13.3.2.等腰三角形的判定课件华东师大版数学八年级上册(37)
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2.等腰三角形的判定
基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评
课时学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定方法 2.理解并掌握等边三角形的判定方法
素养目标达成 几何直观、推理能力 几何直观、推理能力、运算能力
基础 主干落实
【新知要点】
1. 等腰三角形判定定理
文字 描述
如果一个三角形有两个角__相__等__, 那么这两个角所对的边也相等 (简写成“__等__角__对__等__边__”)
素养 当堂测评
1.(3分·几何直观、推理能力)在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,那么这个三角形
是( B )
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
2.(3分·几何直观、推理能力)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD, 垂足为D,BE交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=10,BC=6,则BD的长为( C ) A.1
重点 典例研析
重点1 等腰三角形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P82例3拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC. (1)求证:△AMN是等腰三角形; 【自主解答】(1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C,(等边对等角) ∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,(两直线平行,同位角相等) ∴∠AMN=∠ANM,(等量代换) ∴AM=AN,(等角对等边) ∴△AMN是等腰三角形;
【技法点拨】 等腰三角形的三种判定方法 1.当三角形有两条边相等时,应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定. 2.当三角形中有两个角相等时,应用“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等”来证明. 3.当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时,应用“线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等,则构成的三角形是等腰三角形”来证明. 特别提醒 等角对等边,必须限定在同一三角形中.
C.2
3.(3分·几何直观、推理能力)如图为脊柱侧弯测量示意图,∠O的大小是脊柱侧弯 严重度的参考标准之一,一次体检中,若测得某人∠O=45°,则图中与∠O相等的角 的个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4
4.(3分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点 D,且DE=DB,则△CEB是____等_边_____三角形.
图形 语言
符号 在△ABC中,∵ ∠B=∠C,∴_A_C__=_A__B_
语言
【对点小练】
1.在△ABC中,∠A和∠B的度数 如下,能判定△ABC是等腰三角 形的是( B ) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
【举一反三】 如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB边的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF. 求证:△ABC是等边三角形. 【证明】∵D为AB的中点,∴AD=BD. ∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠AED=∠BFD=90°. 在Rt△ADE和Rt△BDF中, ∵AD=BD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△BDF(H.L.), ∴∠A=∠B,∴CA=CB, ∵AB=AC,∴AB=BC=AC, ∴△ABC是等边三角形.
【典例1】(教材再开发·P82例3拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC. (2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC.求证:△BPM是等腰三角形. 【自主解答】(2)∵BP平分∠ABC, ∴∠MBP=∠CBP,(角平分线的定义) ∵MN∥BC,(已知) ∴∠MPB=∠CBP,(两直线平行,内错角相等) ∴∠MBP=∠MPB,(等量代换) ∴MB=MP,(等角对等边) ∴△BPM是等腰三角形.
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是边AB,BC, CA上的点,且AD=BE=CF,求证:△DEF是等边三角形. 【证明】∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC, ∵AD=BE=CF,∴BD=CE=AF, 在△ADF和△BED中, ∵AD=BE,∠A=∠B,AF=BD, ∴△ADF≌△BED.), ∴DF=DE,同理可得DE=EF, ∴DE=FD=EF,∴△DEF是等边三角形.
【举一反三】 1.(2024·哈尔滨质检)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于 点O,过点O作BC的平行线MN交AB于点M,交AC于点N,则△AMN的周长为( B )
A.12 B.14 C.16 D.18
2.如图,已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合, 顶点D落在OA边上,DN边与OC交于P. (1)猜想△DOP是___等__腰_____三角形. 【解析】(1)△DOP是等腰三角形. (2)证明你的猜想,写出解答过程. 【解析】(2)∵OC平分∠AOB,∴∠DOP=∠BOP, ∵DN∥EM,∴∠DPO=∠BOP, ∴∠DOP=∠DPO,∴OD=PD, ∴△DOP是等腰三角形.
本课结束
【新知要点】 2.
等边三角形判定定理
文字 三个角都相等的三角形 有一个角等于60°的等腰
描述 是等边三角形
三角形是等ABC中, ∵∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形
在△ABC中, ∵∠A=60°,AB=AC, ∴△ABC是等边三角形
【对点小练】
2.已知,如图,等腰△ABC,AB=AC, (1)若AB=_B_C__, 则△ABC为等边三角形; (2)若∠A=_6_0__°, 则△ABC为等边三角形; (3)若∠B=_6_0__°, 则△ABC为等边三角形.
