拓扑指数
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减小在x和y。因此，F（X，Y）的最小值是f（N-1，N-1），
和最大值关闭（X，Y）是f（1,2）。也就是说，
）
2
N- 1
= F（N-1，N-1）≤F（X，Y）≤F（1,2）=
2
√
3
因此
）
2
N- 1
≤
H（G）
X（G）
≤
2
√
3
。
左边等式成立当且仅当（DU，DV）=（N- 1，N -1）G的每个边uv，
Caporossi等。[1]显示，与n个顶点的所有图中，不含孤立点，其中所有连接的部件都是正规，图形有
最高值N / 2为Randi'c指数。由定理3.1，我们知道这些
图也是极图的最大谐波指标。这意味着
以下诺德豪斯- Gaddum型业绩谐波指标。
定理3.2设G是具有n个顶点的图，则
ñ
2
≤H（G）+ H（G）≤ñ。（3.2）
和正确的等式成立当且仅当（DU，DV）=（1,2）为G。这每边uv
完成了定理的证明。
如果图G的最小度至少为k≥2，则上界（4.1）
可以进一步提高。
推论4.2设G是最小度至少为k≥2的连通图。然后
H（G）≤
）
2
ķ
X（G）
等号成立当且仅当G是k-正则图。
Zhou和Trinajsti'c [ 36 ]最近证明了如果G是有n≥3的连通图
F（X，Y）=
2
X + Y
1
√
XY
=
2
√
XY
X + Y
用1≤X≤Y≤n-1个。自
∂ F（X，Y）
∂ x
=
√
Y（Y -X）
√
X（X + Y）
2
≥0and ∂ F（X，Y）
∂ Ÿ
=
√
X（X -Y）
√
Y（X + Y）
2
≤0
我们有f（X，Y）是严格单调递增的在x和单调递减
在年。因此，F（X，Y）的最小值是实现为（X，Y）=（1，N-1），以及
ñ
2
+
ñ
2
= N
与等式，当且仅当G和G不含孤立点（即，1≤δ（G）≤
Δ（G）≤N-2）和G和G的所有连接元件是有规律的。我们断言
G必须是一个正则图。否则，存在两个点u，VIN G，使得
杜？= dv.Then uand v选项包含在两个不同的连接组件OFG，
因此UV∈E（G）。但是，这迫使u和v的谎言在G，一个相同的组件
当且仅当G =〜图Kn，而上限是达到的下限为达到如
且仅当G〜= P3。
-633 -
证明。让紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性，我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。由于G是一个连通图有n≥3个顶点，我们有
DV≥2。我们定义一个函数
F（X，Y）=
2
X + Y
1√
X + Y
=
2
√
X + Y
用1≤X≤Y≤n-1个和y≥2。很容易看出，F（X，Y）是严格单调
指数，现在被称为航标–键连接（ABC）指数。该指数是
定义为
兰迪′]兰迪′
它显示具有形成烷烃的热良好的相关性[8]，以及基本拓扑的方法被开发ABC指标的基础上，以解释
线性能量的差异和支链烷烃定性和定量[7]。这一指数的数学性质进行了报道[3，11，14,15,18]。
求和连接性指数X（G）是最近提出由周和Trinajsti'C
下界是达到当且仅当G〜=体Kn或G =〜图Kn，和上限
为达到当且仅当G是k-正则图，1≤犓≤N-2。
-632 -
证明。设m和m是在G和G分别为边的数目。然后
H（G）+ H（G）=
？
UV∈E（G）
2
杜+ DV
+
？
UV∈E（G）
2
第（n- 1 -DU）+（N -1- DV）
≥
？
UV∈E（G）
2
2N- 2
等号成立当且仅当du+dv是一个常数对于G中的任意边uv。
有第萨格勒布许多指数上界，从中我们可以推断出
