圆锥曲线高考真题专练含答案精编版

圆锥曲线高考真题专练
含答案精编版
MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
2018年数学全国1卷
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的
坐标为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.
由已知可得，点A 的坐标为(1,
2或(1,2
-.
所以AM 的方程为2y x =-
2
y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，
1221(,),(,)A y x y x B ，
则12x x <MA ，MB 的斜率之和为212122
MA MB x x y y
k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得
121212(23()42)(2)
MA MB x x x x k k x x k
k k -+++=
--.
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=得
2222(21)4220k x k x k +-+-=.
所以，21221222422
,2121
x x x k k k x k -+==++.
则3131322244128423()4021
k k k k k
k k k k x x x x --++-++=
=+.
从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.
已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1
，
P 4（1
C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 解：
（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.
又由2222
1113
4a b a b +>+知，C 不经过点P1，所以点P2在C 上. 因此2
221
11314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2
2
41a b ⎧=⎪⎨=⎪
⎩. 故C 的方程为2
21
4x y +=.
（2）设直线P2A 与直线P2B 的斜率分别为k1，k2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x=t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为
（t
，），（t
，
）.
则121
k k +=-=-，得2t =，不符合题设.
从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
21
4x y +=得
由题设可知
22
=16(41)0k m ∆-+>. 设A （x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=2
841km
k -+，x1x2=22
4441m k -+.
而
12121211
y y k k x x --+=
+
121212
2(1)()
kx x m x x x x +-+=
.
由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.
即222448(21)(1)0
4141m km
k m k k --+⋅+-⋅=++.
解得
12m k +=-
.
当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-
+，即1
1(2)2m y x ++=--，
所以l 过定点（2，1-）
2016年数学全国1卷
设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，
l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
【答案】（I ）1342
2=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[
【解析】
试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

试题解析：（I ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.
又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：
13
42
2=+y x （0≠y ）. （II ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，
),(22y x N .
由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=134
)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .
则3482221+=+k k x x ，3412
42221+-=k k x x .
所以3
4)
1(12||1||2
2212
++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为12
2+k ，
所以
13
44)1
2
(42||222
22
++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 3
41
112||||212++==
k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12.
综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 2013年数学全国1卷
已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
【解析】由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）,半径1r =1，圆N 的圆心为N (1,0),半径2r =3.
设动圆P 的圆心为P （x ，y ），半径为R.
（Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4，
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2
的
椭圆(左顶点除外)，其方程为22
1(2)43
x y x +=≠-.
（Ⅱ）对于曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴R ≤2, 当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=， 当l 的倾斜角为090时，则l 与y 轴重合，可得
|AB|=.
当l 的倾斜角不为090时，由1r ≠R 知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
||||QP QM =1
R
r ，可求得Q （-4，0），∴设l ：(4)y k x =+，由l 于圆M
相切得1=
，解得k =当k
时，将y x =+代入221(2)43x y x +
=≠-并整理得27880x x +-=，解得1,2x
，∴
12|x x -=187.
当k =
时，由图形的对称性可知|AB|=18
7
， 综上，|AB|=
18
7
或
|AB|=2012年数学全国1卷
设抛物线22(0)C x py p =>：的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.
（1） 若90BFD ∠=，ABD ∆
的面积为p 的值及圆F 的方程； （2） 若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 之有一个公共
点，求坐标原点到,m n 距离的比值.
【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p = 点A 到准线l
的距离d FA FB ===
圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p
F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-
=-⇔= 得：3(3,)2p A p ，直线3322:30223p p p p m y x x y p
-
=
+⇔-+= 22
332233
x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点3(,)36p p
P
直线333
:()306336
p p n y x x y p -
=-⇔--= 坐标原点到,m n 距离的比值为
33:326
p p
=。

已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2
2
12
y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足
0OA OB OP ++=.
(I)证明：点P 在C 上；
(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、
B 、Q 四点在同一圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

【解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =-+,代入2
2
12
y x +=并化简得 242210x x --=. …………………………2分 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y , 则122626
x x -+=
=
由题意得312312()()1,x x x y y y =-+==-+=-
所以点P 的坐标为(1)2
-
-.
经验证点P 的坐标(1)2-
-满足方程22
12
y x +=,故点P 在椭圆C 上 …6分
(II)由P (1)2
-
-和题设知，Q 2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为
2
y x =-
. ①
设AB 的中点为M ,则1
)2
M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为
1
24
y x =
+. ②
由①、②得1l 、2l 的交点为1
()88
N -
. …………………………9分
||8
NP ==
,
21||||2
AB x x =-=
,
||AM =
,
||8
MN ==
,
||8
NA ==
, 故 ||||NP NA =,
又 ||||NP NQ =, ||||NA NB =, 所以 ||||||||NA NP NB NQ ===,
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上. ……………12分
如图，已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于
A 、
B 、
C 、
D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；
（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标
分析：（I ）这一问学生易下手。

将抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)
M x y r r -+=>的方程联立，消去2y ，整理得
227160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）
抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.易得15
4)2
r ∈.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．
（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。

因此利用设而不求、
整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点．
设四个交点的坐标分别为11()A x x 、11(,B x x -、22(,C x x -、22()D x x 。

则由（I ）根据韦达定理有212127,16x x x x r +==-，154)r ∈ 则211221121
2||()||()2
S x x x x x x x x =⋅⋅-=-
216r t -=，则22(72)(72)S t t =+- 下面求2S 的最大值。

方法一：利用三次均值求解。

三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最
值问题有时很方便。

它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。

当且仅当72144t t +=-，即7
6
t =时取最大值。

经检验此时154)r ∈满足题意。

方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。

具体解法略。

下面来处理点P 的坐标。

设点P 的坐标为：(,0)p P x
由A P C 、、
121p =
得7
6
p x t ===。

设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),
4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2
16160k ∆=+>，故1222
24
k x k x ++=
. 所以1222
44
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=. 由题设知
22
44
8k k +=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为
2(3)y x -=--，即5y x =-+.
设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足2NP NM =. (1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解
（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y
由2=NP NM 得00=,=
x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22
122
+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ，
由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF .学.科网又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
已知椭圆E :22
13
x y t +
=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用
k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k . 试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为
22
143
x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22143x y +
=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以112
7y =. 因此AMN ∆的面积11212144
227749
=⨯⨯⨯=.
（II ）由题意3t >，0k >
，()
A .
将直线AM
的方程(y k x =代入22
13
x y t +
=得(
)22222330tk x x t k t +++-=.
由(22
123t k x tk ⋅=+
得)
212
33tk x tk
-=+
，故
1AM x =+=
由题设，直线AN 的方程为(1
y x k
=-，故同理可得
AN ==，
由2AM AN =得22
233k
tk k t
=++，即()()32321k t k k -
=-. 当k =
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
3233
21
32022
k k k k k k k -+-+-=<--， 即
3
2
02k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020
k k -<⎧⎨-
>⎩2k <<.
因此k 的取值范围是
)
2.
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
22=1x y a b
+(a ＞
b ＞0)右焦点的直线
0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程；
(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，
则221122=1x y a b +，222222=1x y a b
+，2121=1y y
x x ---，
由此可得2212122121
=1b x x y y
a y y x x (+)-=-(+)-.
因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，001
2
y x =， 所以a 2＝2b 2.
因此a 2＝6，b 2＝3.
所以M 的方程为22
=163
x y +.
(2)由220,1,6
3x y x y ⎧+-=⎪
⎨+
=⎪⎩
解得x y ⎧=
⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
或0,x y =⎧
⎪⎨
=⎪
⎩ 因此|AB|＝
3
.
由题意可设直线CD 的方程为 y
＝x n n ⎛+<< ⎝， 设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．
由22
,
16
3y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝
0. 于是x 3,4.
因为直线CD
的斜率为1， 所以|CD|
43|x x -=
由已知，四边形ACBD
的面积1||||2
S CD AB =⋅=.
当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为3
. 所以四边形ACBD . 已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:12
y C x
+=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足?0OA OB OP ++=. （I ） 证明：点P 在C 上；
（II ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明A P B Q 、、、四点在同一圆上。

解：
（I ） (0,1)F ，l
的方程为1y =+，代入2
2
12
y x +=并化简得 ……2分
（II ）
2410x -=
（III ） 设()()112233,,,,(,)A x y B x y P x y ， （IV ）
则12x x =
=， （V ）
得)12121221x x y y x x +=
+=++= （VI ）
得(
)()31231212
x x x y y y =-+=-
=-+=- （VII ） 所以点P
的坐标为12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，验证得P 在椭圆上。