基础 主干落实 重点 典例研析 素养 当堂测评
课时学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定方法 2.理解并掌握等边三角形的判定方法
素养目标达成 几何直观、推理能力 几何直观、推理能力、运算能力
基础 主干落实
【新知要点】
1. 等腰三角形判定定理
文字 描述
如果一个三角形有两个角__相__等__, 那么这两个角所对的边也相等 (简写成“__等__角__对__等__边__”)
素养 当堂测评
1.(3分·几何直观、推理能力)在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,那么这个三角形
是( B )
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.直角三角形
2.(3分·几何直观、推理能力)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD, 垂足为D,BE交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=10,BC=6,则BD的长为( C ) A.1
重点 典例研析
重点1 等腰三角形的判定(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P82例3拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC. (1)求证:△AMN是等腰三角形; 【自主解答】(1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C,(等边对等角) ∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,(两直线平行,同位角相等) ∴∠AMN=∠ANM,(等量代换) ∴AM=AN,(等角对等边) ∴△AMN是等腰三角形;
【技法点拨】 等腰三角形的三种判定方法 1.当三角形有两条边相等时,应用“有两条边相等的三角形是等腰三角形”来判定. 2.当三角形中有两个角相等时,应用“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等”来证明. 3.当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时,应用“线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等,则构成的三角形是等腰三角形”来证明. 特别提醒 等角对等边,必须限定在同一三角形中.
C.2
3.(3分·几何直观、推理能力)如图为脊柱侧弯测量示意图,∠O的大小是脊柱侧弯 严重度的参考标准之一,一次体检中,若测得某人∠O=45°,则图中与∠O相等的角 的个数为( D ) A.1 B.2 C.3 D.4
4.(3分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点 D,且DE=DB,则△CEB是____等_边_____三角形.
图形 语言
符号 在△ABC中,∵ ∠B=∠C,∴_A_C__=_A__B_
语言
【对点小练】
1.在△ABC中,∠A和∠B的度数 如下,能判定△ABC是等腰三角 形的是( B ) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
【举一反三】 如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB边的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF. 求证:△ABC是等边三角形. 【证明】∵D为AB的中点,∴AD=BD. ∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴∠AED=∠BFD=90°. 在Rt△ADE和Rt△BDF中, ∵AD=BD,DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△BDF(H.L.), ∴∠A=∠B,∴CA=CB, ∵AB=AC,∴AB=BC=AC, ∴△ABC是等边三角形.
【典例1】(教材再开发·P82例3拓展)如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC 边上的点,并且MN∥BC. (2)点P是MN上的一点,并且BP平分∠ABC.求证:△BPM是等腰三角形. 【自主解答】(2)∵BP平分∠ABC, ∴∠MBP=∠CBP,(角平分线的定义) ∵MN∥BC,(已知) ∴∠MPB=∠CBP,(两直线平行,内错角相等) ∴∠MBP=∠MPB,(等量代换) ∴MB=MP,(等角对等边) ∴△BPM是等腰三角形.
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是边AB,BC, CA上的点,且AD=BE=CF,求证:△DEF是等边三角形. 【证明】∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC, ∵AD=BE=CF,∴BD=CE=AF, 在△ADF和△BED中, ∵AD=BE,∠A=∠B,AF=BD, ∴△ADF≌△BED.), ∴DF=DE,同理可得DE=EF, ∴DE=FD=EF,∴△DEF是等边三角形.
【举一反三】 1.(2024·哈尔滨质检)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,∠ABC和∠ACB的平分线交于 点O,过点O作BC的平行线MN交AB于点M,交AC于点N,则△AMN的周长为( B )
A.12 B.14 C.16 D.18
2.如图,已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合, 顶点D落在OA边上,DN边与OC交于P. (1)猜想△DOP是___等__腰_____三角形. 【解析】(1)△DOP是等腰三角形. (2)证明你的猜想,写出解答过程. 【解析】(2)∵OC平分∠AOB,∴∠DOP=∠BOP, ∵DN∥EM,∴∠DPO=∠BOP, ∴∠DOP=∠DPO,∴OD=PD, ∴△DOP是等腰三角形.
本课结束
【新知要点】 2.
等边三角形判定定理
文字 三个角都相等的三角形 有一个角等于60°的等腰
描述 是等边三角形
三角形是等ABC中, ∵∠A=∠B=∠C, ∴△ABC是等边三角形
在△ABC中, ∵∠A=60°,AB=AC, ∴△ABC是等边三角形
【对点小练】
2.已知,如图,等腰△ABC,AB=AC, (1)若AB=_B_C__, 则△ABC为等边三角形; (2)若∠A=_6_0__°, 则△ABC为等边三角形; (3)若∠B=_6_0__°, 则△ABC为等边三角形.