下限由引理2.1谐波指标。我们给于（a）三个例子-（c）所示。
我们使用的Sn，pn，以及Knto表示星，路径和为Ñ完全图顶点分别。
（一）设G是有m≥1边不含孤立点的图。对于每一个
的G边uv，我们有du+dv≤M +1等号成立当且仅当所有其他边缘
文献[34]，定义为
已经发现的总和，连接性指数和兰迪'c指数相关性良好
彼此之间以及与含苯环的化合物[22,23]的π电子的能量。总和-连接性指数的一些数学性质给出了[5,27,28,34,36]
谐波指数H（G）是另一个顶点度为基础的拓扑指数。这
指数第一次出现在[9]，定义为
Favaron，Mah'eo并用SacI'电子[10]考虑了谐波指标之间的关系
等号成立当且仅当G〜=体Kn。
Proof.By定理3.1和定理4.1，我们有
X（G）≤
）
N- 1
2
H（G）≤
）
N- 1
2
R（G）
与第一个等式，当且仅当G =〜图Kn，而第二个等式，当且仅当G
是一个正则图。这证明了推论。
Randi'c和ABC指数之间5不等式
定理5.1设G是一个连通图有n≥3个顶点，然后
2（NI -1）
妮
> · ·· >
2（N1 + N2 + ... + NK- 1）
N1 + N2 + ... + NK
=
二（n -1）的
ñ
。
这就完成了定理的证明。
Randi'c指数和谐波之间的3不等式
指数
在本节中，我们考虑了兰迪' c指数和谐波之间的关系
索引。诺德豪斯- Gaddum型业绩谐波指数也给出。
顶点，然后
*
2
3R（G）≤X（G）等号成立当且仅当G〜= P3.In事实上，
类似的说法表明，如果graphGhas最小度至少为k≥2，则
*
ķ
2R（G）≤X（G）等号成立当且仅当G是k-正则图。我们进一步有
以下。
-634 -
推论4.3Let G是有n≥3个顶点的连通图。然后
X（G）≤
）
N- 1
2
R（G）
+
？
UV∈E（G）
2
2N- 2
=
2
2N- 2
（M + M）=
2
2N- 2
·
N（N - 1）
2
=
ñ
2
等号成立当且仅当DU = DV = n-1个为G的所有边uv或E（G）=∅，
即，G〜=体Kn或G〜=体Kn。所以下界的（3.2）成立。
现在，我们证明了上界（3.2）。根据定理3.1，我们有
H（G）+ H（G）≤R（G）+ R（G）≤
定理3.1设G是顶点的图，然后
2
√
N- 1
ñ
R（G）≤H（G）≤R（G）。（3.1）
当且仅当G〜= Sn和上界被达到的下限为达到如
且仅当G中所有连接的组件都是正规。
-631 -
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性，我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。为了证明（3.1），我们考虑功能
和图形的特征值。参见[4，19，29〜32]此索引的更多信息。
注意，这两个求和连接性指数和高次谐波的索引可以被看作是
建议由周和Trinajsti'c一般的总和，连接性指数的特殊情况
在[35]（另见[6,26]）
。
在本文中，我们首先提出尖锐的下限为图的调和指数，
和表征图的这些边界是最好的，然后我们得到了兰迪'c指数，ABC指数，求和连接性指数之间的几个不等式和谐波指标。
G是相邻的边uv。然后
因此
等号成立当且仅当G有没有两个独立的边缘,i.e.,G∼=Sm+1orG∼=K3
（b）设G是一个三角形和四边形的无图有n个顶点和m≥1的边缘。
那么M1（G）≤N（N - 1）等号成立当且仅当G〜= Sn或G是一个穆尔图
直径2 [33]，因而H（G）≥
2m2n第（n- 1）
等号成立当且仅当G〜=锡ØRG是直径为2的摩尔图。
指数在所有连通图有n个顶点。用（a）项，我们可以概括
