2020九年级数学下册 第1章 二次函数 专题训练(一)二次函数与几何小综合练习 (新版)湘教版

专题训练(一) 二次函数与几何小综合
一、二次函数与三角形的结合
1．如图1－ZT －1，已知抛物线y ＝38x 2－3
4x －3与x 轴的交点为A ，D(点A 在点D 的右侧)，与y 轴的交点为C.
(1)直接写出A ，D ，C 三点的坐标；
(2)若点M(点M 不与点C 重合)在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标．
图1－ZT －1
2．如图1－ZT －2所示，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过点(－1，8)并与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(3，0)． (1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线与y 轴交于点C ，顶点为P ，求△CPB 的面积．
图1－ZT －2
3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数y ＝－x 2
＋(k －1)x ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且S △OAB ＝6. (1)求点A 与点B 的坐标；
(2)求此二次函数的表达式；
(3)如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．
二、二次函数与平行四边形的结合
4．如图1－ZT －3，四边形ABCD 是平行四边形，过点A ，C ，D 作抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)，且点A ，B ，D 的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的函数表达式．
图1－ZT －3
三、二次函数与矩形、菱形、正方形的结合
5．如图1－ZT －4所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，抛物线y ＝－12x 2
＋bx ＋c 经过B ，C 两点，D 为抛物线的顶点，连接AC ，BD ，CD.
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)求此抛物线的顶点D 的坐标和四边形ABDC 的面积．
图1－ZT －4
6．2018·金华如图1－ZT －5，抛物线y ＝ax 2
＋bx(a ＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD 的AB 边在线段OE 上(点A 在点B 的左边)，点C ，D 在抛物线上．设A(t ，0)，当t ＝2时，AD ＝4. (1)求抛物线的函数表达式．
(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持t ＝2时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有G ，H 两个交点，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
图1－－5
四、二次函数与平移的结合
7．如图1－ZT－6①，在平面直角坐标系中有等腰直角三角形ABO，AB＝OB＝8，∠ABO＝90°，OC与y轴正半轴所夹的角为45°，射线OC以每秒2个单位的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动．设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)当x＝3时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于点G，如图1－ZT－6②所示，求经过G，O，B三点
的抛物线的函数表达式．
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在△POB的面积S＝8的情况？若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1－ZT－6
教师详解详析
1．解：(1)A (4，0)，D (－2，0)，C (0，－3)． (2)∵S △CAD ＝12AD ·OC ，S △MAD ＝1
2AD ·|y M |，
∴当S △CAD ＝S △MAD 时， 12AD ·OC ＝1
2AD ·|y M |， 即12×6×3＝1
2
×6×|y M |， 解得y M ＝±3，即38x 2－3
4
x －3＝±3，
解得x 1＝2，x 2＝0(不合题意，舍去)，x 3＝1＋17，x 4＝1－17，
∴点M 的坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)．
2．解：(1)∵抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过点(－1，8)与点B (3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3， ∴抛物线的
函数表达式为y ＝x 2
－4x ＋3.
(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1，∴P (2，－1)．过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，过点B 作BM ∥y 轴交直线PH 于点M ，过点C 作CN ⊥y 轴交直线BM 于点N ，如图所示．
S △CPB ＝S 矩形CHMN －S △CHP －S △PMB －S △CNB ＝3×4－12×2×4－12×1×1－12
×3×3＝3，即△CPB 的面积为3.
3．解：(1)由表达式，可知点A 的坐标为(0，4)． ∵S △OAB ＝12OB ·OA ＝1
2
×4·OB ＝6，
∴OB ＝3.∴点B 的坐标为(－3，0)．
(2)把B (－3，0)代入y ＝－x 2＋(k －1)x ＋4，得－(－3)2
＋(k －1)×(－3)＋4＝0. 解得k －1＝－5
3
.
∴所求二次函数的表达式为y ＝－x 2
－53x ＋4.