……6分
（VIII ）
由1P ⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
，知Q ⎫⎪⎪⎝⎭，PQ 的垂直平分线1l 的方程为 （IX ）
.y x = （X ）
设AB 的中点为M
，则1?42M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭，AB 的垂直平分线2l 的方程为
（XI ）
1
924
y x =
+⋯⋯分 （XII ） 联立 1
2l l ⎧⎨⎩
，得188N ⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
， ……9分
21
||
2
||
4
||
||
8
||
8
||
8
||||,
||||,||||,
||||||||,
x
AM
MN
NA
NP NA
NP NQ NA NB
NA N
NP
AB
P NB NQ
Q
A B
x
P
==
=-=
=
==
==
=
==
=
==
故
又
所以
由此可知、、、四点在以N NA
为圆心，为半径的圆上……12分
己知斜率为1的直线l与双曲线C：()
22
22
100
x y
a b
a b
-=＞，＞相交于B、D两点，且BD的中点为()
1,3
M．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，17
DF BF=，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
解：
（I）由题设知，l的方程为.2
+
=x
y
代入C的方程，并化简得，
设)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
D
y
x
B
则,
4
,
4
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1a
b
b
a
a
x
x
a
b
a
x
x
-
+
-
=
⋅
-
=①
由)3,1(
M为B D的中点知,1
2
2
1=
+x
x
故
即,
32
2a
b=②
故.
2
2
2a
b
a
c=
+
=
所以C的离心率.2
=
=
a
c
e
（II）由①、②知，C的方程为：2
2
23
3a
y
x=
-
A （a ，0），F （2a ，0），,02
34,22
2121<+-=⋅=+a x x x x 故不妨设.a ,21≥-≤x a x
…………9分
又.17||||=⋅FD BF 故.178452=++a a
解得5
9
,1-==a a 或（舍去）
故2||=BD .64)(2||2122121=-+=-x x x x x x 连结MA ，则由A （1，0），M （1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD ，且MA ⊥x 轴，因此以M 为圆主，MA
为半径的圆经地A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。

…………
12分
已知斜率为k 的直线l 与椭圆22
143
x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
()()10M m m >，．
（1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，
FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．
解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则2222
12121,14343
y x y x +=+=. 两式相减，并由
12
2
1y x y k x -=-得 1122
043
y x y k x +++⋅=. 由题设知
12121,22
x y x y
m ++==，于是 3
4k m
=-
.① 由题设得302m <<
，故1
2
k <-.
（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则
331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.
由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2
FP =. 于是
1||(22
x
FA x ===-.
同理2
||22
x FB =-
. 所以121
||||4()32
FA FB x x +=-+=.
故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则
1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=.② 将3
4
m =
代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得21
71404x x -+=.
故121212,28
x x x x +==
，代入②解得||28d =.
已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段
AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程． 解
（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+
由222x my y x
=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()2
22
12121212==故=224
y y y y x ,x ,x x =4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4
==-14
y y x x 所以OA ⊥OB
故坐标原点O 在圆M 上.
（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2
+2，m m ，圆M 的半径r =
由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，
所以2210m m --=，解得1
1或2
m m ==-.
当m=1时，直线l
的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 的半径为
，圆M 的方程为()()22
3110x y -+-=
当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，
-42⎛⎫
⎪⎝⎭
，圆M 的半径为4，圆M 的方程为2
2
9185++4216x y ⎛
⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为
360x y --=，点(11)T -，在AD 边所在直线上．
（I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
解：（I ）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，所以直线
AD 的斜率为3-．
又因为点(11)T -，在直线AD 上，
所以AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．
320x y ++=．
（II ）由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩，解得点A 的坐标为(02)-，，
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(20)M ，． 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．
又AM ==
从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=．
（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，
所以PM PN =+
即PM PN -=．
故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长a =，半焦距2c =．
所以虚半轴长b ==．
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -=≤．
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直
线AP 与BP 的斜率之积等于1
3
-.
(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y
由题意得
111
113
y y x x -+=-+-
化简得 2234(1)x y x +=≠±.
故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±
（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为
(3,)M y ,(3,)N y .
则直线AP 的方程为001
1(1)1
y y x x --=
++，直线BP 的方程为001
1(1)1
y y x x ++=
-- 令3x =得000431M y x y x +-=
+，00023
1
N y x y x -+=-.
于是
PMN 得面积
又直线AB 的方程为0x y +=，||
AB = 点P 到直线AB 的距离d =. 于是PAB 的面积 当PAB
PMN S
S =时，得2
000002
0||(3)|||1|
x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，
所以20(3)x -=20|1|x -，解得05
|3
x =。