这个结果的图表为Ñ不含孤立点的顶点，我们表明，
极值曲线仍然是锡。这也意味着更短的证据比[ 30 ]的证明。
定理2.2设G为Ñ不含孤立顶点顶点的图。然后
H（G）≥
二（n -1）的
ñ
等号成立当且仅IFG〜= Sn的。
Proof.First假设G是一个连通图。设m是那么深茶色的边缘
R（G）≤农行（G）≤
√
2N- 4R（G）。（5.1）
当且仅当G =〜P3，而上限是如果达到的下限为达到
且仅当G〜=体Kn。
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性，我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。由于G是一个连通图有n≥3个顶点，我们有
DV≥2。为了证明（5.1），我们考虑功能
G，则m≥n-1个。自
2米
M +1
是严格单调递增单位为m≥1，由项目
（a）段所述，我们有H（G）≥
2米
M +1≥
二（n -1）的
ñ
用等式当且仅IFG〜=的Sm +1，
中m = n - 1，即，G〜= Sn的。
-630 -
因此，我们可以假设G是断开的。设G1，G2，...，Gk的（当k≥2）是
的G连接组件具有| V（GI）| =妮每个1≤I≤K表。因为G不含
√
2N- 4。
-635 -
然后1≤农行（G）/ R（G）≤
√
的2n -4与左相等当且仅当（DU，DV）=
（1,2）为G的所有边uv，右边等号成立当且仅当（DU，DV）=（N- 1，N- 1）
对于G的每个边uv这就完成了定理的证明。
类似的说法表明，以下结果成立，如果我们假设图G
已最小度至少为k≥2。
推论5.2Let G是最小程度的连通图至少k≥2。然后
在这项工作中，我们获得了一些顶点度之间的几个不等式的基础
拓扑指数，如兰迪指数，航标–键连接（ABC）指数，和–连接性指数和调和指数。锋利的下限为给出了图的调和指数。
1引言
设G是一个简单图，顶点集V（G）和边集E（G）。
兰迪指数R（G），由兰迪1975提出的，定义为权重的总和
对于所有的uv属于G。
其中d表示G的顶点u的度。兰迪指数是一个最
成功的基于顶点度的分子描述符（拓扑指数）在结构保留和构效关系研究[ 20，24 ]。数学性质这个描述符也被广泛的研究，总结[ 13,21 ]。
比赛
通信的数学
在计算机化学
匹配系统。数学。计算机。化学。71（2014）627-642
ISSN 0340 - 6253
几年前，埃斯特拉达等人。[ 8 ]提出了一种新的基于拓扑顶点度
2.对于谐波指数下界
在本节中，我们提出一些尖锐的下限为调和指数
图，并描述相应的极图。
图G的第一萨格勒布指数[12,16]被定义为
这个指标也是一个基于拓扑指标的重要指标，并可以重写
伊犁'C [19]等人[29]发现独立的
以下的谐波指数和第一萨格勒布指数之间的关系。
引理2.1设G是有m≥1条边的图。然后
√
2K -2R（G）≤农行（G）等号成立当且仅当G是k-正则图。
美国广播公司与和之间的连接6不等式
指数
定理6.1Let G是有n≥3个顶点的连通图。然后
（ⅰ）
*
3
2X（G）≤农行（G）等号成立当且仅IFG〜= P3 ;
（二）农业银行（G）≤
√
2X（G）如果n = 3，等号成立当且仅当G〜= K3 ;
孤立顶点，我们有妮≥2和
K·
I = 1
NI = n.Then
H（G）=
K·
I = 1
H（GI）≥
K·Байду номын сангаас
I = 1
2（NI -1）
妮
。
自
2（N1 -1）的
N1
+
2（N -1）的
N2
-
2（N1 + N2 - 1）
N1 + N2
=
2（N
2
1N2 + N1N
2 -正
2
1-N
2 - N1N2）
N1N2（N1 + N2）
