能力．
D N （第16题图） P A B C
M Q
解：（1）由y bx =与则21x y ab =联立方程组得()
1 b B a a
，，
又a =1，b =2，则()1 2B ，；
（3分） （2）将( ) (0)A a b ab ≠，
代入椭圆2
214x y +=得2
214
a b +=， 将()1 b B a a ，代入()()
2
2
2
22211444441b
b x y a
a
a
--=-=⨯=，即证；（7分） （3）将()1 b B a a ，代入2
2()y c x d =-（其中c d 、为常数，0c ≠）得()()2
12b c d a a
=-，
()0c ≠，
① 若0d =，则22b ca =，()0c ≠，所以点A 的轨迹落在抛物线上；（9分） 若0d ≠，则
()
2
22
1
21124a d b c d
d -+=()0c ≠， ②若12
cd =，则点A 的轨迹落在圆上；（11分）
③若0cd >，且1cd ≠，则点A 的轨迹落在椭圆上；（13分）
④若0cd <，则点A 的轨迹落在双曲线上.（15分）
18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）由题意得3x x x αα
+
+=，
解得()
3sin 0 1sin cos x ααααπ=
∈++2
，，，（6分） （2）魔方增加的表面积为2
8tan x S α
=⋅，
由（1）得()
2
72sin cos 0 (1sin cos )
S αααααπ=
∈2++，，，（10分）
令(
)
(
sin cos 1t t αααπ=+=+∈4，， 则()(
)(
22
36123613611081(1)
t S t t -=
=-⨯=-++≤
t απ=4
时等号成立），
答：当απ=4
时，魔方增加的表面积最大为108-（15分）
19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的通项公式、求和公式、基本不等式等基础知识，考
查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．
解：（1）当1n =时，11a a λ=，所以1λ=或10a =，（2分）
若1λ=，则n n S na =，取2n =得1222a a a +=，即12a a =，这与1a ≠2a 矛盾； 所以10a =，取2n =得1222a a a λ+=，又1a ≠2a ，故20a ≠，所以12λ=，（4
分）
（2）记12
n n S na =①，
则111(1)2
n n S n a --=- ()2n ≥②，
①-②得111(1)22n n n a na n a -=-- ()2n ≥，又数列{}n a 各项均为非负数，且
10a =，
所以112
n
n a n a n --=-()3n ≥，（6分） 则
354234123411222
n n a a a
a n a a a a n --⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯-，即()21n a a n =-()3n ≥，
当1n =或2n =时，()21n a a n =-也适合， 所以()21n a a n =-；（10分）
（3）因为()21n a a n =-，所以2(1)
2
n n n S a -= ()20a ≠，
又2m l p +=（m l p ∈*N , , ） 则[]{}2
2
2
2(1)(1)(1)4
p
m n a S S S p p m m l l -=
----
[]
{}
2
2
2(1)(1)(1)4
a p p m m l l =
----
()
2
2
2
2(1)(1)422a m l m l ml m l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪++=
----⎨⎬⎢⎥⎣
⎦⎪⎪⎩⎭
(22
2(1)(1)4a ml ml m l ⎡
⎤----⎢⎥⎣
⎦
≥
（当且仅当m l =时等号成立）
(22
2(1)(1)a ml ml m l ⎡
⎤----⎢⎥⎣
⎦
=
)
2
2
21(1)(1)4a ml m l ⎡⎤---⎢⎥⎣
⎦
=
(
)2
24
a ml m l ⎡+-⎣= 0≥（当且仅当m l =时等号成立）
所以2m l p S S S ⋅≤.（16分）
20．命题立意：本题主要考查函数的概念、图象、性质等基础知识，考查灵活运用数形结合思想、
分类讨论思想进行推理论证的综合能力．
解：（1）当02p ≤≤时，函数2()f x x px q =++的对称轴为[]1 02
p
x =-
∈-，， 所以(1)1 M f p q ==++，()
2
24
p p N f q =-=-，
此时，()
2
()112
p
h p M N =-=+≥；（3分） （2）由（1）同理可得，()()
22
2 2 1 20 2
()102 22 2p p p p h p p p p p --⎧⎪⎪--<<⎪=⎨⎪+⎪⎪
>⎩≤≤≤，，，，，，，
，（6分） （3）记max ()f x λ=，下证：12λ≥，且inf 12λ=，所求函数21()2
f x x =-，（8分）
①若12p
->，即2p >时，则{}max (1) (1)f f λ=-，，