因为220034x y +=，所以09
y =±
故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为5(,39
±
. 解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为
00(,)x y
则11
||||sin ||||sin 22
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠.
因为sin sin APB MPN ∠=∠,
所以
||||
||||PA PN PM PB = 所以
000|1||3|
|3||1|
x x x x +-=--
即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 5
3
=
因为220034x y +=
，所以09
y =±
故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点P
的坐标为
5(,3. 已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R . （1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；
（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线
4y kx =+与
曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，
G ，N
三点共线.
解：（1）原曲线方程可化简得：22
18852
x y m m +=-- 由题意可得：8852
8058
02m m m
m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩
，解得：7
52m <<
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，
2=32(23)k ∆-，解得：232
k >
由韦达定理得：21621M N k x x k +=
+①，224
21
M N
x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，
MB 方程为：6
2M M kx y x x +=
-，则316M M x G kx ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，，
∴316M M x AG x k ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即
3(2)6
M
N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

已知椭圆22:24C x y +=， （1）求椭圆C 的离心率.
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.
解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为22
142
x y +=。

所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=。

因此2,a c == 故椭圆C
的离心率c e a =
=
（Ⅱ） 直线AB 与圆222x y +=相切。

证明如下：
设点A,B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠。

因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得0
2y t x =-。

当0x t =时，2
02t y =，代入椭圆C
的方程，得t =，
故直线AB
的方程为x =。

圆心O 到直线AB
的距离d = 此时直线AB 与圆222x y +=相切。

当0x t ≠时，直线AB 的方程为002
2()y y x t x t
--=--， 即0000(2)()20y x x t y x ty ---+-=， 圆心0到直线AB 的距离
d =
，又220024x y +=，0
2y t x =-
故
d =
=
= 此时直线AB 与圆222x y +=相切.
已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>
，点()0,1P ，和点(,)(0)
A m n m ≠都
在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q Q ，使得若存在，求点Q 的坐标；若不不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）由题意知1b =
，
2
c a =，又222a b c =+
，解得1a b c ===， 所以C 的方程为2
212
x y +=．
PA 的斜率1PA n k m -=
，所以PA 方程1
1n y x m
-=+， 令0y =，解得1m x n =
-，所以,01m M n ⎛⎫
⎪-⎝⎭
（Ⅱ）(),B m n -，同（I ）可得,01m N n ⎛⎫
⎪+⎝⎭
， 1tan QM
OQM k ∠=
，tan QN ONQ k ∠=，
因为OQM ONQ ∠=∠所以1QN QM k k ⋅=，
设(),0Q t 则111t t m m n n ⋅=-+--即22
21m t n =
-， 又A 在椭圆C 上，所以22
12m n +=，即2221m n
=-，
所以t =
，故存在()
Q 使得OQM ONQ ∠=∠
已知椭圆C ：22221+=x y a b （0a b >>
，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，
△OAB 的面积为1. （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.
【答案】（I ）1422
=+y x ；（II ）见解析.
【解析】
试题分析：（I
，即=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，
椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.
试题解析：（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121
,23
222c b a ab a c 解得1,2==b a .
所以椭圆C 的方程为1422
=+y x .
（II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，
设),(00y x P ，则442
020=+y x .
当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(2
00
--=
x x y y . 令0=x ，得2
200
--
=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M .
直线PB 的方程为11
0+-=
x x y y . 令0=y ，得1
00
--
=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .
所以2
211200
00-+⋅-+
=⋅x y y x BM AN 4=.
当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.
【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力
【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.
已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：1
1
λ
μ
+
为定值．
解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．
由241
y x
y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由（I ）知12224k x x k -+=-
，12
2
1
x x k =． 直线PA 的方程为y –2=112
2(1)1
y y x x --=--．
令x =0，得点M 的纵坐标为111121
2211
M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为221
21
N kx y x -+=
+-． 由=QM QO λ，=QN QO μ得=1M y λ-，1N y μ=-． 所以
2212121212122
224112()111111=2111(1)(1)11
M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以
1
1
λ
μ
+
为定值．
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，过点
2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交与,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B =。