（三）设G是具有n个顶点的图，米≥1的边缘，最大程度Δ和
最低程度δ.Then [ 2 ] M1（G）≤3219米（Δ+δ）- nΔδ等号成立当且仅当
Ghas只有两种类型的度Δ和δ，从而
H（G）≥
2平方米
3219米（Δ+δ）- nΔδ
等号成立当且仅当一个顶点有度Δ和其他顶点有度δ
对于G的每一条边
钟[ 30 ]证明了锡是唯一极值曲线的最低谐波
最大值关闭（X，Y）是为达到X = Y（每个1≤X≤N-1）。其他
也就是说，
2
√
N- 1
ñ
= F（1，N- 1）≤F（X，Y）≤F（X，X）= 1。
因此，
2
√
N- 1
ñ
≤
H（G）
R（G）
≤1
与左相等当且仅当（DU，DV）=（1，N- 1）对G的每个边uv，和
权利平等，当且仅当DU =为G的每边uv DV这就证明了定理。
=
2N
2
1
（N2 -2）+ 2n个
2
（N1- 2）+ 2（正
2
1 - N1N2 + N
2
）
N1N2（N1 + N2）
> 0
我们的结论是
H（G）>
2（N1 + N2 - 1）
N1 + N2
+
K·
I = 3
2（NI -1）
妮
>
2（N1 + N2 + N3 - 1）
N1 + N2 + N3
+
K·
I = 4
F（X，Y）=
*
X + Y - 2
XY
1
√
XY
=
+
X + Y - 2
用1≤X≤Y≤n-1个和y≥2。显然，F（X，Y）是严格单调
增加在x和y。因此，F（X，Y）的最小值为达到（X，Y）=
（1,2），并且最大值关（X，Y）被实现为（X，Y）=（N-1，N-1），即
1 = F（1,2）≤F（X，Y）≤F（N- 1，N- 1）=
矛盾。所以，定理3.2成立。
求和连接和4之间的不等式
调和指数
在本节中，我们提出的总和，连接性指数之间的一些不等式
和谐波指数。与定理3.1相结合，我们还得到了一些关系
该Randi'c指数和求和连接性指数之间。
定理4.1Let G是有n≥3个顶点的连通图，则
）
2
N- 1
X（G）≤H（G）≤
2
√
3
X（G）。（4.1）
和最大值关闭（X，Y）是f（1,2）。也就是说，
）
2
N- 1
= F（N-1，N-1）≤F（X，Y）≤F（1,2）=
2
√
3
因此
）
2
N- 1
≤
H（G）
X（G）
≤
2
√
3
。
左边等式成立当且仅当（DU，DV）=（N- 1，N -1）G的每个边uv，
Caporossi等。[1]显示，与n个顶点的所有图中，不含孤立点，其中所有连接的部件都是正规，图形有
最高值N / 2为Randi'c指数。由定理3.1，我们知道这些
图也是极图的最大谐波指标。这意味着
以下诺德豪斯- Gaddum型业绩谐波指标。
定理3.2设G是具有n个顶点的图，则
ñ
2
≤H（G）+ H（G）≤ñ。（3.2）
和正确的等式成立当且仅当（DU，DV）=（1,2）为G。这每边uv
完成了定理的证明。
如果图G的最小度至少为k≥2，则上界（4.1）
可以进一步提高。
推论4.2设G是最小度至少为k≥2的连通图。然后
H（G）≤
）
2
ķ
X（G）
等号成立当且仅当G是k-正则图。
Zhou和Trinajsti'c [ 36 ]最近证明了如果G是有n≥3的连通图
F（X，Y）=
2
X + Y
1
√
XY
=
2
√
XY
X + Y
用1≤X≤Y≤n-1个。自
∂ F（X，Y）
∂ x
=
√
Y（Y -X）
√
X（X + Y）
2
≥0and ∂ F（X，Y）
∂ Ÿ
=
√
X（X -Y）
√
Y（X + Y）
2
≤0
我们有f（X，Y）是严格单调递增的在x和单调递减
在年。因此，F（X，Y）的最小值是实现为（X，Y）=（1，N-1），以及
ñ
2
+
ñ
2
= N
与等式，当且仅当G和G不含孤立点（即，1≤δ（G）≤
