2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第二讲 参数
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参数方程和普通方程的 互化 平摆线、渐开线 2课时 2课时
§1 参数方程的概念
1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标(x，y)都是某个变数 t
x＝f（t）， 的函数 ① y ＝ g （ t ），
并且对于 t 取的每一个允许值， 由方程组①所确定的点 P(x， y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的
＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲 线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数 的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义 域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化
参数方程 和__________ 普通方程 是曲线方程的不同形式. (1)曲线的__________ ，y的取值范围 (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x _____________ 保持一致.
翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车
门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【学习计划】
内容 参数方程的概念 直线和圆锥曲线的参 数方程 参数方程化成普通 方程 平摆线和渐开线 学习重点 参数方程的概念 直线的参数，圆的参数方 程，椭圆的参数方程，双 5课时 建议学习时间
1课时
曲线的参数方程
1 3 － 2 tan θd， x＝ 2 π π － <θ<2. ∴点 P 的参数方程为 3 1 2 y＝ ＋ tan θd 2 2
题型二
参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即
可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求 曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实 际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长
【综合评价】
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的 方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲 线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难， 甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方
程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数
方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应 用意ห้องสมุดไป่ตู้和实践能力．
的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐
开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程. 5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、 外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际 中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的 内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、
解
以 O 点为原点，过点 O 且与 l 垂直的直线为 x 轴，过点 O
与 l 平行的直线为 y 轴建立直角坐标系.设点 O 到直线 l 的距离 为 d(为定值，且 d>0)，取∠xOQ＝θ 为参数，
π π θ∈－2，2，设动点
P(x，y).在 Rt△OQN 中，
π d ∵|OQ|＝cos θ，|OP|＝|OQ|，∠xOP＝θ＋3，
π d ∴x＝|OP|cos 3＋θ＝cos π d y＝|OP|· sin 3＋θ＝cos π 1 cos 3＋θ＝ － θ· 2 3 · d， 2 tan θ
π ＋θ＝ · sin 3 θ
3 1 · d. ＋ tan θ 2 2
【学习目标】
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，
写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并 掌握参数方程的概念. 2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的 参数写出它们的参数方程. 3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表 示更方便，更能感受参数方程的优越性.
4.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点
建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
【例 1】 设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角 π 速度运动，角速度为60 rad/s.试以时间 t 为参数，建立 质点运动轨迹的参数方程.
解 如图所示，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t ＝0， 设动点 M(x， y)对应时刻
x＝2cos θ， t， 由图可知 y＝2sin θ，
【思维导图】
【知能要点】
1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程.
3.参数方程和普通方程的互化.
题型一
参数方程及其求法
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐 标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意
义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常
π x＝2cos 60t， π 又 θ＝60t (t 的单位： S)， 故参数方程为 y＝2sin π t. 60
【反思感悟】 以时间t为参数，在图形中 分别寻求动点M的坐标和t的关系.
1.已知定直线 l 和线外一定点 O，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方 向转，如图所示)，求点 P 的轨迹方程.
参变数 ， 参数方程 ，联系 x，y 之间关系的变数 t 叫作_______ __________ 参数 简称______.
相对于参数方程， 我们把直接用坐标(x， y)表示的曲线方程
普通方程 f(x，y)＝0 叫作曲线的__________.
(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x
常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得 到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然 对应着其中的参数的相应的允许取值.
2.求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. 画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之
间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲 线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 二是x，y的值可以由参数惟一确定. 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，
§1 参数方程的概念
1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标(x，y)都是某个变数 t
x＝f（t）， 的函数 ① y ＝ g （ t ），
并且对于 t 取的每一个允许值， 由方程组①所确定的点 P(x， y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的
＝f(t)，y＝g(t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲 线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数 的取值范围就理解为x＝f(t)和y＝g(t)这两个函数的自然定义 域的交集.
2.参数方程和普通方程的互化
参数方程 和__________ 普通方程 是曲线方程的不同形式. (1)曲线的__________ ，y的取值范围 (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x _____________ 保持一致.
翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车
门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【学习计划】
内容 参数方程的概念 直线和圆锥曲线的参 数方程 参数方程化成普通 方程 平摆线和渐开线 学习重点 参数方程的概念 直线的参数，圆的参数方 程，椭圆的参数方程，双 5课时 建议学习时间
1课时
曲线的参数方程
1 3 － 2 tan θd， x＝ 2 π π － <θ<2. ∴点 P 的参数方程为 3 1 2 y＝ ＋ tan θd 2 2
题型二
参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，消去参数方程中的参数即
可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型. 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求 曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实 际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长
【综合评价】
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的 方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲 线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难， 甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方
程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数
方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应 用意ห้องสมุดไป่ตู้和实践能力．
的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐
开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程. 5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、 外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际 中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的 内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、
解
以 O 点为原点，过点 O 且与 l 垂直的直线为 x 轴，过点 O
与 l 平行的直线为 y 轴建立直角坐标系.设点 O 到直线 l 的距离 为 d(为定值，且 d>0)，取∠xOQ＝θ 为参数，
π π θ∈－2，2，设动点
P(x，y).在 Rt△OQN 中，
π d ∵|OQ|＝cos θ，|OP|＝|OQ|，∠xOP＝θ＋3，
π d ∴x＝|OP|cos 3＋θ＝cos π d y＝|OP|· sin 3＋θ＝cos π 1 cos 3＋θ＝ － θ· 2 3 · d， 2 tan θ
π ＋θ＝ · sin 3 θ
3 1 · d. ＋ tan θ 2 2
【学习目标】
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，
写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并 掌握参数方程的概念. 2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的 参数写出它们的参数方程. 3.举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表 示更方便，更能感受参数方程的优越性.
4.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点
建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
【例 1】 设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角 π 速度运动，角速度为60 rad/s.试以时间 t 为参数，建立 质点运动轨迹的参数方程.
解 如图所示，运动开始时质点位于点 A 处，此时 t ＝0， 设动点 M(x， y)对应时刻
x＝2cos θ， t， 由图可知 y＝2sin θ，
【思维导图】
【知能要点】
1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程.
3.参数方程和普通方程的互化.
题型一
参数方程及其求法
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐 标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意
义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常
π x＝2cos 60t， π 又 θ＝60t (t 的单位： S)， 故参数方程为 y＝2sin π t. 60
【反思感悟】 以时间t为参数，在图形中 分别寻求动点M的坐标和t的关系.
1.已知定直线 l 和线外一定点 O，Q 为直线 l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方 向转，如图所示)，求点 P 的轨迹方程.
参变数 ， 参数方程 ，联系 x，y 之间关系的变数 t 叫作_______ __________ 参数 简称______.
相对于参数方程， 我们把直接用坐标(x， y)表示的曲线方程
普通方程 f(x，y)＝0 叫作曲线的__________.
(2)在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x
常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得 到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然 对应着其中的参数的相应的允许取值.
2.求曲线参数方程的主要步骤：
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标. 画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之
间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲 线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 二是x，y的值可以由参数惟一确定. 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，