2020版高考数学第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理(含解析)新人教A版

第6节双曲线
考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称
).
性、顶点、离心率、渐近线
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a<c时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
[微点提醒]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b
2
a
.
2.离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2
a ＝
1＋b 2
a
2. 3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )
(3)方程x 2m －y 2
n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )
(4)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x m ±y
n
＝0.( )
(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1
e 22
＝
1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( )
解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.
(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.
解析 设双曲线方程为：x 2
－y 2
＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为x 28－y 2
8＝1. 答案
x 28
－y 2
8
＝1 3.(选修2－1P61A1改编)已知双曲线x 2
－y 2
16
＝1上一点P 到它的一个焦点的距离等于4，那
么点P 到另一个焦点的距离等于________.
解析 设双曲线的焦点为F 1，F 2，|PF 1|＝4，则||PF 1|－|PF 2||＝2，故|PF 2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c －a ＝17－1，故|PF 2|＝6. 答案
6
4.(2018·浙江卷)双曲线x 2
3－y 2
＝1的焦点坐标是( )
A.(－2，0)，(2，0)
B.(－2，0)，(2，0)
C.(0，－2)，(0，2)
D.(0，－2)，(0，2)
解析 由题可知双曲线的焦点在x 轴上，又c 2
＝a 2
＋b 2
＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 答案 B
5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝3
5
x ，则a ＝________.
解析 由题意可得3a ＝3
5，所以a ＝5.
答案 5
6.(2018·北京卷)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为5
2
，则a ＝________.
解析 由题意可得，a 2
＋4a 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫522
，即a 2
＝
16，又a >0，所以a ＝4. 答案 4
考点一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.1
4
B.35
C.3
4
D.45
(2)(2019·济南调研)已知圆C 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝1和圆C 2：(x －3)2
＋y 2
＝9，动圆M 同时与圆
C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________.
解析 (1)由x 2
－y 2
＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，
∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，
在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|＝3
4
.
(2)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .
根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，
所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2
＝8.
故点M 的轨迹方程为x 2－y 2
8＝1(x ≤－1).
答案 (1)C (2)x 2
－y 2
8
＝1(x ≤－1)
规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系.
【训练1】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，
F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )
A.215a 2
B.15a 2
C.30a 2
D.15a 2
(2)(2019·杭州质检)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±
23
3
x ，一个焦点为F (0，－7)，点
A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为
( ) A.8
B.10
C.4＋37
D.3＋317
解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c a
＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，
∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ， ∴cos ∠F 1AF 2＝|AF 1|2
＋|AF 2|2
－|F 1F 2|2
2|AF 1|·|AF 2|
＝（4a ）2
＋（2a ）2
－（4a ）2
2×4a ×2a ＝14.
又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝
15
4
， ∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×154
＝15a 2
.
(2)由已知得双曲线方程为y 24－x 2
3＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，
△PAF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|PA |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时，|PF ′|＋|PA |有最小值，为|AF ′|＝3，故△PAF 的周长的最小值为10. 答案 (1)B (2)B 考点二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y
＝52x ，且与椭圆x 2
12＋y
2
3＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 2
10＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 2
4
＝1
D.x 24－y 2
3
＝1 (2)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴
的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且
d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1 B.
x 212－y 2
4
＝1 C.x 23－y 2
9
＝1
D.x 29－y 2
3
＝1
解析 (1)由题设知b a ＝
5
2
，① 又由椭圆x 212＋y 2
3＝1与双曲线有公共焦点，
易知a 2
＋b 2
＝c 2
＝9，②
由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 2
5
＝1.
(2)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝
1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a
2＝4，解得a 2
＝3，所以双
曲线的方程为x 23－y 2
9＝1.
答案 (1)B (2)C
规律方法 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.
2.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝λ(λ≠0).
【训练2】 (1)(2019·海南二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且
实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( ) A.x 2
12－y 2
＝1
B.x 29－y 2
3
＝1 C.x 2
－y 2
3
＝1
D.x 223－y 2
32
＝1 (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)，则双曲线的方程为________________.
解析 (1)由双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一
个端点组成一个等边三角形，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2
－3b 2
＝1，b a ＝3，
解得⎩⎨⎧a ＝1，
b ＝3，
∴双曲线C 的标准方程是x 2
－y 2
3＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±2
3x ，
可设双曲线方程为x 29－y 2
4
＝λ(λ≠0).
因为双曲线过点P (6，2)，所以69－44＝λ，λ＝－1
3，
故所求双曲线方程为y 243－x 2
3＝1.