Δ（G）≤N-2）和G和G的所有连接元件是有规律的。我们断言
G必须是一个正则图。否则，存在两个点u，VIN G，使得
杜？= dv.Then uand v选项包含在两个不同的连接组件OFG，
因此UV∈E（G）。但是，这迫使u和v的谎言在G，一个相同的组件
当且仅当G =〜图Kn，而上限是达到的下限为达到如
且仅当G〜= P3。
-633 -
证明。让紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性，我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。由于G是一个连通图有n≥3个顶点，我们有
DV≥2。我们定义一个函数
F（X，Y）=
2
X + Y
1√
X + Y
=
2
√
X + Y
用1≤X≤Y≤n-1个和y≥2。很容易看出，F（X，Y）是严格单调
指数，现在被称为航标–键连接（ABC）指数。该指数是
定义为
兰迪′]兰迪′
它显示具有形成烷烃的热良好的相关性[8]，以及基本拓扑的方法被开发ABC指标的基础上，以解释
线性能量的差异和支链烷烃定性和定量[7]。这一指数的数学性质进行了报道[3，11，14,15,18]。
求和连接性指数X（G）是最近提出由周和Trinajsti'C
下界是达到当且仅当G〜=体Kn或G =〜图Kn，和上限
为达到当且仅当G是k-正则图，1≤犓≤N-2。
-632 -
证明。设m和m是在G和G分别为边的数目。然后
H（G）+ H（G）=
？
UV∈E（G）
2
杜+ DV
+
？
UV∈E（G）
2
第（n- 1 -DU）+（N -1- DV）
≥
？
UV∈E（G）
2
2N- 2
等号成立当且仅当du+dv是一个常数对于G中的任意边uv。
有第萨格勒布许多指数上界，从中我们可以推断出
下限由引理2.1谐波指标。我们给于（a）三个例子-（c）所示。
我们使用的Sn，pn，以及Knto表示星，路径和为Ñ完全图顶点分别。
（一）设G是有m≥1边不含孤立点的图。对于每一个
的G边uv，我们有du+dv≤M +1等号成立当且仅当所有其他边缘
文献[34]，定义为
已经发现的总和，连接性指数和兰迪'c指数相关性良好
彼此之间以及与含苯环的化合物[22,23]的π电子的能量。总和-连接性指数的一些数学性质给出了[5,27,28,34,36]
谐波指数H（G）是另一个顶点度为基础的拓扑指数。这
指数第一次出现在[9]，定义为
Favaron，Mah'eo并用SacI'电子[10]考虑了谐波指标之间的关系
等号成立当且仅当G〜=体Kn。
Proof.By定理3.1和定理4.1，我们有
X（G）≤
）
N- 1
2
H（G）≤
）
N- 1
2
R（G）
与第一个等式，当且仅当G =〜图Kn，而第二个等式，当且仅当G
是一个正则图。这证明了推论。
Randi'c和ABC指数之间5不等式
定理5.1设G是一个连通图有n≥3个顶点，然后
2（NI -1）
妮
> · ·· >
2（N1 + N2 + ... + NK- 1）
N1 + N2 + ... + NK
=
二（n -1）的
ñ
。
这就完成了定理的证明。
Randi'c指数和谐波之间的3不等式
指数
在本节中，我们考虑了兰迪' c指数和谐波之间的关系
索引。诺德豪斯- Gaddum型业绩谐波指数也给出。
顶点，然后
*
2
3R（G）≤X（G）等号成立当且仅当G〜= P3.In事实上，
类似的说法表明，如果graphGhas最小度至少为k≥2，则
*
ķ
2R（G）≤X（G）等号成立当且仅当G是k-正则图。我们进一步有
以下。
-634 -
推论4.3Let G是有n≥3个顶点的连通图。然后
X（G）≤
）
N- 1
2
R（G）
+
？
UV∈E（G）
2
2N- 2