(3)∵△ABP 是等腰三角形，∴有三种情况： ①当AB ＝AP 时，点P 的坐标为(3，0)；
②当AB ＝BP 时，点P 的坐标为(2，0)或(－8，0)；
③当AP ＝BP 时，设点P 的坐标为(x ，0)．根据题意，得x 2
＋42
＝||x ＋3，
解得x ＝76，∴点P 的坐标为(7
6
，0)．
综上所述，点P 的坐标为(3，0)，(2，0)，(－8，0)或(7
6
，0)．
4．解：由已知，得点C (5，4)．
把A (－2，0)，D (0，4)，C (5，4)代入抛物线的函数表达式y ＝ax 2
＋bx ＋c ， 得⎩⎪⎨⎪
⎧0＝4a －2b ＋c ，4＝c ，4＝25a ＋5b ＋c ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－2
7
，
b ＝107，
c ＝4.
所以抛物线的函数表达式为y ＝－27x 2＋10
7
x ＋4.
5．解：(1)由已知，得C (0，4)，B (4，4)，把点B 与点C 的坐标代入y ＝－12x 2
＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝12，c ＝4，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝2，
c ＝4，
∴抛物线的函数表达式为y ＝－12x 2
＋2x ＋4.
(2)∵y ＝－12x 2＋2x ＋4＝－12
(x －2)2
＋6，
∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，6)，则S 四边形ABDC ＝S △ABC ＋S △BCD ＝12×4×4＋1
2×4×2＝8＋4＝12.
6．解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝ax (x －10)．
∵当t ＝2时，AD ＝4， ∴点D 的坐标是(2，4)．
∴4＝a ×2×(2－10)，解得a ＝－1
4.
∴抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋5
2x .
(2)由抛物线的对称性，得BE ＝OA ＝t ， ∴AB ＝10－2t .当x ＝t 时，y ＝－14t 2＋5
2
t .
∴矩形ABCD 的周长＝2(AB ＋AD )＝2[(10－2t )＋(－14t 2＋52t )]＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t －1)2
＋412.
∵－1
2
＜0，
∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值是
412
. (3)当t ＝2时，点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)．
∴矩形ABCD 的对角线交于点P (5，2)．当平移后的抛物线过点A 时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点C 时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形的面积平分．∴当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不能将矩形的面积平分．∴当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上，且直线GH 过点P 时，能平分矩形ABCD 的面积．∵AB ∥CD ，∴线段OD 平移后得到线段GH .∴线段OD 的中点Q 平移后
的对应点是P .在△OBD 中，PQ 是中位线，∴PQ ＝1
2
OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位．
7．解：(1)由题意，可知射线OC 扫过Rt △ABO 的部分为等腰直角三角形，斜边长为2x ， 则斜边上的高为1
2×2x ＝x ，
∴y ＝12
×2x ×x ＝x 2
(0≤x ≤4)．
(2)过点G 作GD ⊥OB ，垂足为D ，则在等腰直角三角形OO ′G 中，GD 也是斜边OO ′上的中线．
∵OO ′＝3×2＝6， ∴GD ＝OD ＝1
2
OO ′＝3，
∴点O ′，G 的坐标分别为(6，0)，(3，3)．
由抛物线经过点O (0，0)，B (8，0)，可设其表达式为y ＝ax (x －8)． 把G (3，3)代入表达式，得a ×3×(3－8)＝3， 解得a ＝－1
5
.
∴抛物线的函数表达式为y ＝－1
5x (x －8)，
即y ＝－15x 2＋8
5
x .
(3)存在．设符合条件的点P 的坐标为(x ，y )，则S ＝1
2×8·||y ＝8，
解得y ＝±2.
当y ＝2时，由－15x 2＋8
5x ＝2，
解得x ＝4±6；
当y ＝－2时，由－15x 2＋8
5
x ＝－2，
解得x ＝4±26.
∴符合条件的点P 的坐标为(4＋6，2)或(4－6，2)或(4＋26，－2)或(4－26，－2)．。