答案 (1)C (2)y 243－x 2
3＝1
考点三 双曲线的性质
多维探究
角度1 求双曲线的渐近线
【例3－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则
其渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±3x C.y ＝±
2
2
x
D.y ＝±
32
x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2
－a 2
＝2a ，即b a
＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±2x .
法二 由e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2
＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ＝±2
x .
答案 A
角度2 求双曲线的离心率
【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，
O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率
为( ) A. 5
B.2
C. 3
D. 2
(2)(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2
－2ax ＋34
a 2＝0，
若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫
1，233
B.⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，＋∞ C.(1，2)
D.(2，＋∞)
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a
x 的距离d ＝
|bc |
a 2＋b
2
＝b ，在
Rt△F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO
中，根据余弦定理得cos∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos∠POF 2＝－a c
，则3a 2＋c 2－(6a )
2＝0，得3a 2＝c 2
，所以e ＝c a ＝ 3.
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2
－2ax ＋34
a 2＝0
可化为(x －a )2＋y 2
＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线
与圆C 2有两个不同的交点，得
|ab |
a 2＋
b 2
<12
a ，即c >2
b ，即
c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2
－a 2)，即c 2<43a 2
，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫1，233.
答案 (1)C (2)A
角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题
【例3－3】 已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2
→
<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
33
，33 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
36
，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233
解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 20
2
－y 2
0＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－
x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3<0，即3y 2
0－1<0，解得－
33<y 0<3
3
. 答案 A
规律方法 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2
a
2直接求e .
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2
＝c 2
－a 2
消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【训练3】 (1)(2019·上海崇明区调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，
b >0)的一条渐近线与圆(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则C 的离心率为( )
A.43
B.54
C.169
D.2516
(2)已知焦点在x 轴上的双曲线x 2
8－m
＋
y 2
4－m
＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是
________.
解析 (1)双曲线C 的渐近线方程为by ±ax ＝0，结合图形易知与圆相切的只可能是by －ax ＝0，又圆心坐标为(2，1)，则|b －2a |
a 2＋
b 2＝1，得3a ＝4b ，
所以9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，则e 2
＝2516，
又e >1，故e ＝5
4
.
(2)对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，它的一个焦点(c ，0)到渐近线bx －ay
＝0的距离为|bc |b 2＋a
2＝b .本题中，双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1即x 28－m －y 2
m －4＝1，其焦点在x 轴
上，则⎩
⎪⎨⎪⎧8－m >0，
m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝
m －4∈(0，2).
答案 (1)B (2)(0，2)
[思维升华]
1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝t (t ≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为
“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近
线方程. [易错防范]
1.双曲线方程中c 2
＝a 2
＋b 2
，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.
2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1， ＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.
3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方
程是y ＝±a b
x .
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线
的渐近线方程为( ) A.y ＝±1
2x
B.y ＝±
22
x C.y ＝±2x
D.y ＝±2x
解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2
－b 2
＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22
x . 答案 B
2.双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，
垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( ) A. 2
B. 3
C.2
D.62
解析 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝
⎛⎭⎪⎫cos π4－1
＝ 2. 答案 A
3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C
的渐近线的距离为( ) A. 2
B.2
C.32
2
D.2 2
解析 法一 由离心率e ＝c a
＝2，得c ＝2a ，又b 2
＝c 2
－a 2
，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为
4
1＋1＝2 2.
法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为
4
1＋1＝2 2.
答案 D
4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3
2
，过右焦点F 作渐
近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A.x 2
－4y
2
5
＝1
B.x 22－2y 25＝1
C.x 24－y 2
5
＝1
D.
x 2
16－y 2
20
＝1 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝5
2，
取一条渐近线为y ＝b a x ，
可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bc
a 2＋
b 2
＝b ，
在Rt△FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2
＝a ，由题意可得12
ab ＝5，
联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12
ab ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，
所以双曲线的方程为x 24－y 2
5＝1.
答案 C
5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上
下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±6x
D.y ＝±
66
x 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，
∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|
2
＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝28a 2，
亦即c 2
＝7a 2
，则b ＝c 2
－a 2
＝6a 2
＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程为y ＝±66
x . 答案 D 二、填空题
6.直线l ：y ＝2x ＋10过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双
曲线方程为_________________________________. 解析 由题意得一个焦点为F (－5，0)，c ＝5，b a
＝2， 又a 2
＋b 2
＝c 2
，所以a 2
＝5，b 2
＝20， 所以双曲线方程为x 25－y 2
20＝1.
答案
x 2
5
－y 2
20
＝1 7.设双曲线x 29－y 2
16＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直
线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________.
