鞍山市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

鞍山市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，则•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
2． 设函数f （x ）=，则f （1）=（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 不等式x （x ﹣1）＜2的解集是（
）
A ．{x|﹣2＜x ＜1}
B ．{x|﹣1＜x ＜2}
C ．{x|x ＞1或x ＜﹣2}
D ．{x|x ＞2或x ＜﹣1}
4． 已知函数f （x ）＝若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
{log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1
)
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5． 在复平面内，复数所对应的点为，是虚数单位，则（ ）1z
i
+(2,1)-i z =A ．
B ．
C ．
D ．
3i
--3i -+3i -3i +
6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若
﹣
+1=0，则角B 的度数是（
）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
7． 若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ）
A ．l ∥α
B ．l ⊥α
C ．l ⊂α
D ．l 与α相交但不垂直
8． 在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
9． 函数y=2|x|的图象是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知数列｛｝满足（）.若数列｛｝的最大项和最小项分别为n a n
n n a 2
728-+=*
∈N n n a M 和，则（ ）
m =+m M A ．
B ．
C ．
D ．
2
11
2
27
32
259
32
43511．椭圆=1的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（
）
A ．公差为a 的等差数列
B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
二、填空题
13．已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中{}n a 223n n a a =-2
6121a a a =∙12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的最大值为_________.
14．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数在复平面内对应的点在12,z z y 12i z =-1
2
12
||z z z +（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．15．函数的定义域是，则函数的定义域是__________.111]
()y f x =[]0,2()1y f x =+16．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．　
17．已知函数f （x ）=x m 过点（2，），则m= ．　
18．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．
三、解答题
19．已知函数x
x x f --
-=
713)(的定义域为集合A ，，{x |210}B x =<<{x |21}
C a x a =<<+（1）求，B A C R ⋂)(；
A B （2）若，求实数a 的取值范围.
B C B = 20．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；{}n a n a n n S （2）设，为数列的前项和，若不等式对于任意的恒成立，求实数的
1
(1)
n n a b n =+n S {}n b n n S t <*n ∈N t 取值范围．
21．已知命题p ：“存在实数a ，使直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点”，命题q ：“存在实数a ，使点（a ，1）在椭圆
内部”，若命题“p 且¬q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
22．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）．（1）当a=
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值；1
2
（2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （
x
）
为
f 1
（
x
）
，
f 2
（
x
）
的
“
活
动
函
数
”
．
已
知
函
数
.。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ）
，()()
221121-a ln ,2f x a x ax x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭()22122f x x ax =+f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
23．（本小题满分12分）
的内角所对的边分别为，，ABC ∆,,A B C ,,a b c (sin ,5sin 5sin )m B A C =+
垂直.
(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--
（1）求的值；
sin A
（2）若，求的面积的最大值.
a =ABC ∆S 24．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，
[)160,180[)180,200[)200,220
，，，分组的频率分布直方图如图．
[)220,240[)240,260[)260,280[]280,300（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
1111]
鞍山市高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O 在线段AB ，AC 上的射影为相应线段的中点，
可得，
，则
•
=
=16﹣18=﹣2
；故选A ．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题　
2． 【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=，
f （1）=f[f （7）]=f （5）=3．故选：D ．　
3． 【答案】B
【解析】解：∵x （x ﹣1）＜2，∴x 2﹣x ﹣2＜0，
即（x ﹣2）（x+1）＜0，∴﹣1＜x ＜2，
即不等式的解集为{x|﹣1＜x ＜2}．故选：B
4． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9.即log 2（a ＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C.5． 【答案】D
【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，，，选D ．21z
i i
=-+(1)(2)3z i i i =+-=+6． 【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有： =
，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即﹣1=，
整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．　
7．【答案】B
【解析】解：∵=（1，0，2），=（﹣2，0，4），
∴=﹣2，
∴∥，
因此l⊥α．
故选：B．
8．【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC=0，即sin（C﹣A）=0，
∴A=C 即为等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
9．【答案】B
【解析】解：∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）
∴y=2|x|是偶函数，
又∵函数y=2|x|在[0，+∞）上单调递增，故C错误．
且当x=0时，y=1；x=1时，y=2，故A ，D 错误故选B
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据函数的解析式，分析出函数的性质，进而得到函数的形状是解答本题的关键．　
10．【答案】D 【解析】
试题分析：数列，， n n n a 2728-+=112528++-+=∴n n n a 112527
22n n
n n
n n a a ++--∴-=-，当时，,即；当时,,()11
2522729
22
n n n n n ++----+==41≤≤n n n a a >+112345a a a a a >>>>5≥n n n a a <+1即.因此数列先增后减,为最大项，，,最
...765>>>a a a {}n a 32259,55==∴a n 8,→∞→n a n 2
11
1=a ∴小项为，的值为．故选D.211M m +∴32
43532259211=
+考点：数列的函数特性.11．【答案】D
【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2
，
则c=
=2
；
则椭圆的离心率为e==，
故选D ．
【点评】本题考查椭圆的基本性质：a 2=b 2+c 2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．
12．【答案】A 【解析】解：∵，
∴a n =S （n ）﹣s （n ﹣1）=
=
∴a n ﹣a n ﹣1=
=a
∴数列{a n }是以a 为公差的等差数列故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用　
二、填空题
13．【答案】【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及
五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公
1,,,,n n a a d n S 式在解题中起到变量代换作用,而是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.1,a d 14．【答案】D 【
解
析
】
15．【答案】[]1,1-【解析】
考
点：函数的定义域.16．【答案】 ．
【解析】解：由题意可得，2a ，2b ，2c 成等差数列∴2b=a+c
∴4b 2=a 2+2ac+c 2①∵b 2=a 2﹣c 2②
①②联立可得，5c 2+2ac ﹣3a 2=0∵
∴5e 2+2e ﹣3=0∵0＜e ＜1∴故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题　
17．【答案】　﹣1　．
【解析】解：将（2，）代入函数f （x ）得： =2m ，解得：m=﹣1；故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．　
18．【答案】 ．
【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC ，高为AC ，所以三棱柱的体积：××1×1×2=，故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．　
三、解答题
19．【答案】（1），；（2）或
{}210A B x =<<U (){}
2310R C A B x x x =<<≤<I 或71a ≤-。