（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）求直线AB 的斜率；
（Ⅲ） 设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点(,)(0)H m n m ≠在
∆1AF C 的外接圆上，求
n
m
的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分
（Ⅰ）解：由
1F A 2F B 12FA 2F B =2211
EF F B 1EF FA 2==2
2
a 1a 2c
c c c
-=+22
3a c
=3c e a ==22222b a c c =-=2
2
2236x y c +=2a y k x c ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭(3)y k x c =-1122(,),(,)
A x y
B x y 222(3)
236y k x c x y c
=-⎧⎨+=⎩222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=
依题意，2248(13)033
c k k ∆=->-
<<，得 而 2122
1823k c
x x k
+=+ ①
22122
27623c
k c c x x k
-=+ ② 由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③
联立①③解得2129223k c c x k -=+，222
9223k c c
x k
+=+ 将12,x x
代入②中，解得3
k =±
(Ⅲ)解法一：由（Ⅱ）可知1230,2
c x x ==
当3
k =-
时，得)A
，由已知得(0,)C . 线段1AF 的垂直平分线l
的方程为222c y c x ⎫-
=-+⎪⎝⎭
，直线l 与x 轴的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为2
2
2
x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. 直线2F B
的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组
222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝
⎭⎨⎪
=-⎩ ， 由0,m ≠
解得533m c n c ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
故5n m =
当3
k =
时，同理可得5n m =-
解法二：由（Ⅱ）可知1230,2
c
x x ==
当3
k =-
时，得)A ,
由已知得(0,)C 由椭圆的对称性可知B ，2F ，C 三点共线，因为点H （m ，n ）在1AF C ∆的外接圆上，
且12//F A F B ，所以四边形1AF CH 为等腰梯形.
由直线2F B
的方程为)y x c =-,知点H
的坐标为()m -.
因为1AH CF =
，所以222)m a +-=，解得m=c （舍），或
53
m c =.
则3
n =
，所以5n m =
当3
k =
时，同理可得n 5m =-
已知椭圆22221(0x y a b a b +=>>）
的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的
面积为4。

（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为（,0a -），点
0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值
（3） （1
）解：由e c a =
=
2234a c =，再由222c a b =-，得2a b = （4） 由题意可知， 1
224,22
a b ab ⨯⨯==即
（5） 解方程组22
a b
ab =⎧⎨=⎩ 得 a=2,b=1
（6） 所以椭圆的方程为2
214
x y +=
（7） (2)解：由（1）可知A （-2,0）。

设B 点的坐标为（x 1,,y 1）,直线l 的斜
率为k ，则直线l 的方程为y=k(x+2),
（8） 于是A,B 两点的坐标满足方程组22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ （9） 由方程组消去Y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=
（10）由212
164
2,14k x k
--=+得 （11）设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为222
82(,)1414k k
k k
-++
（12）以下分两种情况：
（13）（1）当k=0时，点B 的坐标为（2,0）。

线段AB 的垂直平分线为y 轴，
于是
（14）（2）当K 0≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2
22218()1414k k Y x k k k -=+++
（15）令x=0，解得02
614k
y k
=
+ （16）由0110(2,y ),(,QA QB x y y →
→
=--=-） （17
）整理得2072,=k k y ==故 （18
）综上00==y y ±设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,
, 过点F 且与x 轴垂直的直线
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,
D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
(Ⅰ)解：设(,0)F c -
，由
c a =
，知a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=
，解得3y =±
，于是33=
，解得
b =，又2
2
2
a c
b -=
，从而a =1c =，所以椭圆的方程为22
132
x y +=.
（Ⅱ）解：设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，
由方程组22(1)
132y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=.
求解可得2122623k x x k +=-+，22
36
23k k
-+.
因为(A
，B ，
所以11222211(),)(),)AC DB AD CB x y x y x y x y ⋅+⋅=⋅-+⋅-
2
2
2
12126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-22
212
623k k
+++.
由已知得22
212
6823k k ++
=+，解得k =
已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b 的左焦点为F -c （,0）,，点M 在椭圆上且
位于第一象限，直线FM 被圆42
2
+4b x y
截得的线段的长为c ，. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP ，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
【答案】； (II) 22132x y += ；(III) 22,,⎛⎛-∞ ⎝. 【解析】
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线FM 的方程为
()y k x c =+，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设
椭圆方程为2222132x y c c +=，直线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由FM =
可求出c ，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP ：(1)y t x =+，与椭圆方程联立，
求得t =
>x 的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围. 试题解析：(I) 由已知有221
3c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，
设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有
2
2
2
22c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得k = (II)由(I)得椭圆方程为22
22132x y c c +=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联
立，消去y ，整理得
223250x cx c +-=，解得5
3
x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标
为c ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22
132
x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1
y
t x =
+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22
(1)13
2y t x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2
2
2
23(1)6x t x ++=
，又由已知，得t =>，解得 3
12
x -
<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得y
m x
=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223
m x =
-. ①当3,12x ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
时，有(1)0y t x =+<，因此0m >
，于是m =
，得m ∈
②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <
，于是m =
，得,m ⎛∈-∞ ⎝
综上，直线OP
的斜率的取值范围是22,,⎛
⎛-∞ ⎝ 设椭圆2221(3x y a a +=> 的右焦点为F ,右顶点为A .已知113,||||||
e
OF OA FA +=
其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ,求直线l 的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）),46
[]46,(+∞--∞ .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a 的值，由
113||||||
e
OF OA FA +=
，得113()c c a a a c +=-，
再利用222a c b -=，可解得a 的值；（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据
HF BF ⊥，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围. 试题解析：（I ）解：设(,0)F c ，由
113||||||e OF OA FA +=
，即113()
c
c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方
程为22
143
x y +=.
（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .
设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)2(13
42
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .
解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得3
46
822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .
由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343
k k
BF k k -=++.
由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以222124904343H
ky k k k -+=++，解得k
k y H 12492-=.
因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+-=.
设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M . 设椭圆22
221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .
已知椭圆的离心率为
A 的坐标为(,0)b
，且FB AB ⋅= （I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .
若
4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点) ，求k 的值. （Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知225
9
c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得
2a =3b ．由已知可得，FB a =
，AB =
，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而
a =3，
b =2．
所以，椭圆的方程为22
194
x y +=．
（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有
y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =
∠，而∠OAB =π
4
，故
2AQ =
．由
AQ AOQ PQ
=
∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
，消去x
，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩
，
，
消去x ，可得221
k
y k =
+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）
=理得25650110k k -+=，解得12
k =，或1128
k =
．
所以，k 的值为111228
或
． 已知m ＞1，直线2
:02
m l x my --=，
椭圆2
22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ， 12BF F 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段
GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