解析 a 2＝9，b 2
＝16，故c ＝5.∴A (3，0)，F (5，0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)，
代入双曲线方程解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12·2·3215＝3215. 答案
32
15
8.(2019·梅州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为
坐标原点.P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于M ，N .若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为________.
解析 由题意，|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1O |＝|F 2O |，|PO |＝|MO |，得四边形PF 1MF 2为平行四边形，又∠MF 2N ＝60°，可得∠F 1PF 2＝60°，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，4c 2
＝16a 2
＋4a 2
－2·4a ·2a ·cos 60°，即4c 2
＝20a 2
－8a 2
，c 2
＝3a 2
，可得c ＝3a ，所以e ＝c
a
＝ 3. 答案
3
三、解答题
9.(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；
(2)(一题多解)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0. (1)解 ∵e ＝2，
∴可设双曲线的方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2
－y 2
＝6，即x 26－y 2
6＝1.
(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝
m 3＋23，k MF 2＝m
3－23，
k MF 1·k MF 2＝
m 29－12＝－m 2
3
. ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2
＝6，m 2
＝3， 故k MF 1·k MF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→
＝0. 法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→
＝(23－3，－m )，
∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2
， ∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2
＝6，即m 2
－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→
＝0.
10.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦
点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →
，求t 的值及点D 的坐标. 解 (1)由题意知a ＝23，
∵一条渐近线为y ＝b a
x ，即bx －ay ＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc |
b 2＋a 2
＝ 3.
又∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴b 2
＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，其中x 0≥2 3.
又OM →＋ON →＝tOD →
，即(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝t (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.
将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 2
12－y 2
3＝1得x 2－163x ＋84＝0，其中Δ＝(163)
2
－4×84>0，
则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝
3
3
(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0
y 0
＝433，x 20
12－y 20
3
＝1.解得⎩⎨⎧x 0
＝43，y 0
＝3.
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3).
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.(2019·河南适应测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P
是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π
6，则双曲线的渐近线方程
为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±1
2x
C.y ＝±
2
2
x
D.y ＝±2x
解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为⎩
⎪⎨⎪⎧2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，
故∠PF 1F 2＝π
6
.
由余弦定理，可得（4a ）2
＋（2c ）2
－（2a ）2
2·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2
＝0，所以c ＝3a ，则b
＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案 D
12.已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，直线y ＝kx (k >0)与E 交于不同象
限内的M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[2，2＋6]
B.[2，3＋1]
C.[2，2＋6]
D.[2，3＋1]
解析 如图，设左焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，
由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 2
1＋r 2
2＝4c 2
②，
由①②得r 1r 2＝2(c 2
－a 2
)，又知S △MNF ＝2S △MOF ， ∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴c 2－a 2＝c 2
·sin 2β， ∴e 2
＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，
∴e 2＝
11－sin 2β
∈[2，(3＋1)2
].
又e >1，∴e ∈[2，3＋1]. 答案 D
13.(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2
n
2＝1.若双曲线N 的两条
渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________.
解析 设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，
由题意可知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 2
4b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2
＝
a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4椭－8e 2椭＋4＝0，∴e 2
椭＝
4±23，∴e 椭＝3＋1(舍去)或 e 椭＝3－1，∴椭圆M 的离心率为3－1.∵双曲线的渐
近线过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫c 2，3c 2，
∴渐近线方程为y ＝3x ，∴n m ＝3，故双曲线的离心率e 双＝m 2＋n 2
m 2
＝2. 答案
3－1 2
14.已知椭圆C 1的方程为x 2
4＋y 2
＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2
的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →
＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.
解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，
则a 2
＝3，c 2
＝4，再由a 2
＋b 2
＝c 2
，得b 2
＝1. 故C 2的方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)将y ＝kx ＋2代入x 2
3－y 2
＝1，
得(1－3k 2
)x 2
－62kx －9＝0.
由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
⎩⎨
⎧1－3k 2
≠0，
Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）＞0，
∴k 2≠13且k 2
＜1.①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9
1－3k 2.
∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2
＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2
＋7
3k 2－1
.
又∵OA →·OB →
＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2，
∴3k 2
＋73k 2－1＞2，即－3k 2
＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.② 由①②得13＜k 2
＜1，
故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－
33∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，1. 新高考创新预测
15.(多填题)已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2
－y 2n
＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦
点F 1，F 2，则4e 2
1－e 2
2＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________. 解析 由题意得椭圆的半焦距满足c 2
1＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 2
2＝1＋n ， 又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ， 即m ＋n ＝3，
则4e 21－e 2
2＝4×4－m 4
－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.
不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，
则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2.解得⎩
⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1， 则|PF 1|·|PF 2|＝3. 答案 0 3。