922
a ≤≤
【解析】
试题分析：（1）由题可知：，所以，因此集合，画数轴表示出集合A ，3070x x -≥⎧⎨
->⎩37x ≤<{}37A x x =≤<集合B ，观察图形可求，，观察数轴，可以求出，则{}210A B x =<<U {}
37R C A x x x =<≥或；（2）由可得：，分类讨论，当时，(){}2310R C A B x x x =<<≤<I 或7B C B =U C B ⊆B φ=，解得：，当时，若，则应满足，即，所以，21a a ≥+1a ≤-B φ≠C B ⊆2122110a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩1292
a a a ⎧⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤⎩922a ≤≤因此满足的实数的取值范围是：或。

B C B =U a 1a ≤-922
a ≤≤试题解析：（1）：由得：3070x x -≥⎧⎨->⎩
37x ≤<A={x|3x<7}
≤， B A C R
⋂)(=
A B {x |2x 10}=<<{x|2<x<3x<10}≤或7（2）当B=时，φ21,a -1a a ≥+≤当时，，B φ≠2122110a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
922a ≤≤即或 。

-1a ≤922
a ≤≤考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑n 思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．
21．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay ﹣2=0与圆x 2+y 2=1有公共点∴≤1⇒a 2≥1，即a ≥1或a ≤﹣1，
命题p 为真命题时，a ≥1或a ≤﹣1；
∵点（a ，1）在椭圆
内部，∴
，
命题q 为真命题时，﹣2＜a ＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p 且¬q ”是真命题，则命题p ，￢q 都是真命题
即p 真q 假，则⇒a ≥2或a ≤﹣2．故所求a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
22．【答案】（1） （2）a 的范围是 .()()2max min 11,.22e f x f x =+=11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】试题分析：（1）由题意得 f （x ）=x 2+lnx ，，∴f （x ）在区间[1，e]上为12
()2'11f 0x x x x x +=+=>增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当 时，，；
对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令
＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=
＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，
∵
若 ，令p ′（x ）=0，得极值点x 1=1，，当x 2＞x 1=1，即 时，在（x 2，+∞）上有p ′（x ）＞0，
此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意；当x 2＜x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；
若 ，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p ′（x ）＜0，
从而p （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p （x ）＜0在此区间上恒成立，只须满足
，所以 ≤a ≤．
又因为h ′（x ）=﹣x+2a ﹣=＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数，h （x ）＜h （1）=
+2a ≤0，所以a ≤综合可知a 的范围是[，]．23．【答案】（1）
；（2）4．45
【解析】试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得，由同角关系得；（2）由于已cos A sin A 知边及角，因此在（1）中等式中由基本不等式可求得，从而由公式　A 22265
bc b c a +-=10bc ≤可得面积的最大值．1sin 2S bc A =试题解析：（1）∵，垂直，(sin ,5sin 5sin )m B A C =+ (5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =-- ∴，
2225sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=
考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111]
24．【答案】（１）；（２）众数是，中位数为．
0.0075x =230224
【解析】
试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1
试题解析：（1）由直方图的性质可得，(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=∴．
0.0075x =
考点：频率分布直方图；中位数；众数．。