=
2
2N- 2
（M + M）=
2
2N- 2
·
N（N - 1）
2
=
ñ
2
等号成立当且仅当DU = DV = n-1个为G的所有边uv或E（G）=∅，
即，G〜=体Kn或G〜=体Kn。所以下界的（3.2）成立。
现在，我们证明了上界（3.2）。根据定理3.1，我们有
H（G）+ H（G）≤R（G）+ R（G）≤
定理3.1设G是顶点的图，然后
2
√
N- 1
ñ
R（G）≤H（G）≤R（G）。（3.1）
当且仅当G〜= Sn和上界被达到的下限为达到如
且仅当G中所有连接的组件都是正规。
-631 -
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性，我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。为了证明（3.1），我们考虑功能
和图形的特征值。参见[4，19，29〜32]此索引的更多信息。
注意，这两个求和连接性指数和高次谐波的索引可以被看作是
建议由周和Trinajsti'c一般的总和，连接性指数的特殊情况
在[35]（另见[6,26]）
。
在本文中，我们首先提出尖锐的下限为图的调和指数，
和表征图的这些边界是最好的，然后我们得到了兰迪'c指数，ABC指数，求和连接性指数之间的几个不等式和谐波指标。
G是相邻的边uv。然后
因此
等号成立当且仅当G有没有两个独立的边缘,i.e.,G∼=Sm+1orG∼=K3
（b）设G是一个三角形和四边形的无图有n个顶点和m≥1的边缘。
那么M1（G）≤N（N - 1）等号成立当且仅当G〜= Sn或G是一个穆尔图
直径2 [33]，因而H（G）≥
2m2n第（n- 1）
等号成立当且仅当G〜=锡ØRG是直径为2的摩尔图。
指数在所有连通图有n个顶点。用（a）项，我们可以概括
这个结果的图表为Ñ不含孤立点的顶点，我们表明，
极值曲线仍然是锡。这也意味着更短的证据比[ 30 ]的证明。
定理2.2设G为Ñ不含孤立顶点顶点的图。然后
H（G）≥
二（n -1）的
ñ
等号成立当且仅IFG〜= Sn的。
Proof.First假设G是一个连通图。设m是那么深茶色的边缘
R（G）≤农行（G）≤
√
2N- 4R（G）。（5.1）
当且仅当G =〜P3，而上限是如果达到的下限为达到
且仅当G〜=体Kn。
Proof.Let紫外线是G的一条边通过u和v之间的对称性，我们可以假设
1≤杜≤DV≤n-1个。由于G是一个连通图有n≥3个顶点，我们有
DV≥2。为了证明（5.1），我们考虑功能
G，则m≥n-1个。自
2米
M +1
是严格单调递增单位为m≥1，由项目
（a）段所述，我们有H（G）≥
2米
M +1≥
二（n -1）的
ñ
用等式当且仅IFG〜=的Sm +1，
中m = n - 1，即，G〜= Sn的。
-630 -
因此，我们可以假设G是断开的。设G1，G2，...，Gk的（当k≥2）是
的G连接组件具有| V（GI）| =妮每个1≤I≤K表。因为G不含
√
2N- 4。
-635 -
然后1≤农行（G）/ R（G）≤
√
的2n -4与左相等当且仅当（DU，DV）=
（1,2）为G的所有边uv，右边等号成立当且仅当（DU，DV）=（N- 1，N- 1）
对于G的每个边uv这就完成了定理的证明。
类似的说法表明，以下结果成立，如果我们假设图G
已最小度至少为k≥2。
推论5.2Let G是最小程度的连通图至少k≥2。然后
在这项工作中，我们获得了一些顶点度之间的几个不等式的基础
拓扑指数，如兰迪指数，航标–键连接（ABC）指数，和–连接性指数和调和指数。锋利的下限为给出了图的调和指数。
1引言
设G是一个简单图，顶点集V（G）和边集E（G）。
兰迪指数R（G），由兰迪1975提出的，定义为权重的总和