所以2(1)(1)(1)(1)24f f f f p λ---=>≥+≥，即122
λ>≥；（10分）
②若12p -≤，即2p ≤时，则()
max (1) (1) 2p f f f λ⎧⎫
=--⎨⎬⎩⎭
，
，， o
1 若12q -≤时，则()
21242
p p f q q -
=--≥≥， 所以12λ≥（当且仅当p = 0，12
q =时等号成立）；（12分） o 2 若12
q >-时，则(1)(1)(1)(1)221f f f f q ->-+=+>+，
所以(1) (1)f f -，中至少有一个大于12，即12
λ>，（14分）
由o 1o 2得，12λ≥，且inf 12λ=，此时21()2
f x x =-，
综上所述，所有形如题设的函数21()2
f x x =-即为所求.（16分）
21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力．
证明：因为AT 为圆O 的切线，TH 为OA 的垂线， 所以ATH TOH ∠=∠，（3分）
故直角三角形ATO 相似于直角三角形THO ，（6分）
则OH OT OT OA =，即21AO OH OT ⋅==，即证.（10分）
B ．命题立意：本题主要考查矩阵的乘法，考查运算求解能力．
解：设X a b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
由1252115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦得25 215 a b a b -=⎧⎨--=-⎩，，（7分） 解得7 1 a b =⎧⎨=⎩，，此时71X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
.（10分）
C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．
解：当t =0时，y =0，x =cos θ，即y =0，且11x -≤≤；（2分）
当t ≠0时，cos sin 11(e e )(e e )2
2t t t t y x
θθ--==+-，， 所以2
22
2
111(e e )(e e )t t t t y x --+=+-.（10分）
D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．
证明：因为正实数a b c ，，成等比数列，所以2b ac =，
即有2a c b +=≥（当且仅当a c =时等号成立），（4分）
则[][]22222()()2()2()20a b c a b c b a c ac b a c b b ++--+=+-=+->≥， 即证2222()a b c a b c ++>-+.（10分）
22．命题立意：本题主要考查概率分布等基础知识，考查运算求解能力． 一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中随机抽取n （*n ∈N ）件，用X 表示所抽
取的n 件产品中不合格品的个数．
（1）若2n =，求X 的概率分布；
（2）求使1X =的概率取得最大值时的n 的值．
99.50≈）
解：（1）当2n =时，~(2 3 100)X H ，，
， 则203972100C C 1(0)1650C P X ===，113972100
C C 97(1)1650C P X ===，023972100C C 1552(2)1650C P X ===， 所以，X 的概率分布为：
（5分） （2）1X =的概率为
11397100
C C (99)(100)(1)323400C n n n n n P X ---===，199n ≤≤，且* n ∈N （7分） 记函数()(99)(100)f n n n n =--，
则由2()339899000f n n n '=-+=得1 2n =，， 99.50知133.17n ≈或299.50n ≈，
而(33)(34)336667346566660f f -=⨯⨯-⨯⨯=>，
结合函数()f n 的图象性质可知，当33n =时，1X =的概率取得最大值．（10
分）
23．命题立意：本题主要考查二项式定理，考查探究与推理论证的综合能力．
（1）解：因为{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，所以32n a n =-．（2分） 假设(m x
的展开式中的第r +1项为常数项（r ∈N ）， 32
1C C r m r r m r
r
r m m T x x --+==⋅，于是302m r -=. 设32m n =-()
*n ∈N ，则有332n r -=，即42r n =-，这与r ∈N 矛盾. 所以假设不成立，即(m x
的展开式中不含常数项. （5分） （2）证明：由题设知a n =1(1)n d +-，设m =1(1)n d +-，
由（1）知，要使对于一切m ，(m
x
的展开式中均不含常数项， 必须有：对于*n ∈N ，满足31(1)2
n d r +--=0的r 无自然数解， 即22(1)33
d r n =-+∉N . （8分） 当d =3k ()
*k ∈N 时，222(1)2(1)333d r n k n =-+=-+∉N . 故存在无穷多个d ，满足对每一个m ，(m x
的展开式中均不含常数项．（10分）。