（Ⅰ）解：因为直线:l 2
02m x my --=经过22(1,0)F m -，
2
2
12
m m -=,得22m =，
又因为1m >， 所以2m =，
故直线l 的方程为2
2
20x --=。

（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。

由2222
2
1m x my x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得
则由2
2
28(1)804
m m m ∆=--=-+>，知
28m <，
且有212121
,282
m m y y y y +=-=
-。

由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点， 由2,2AG GO BH HO ==， 可知1121(
,),(,),3333
x y x y G h 设M 是GH 的中点，则1212
(,)66
x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH <
即22
2212121212()()4[()()]6699x x y y x x y y ++--+<+
即12120x x y y +<
而22
12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++
所以21
082m -<
即24m <
又因为1m >且0∆> 所以12m <<。

所以m 的取值范围是(1,2)。

已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M 。

（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.
（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：1,4
y =-所以圆心M （0,4）
到抛物线的距离是
17,4
（Ⅱ）解：设P(x 0, x 02)，A （211,x x ）B （222,x x ），由题意得
0121,x x x ≠±≠设过点P 的圆C 2的切线方程为y-
x 0=k(x- x 0)
即200()y x k x x -=-， ①
2002
11k
=+
即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=
设PA ，PB 的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所
以
20012202(4)1x x k k x -+=-，220122
0(4)1
1
x k k x --⋅=- 将①代入2y x =得22000x kx kx x -+-=，
由于0x 是此方程的根，故110220,,x k x x k x =-=-所以
由MP ⊥AB,得2
2
0000
200
2(4)4
(
2)()11AB MP x x x k k x x x --⋅=-⋅=--，解得200
3
5x x =
即点P 的坐标为2323(,)55，所以直线l 的方程为31154115
y x =±+。

设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程； （2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值。

【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p = 点A 到准线l 的距离2d FA FB ===
圆F 的方程为22(1)8x y +-=
（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2
p
F
点,A B 关于点F 对称得：22
2
20000(,)3222
x x p B x p p x p p p --⇒-
=-⇔= 得：3(3,)2p A ，直线3322:3023p p p p m y x x y p -
=
+⇔-= 22
33
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点3,)36p P 直线333
:306p p n y x x p -
=⇔= 坐标原点到,m n 距离的比值为
33:326
=。

如图，点(01)P -，是椭圆22
122:1x y C a b +=（0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆
222:4C x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于
A ，
B 两点，2l 交椭圆1
C 于另一点
D ．
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．
（Ⅰ）由题意得1
2
b a =⎧⎨=⎩
所以椭圆1C 的方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）设11()A x y ，
，22()B x y ，，00()D x y ，．由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．
又圆222:4C x y +=，故点O 到直线1l 的距离2
1
d k =
+，。