对于所有的uv属于G。
其中d表示G的顶点u的度。兰迪指数是一个最
成功的基于顶点度的分子描述符（拓扑指数）在结构保留和构效关系研究[ 20，24 ]。数学性质这个描述符也被广泛的研究，总结[ 13,21 ]。
比赛
通信的数学
在计算机化学
匹配系统。数学。计算机。化学。71（2014）627-642
ISSN 0340 - 6253
几年前，埃斯特拉达等人。[ 8 ]提出了一种新的基于拓扑顶点度
2.对于谐波指数下界
在本节中，我们提出一些尖锐的下限为调和指数
图，并描述相应的极图。
图G的第一萨格勒布指数[12,16]被定义为
这个指标也是一个基于拓扑指标的重要指标，并可以重写
伊犁'C [19]等人[29]发现独立的
以下的谐波指数和第一萨格勒布指数之间的关系。
引理2.1设G是有m≥1条边的图。然后
√
2K -2R（G）≤农行（G）等号成立当且仅当G是k-正则图。
美国广播公司与和之间的连接6不等式
指数
定理6.1Let G是有n≥3个顶点的连通图。然后
（ⅰ）
*
3
2X（G）≤农行（G）等号成立当且仅IFG〜= P3 ;
（二）农业银行（G）≤
√
2X（G）如果n = 3，等号成立当且仅当G〜= K3 ;
孤立顶点，我们有妮≥2和
K·
I = 1
NI = n.Then
H（G）=
K·
I = 1
H（GI）≥
K·Байду номын сангаас
I = 1
2（NI -1）
妮
。
自
2（N1 -1）的
N1
+
2（N -1）的
N2
-
2（N1 + N2 - 1）
N1 + N2
=
2（N
2
1N2 + N1N
2 -正
2
1-N
2 - N1N2）
N1N2（N1 + N2）
（三）设G是具有n个顶点的图，米≥1的边缘，最大程度Δ和
最低程度δ.Then [ 2 ] M1（G）≤3219米（Δ+δ）- nΔδ等号成立当且仅当
Ghas只有两种类型的度Δ和δ，从而
H（G）≥
2平方米
3219米（Δ+δ）- nΔδ
等号成立当且仅当一个顶点有度Δ和其他顶点有度δ
对于G的每一条边
钟[ 30 ]证明了锡是唯一极值曲线的最低谐波
最大值关闭（X，Y）是为达到X = Y（每个1≤X≤N-1）。其他
也就是说，
2
√
N- 1
ñ
= F（1，N- 1）≤F（X，Y）≤F（X，X）= 1。
因此，
2
√
N- 1
ñ
≤
H（G）
R（G）
≤1
与左相等当且仅当（DU，DV）=（1，N- 1）对G的每个边uv，和
权利平等，当且仅当DU =为G的每边uv DV这就证明了定理。
=
2N
2
1
（N2 -2）+ 2n个
2
（N1- 2）+ 2（正
2
1 - N1N2 + N
2
）
N1N2（N1 + N2）
> 0
我们的结论是
H（G）>
2（N1 + N2 - 1）
N1 + N2
+
K·
I = 3
2（NI -1）
妮
>
2（N1 + N2 + N3 - 1）
N1 + N2 + N3
+
K·
I = 4
F（X，Y）=
*
X + Y - 2
XY
1
√
XY
=
+
X + Y - 2
用1≤X≤Y≤n-1个和y≥2。显然，F（X，Y）是严格单调
增加在x和y。因此，F（X，Y）的最小值为达到（X，Y）=
（1,2），并且最大值关（X，Y）被实现为（X，Y）=（N-1，N-1），即
1 = F（1,2）≤F（X，Y）≤F（N- 1，N- 1）=
矛盾。所以，定理3.2成立。
求和连接和4之间的不等式
调和指数
在本节中，我们提出的总和，连接性指数之间的一些不等式
和谐波指数。与定理3.1相结合，我们还得到了一些关系
该Randi'c指数和求和连接性指数之间。
定理4.1Let G是有n≥3个顶点的连通图，则
）
2
N- 1
X（G）≤H（G）≤
2
√
3
X（G）。（4.1）