初中数学_二次函数解析式教学设计学情分析教材分析课后反思

《求二次函数的解析式复习课》
教学设计：
本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时.课标要求学生不共线的的三点确定二次函数表达式。

本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
本节课的教学目标
知识与技能：
能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.
过程与方法：
经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.
情感、态度与价值观：
能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.
学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
教学过程设计
第一环节复习引入
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
-
( (a≠0).
=2)
y+
a
h
k
x
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为(
x,0),( 2x,0)则
1
其函数表达式可以表示成什么形式?
)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).
4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数x
k y =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.
如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)
第二环节 初步探究
引例 如图2-7是一名学生推铅球时，
铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)的图象，
你能求出其表达式吗？
分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受；如学生通过找（10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0)求解或用其他方法求解均可. 解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系
式为3)4(2+-=x a y ,
又∵图象过点（10，0）,
∴03)410(2=+-a ,
解得 12
1-
=a ,
∴图象的表达式为3)4(1212+--=x y . 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？
小结：确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.
例1:已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式.（课件展示）
方法1:一般式
方法2:顶点式
方法3:交点式
归纳：
待定系数法的步骤：1.设；2.代；3.
解；4.回代
小结：刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。

同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。

注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。

跟踪训练。

第三环节 深入探究
例 已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，
5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
目的：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c =1，因此可设y=ax ²+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.
教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式y=ax ²+bx+c ，把点（0，1），（2，5），（-2，13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决.
解法1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为12++=bx ax y ，
∵图象经过点(2,5)和(-2,13)
∴⎩⎨⎧=+-=++,
13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.
∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .
解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax ²+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)，
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,
1324,524,1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.
∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y
想一想
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
小结：1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.
2. 用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.
如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进
行研究.
第四环节：反馈练习与知识拓展
1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数y=x ²+bx+c 的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.
答案：1.用顶点式1)1(2++-=x y ；
2.12+-=x x y ；
目的：
四个练习旨在对学生求二次函数表达式的掌握情况进行反馈，以
便及时调整教学进程．
四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求二次函数的方法．对于练习题3，设抛物线的三种表达式都可以求解，应给学生有充分的交流时间，让学生体会到这题用交点式求解更为简便.可以形对于练习题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会建立适当的直角坐标系，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．
第五环节课时小结
内容：
总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定二次函数的表达式，在确定二次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或已知点）列出方程（组），解方程组求出待确定的系数，最后答(把求出的系数代回关系式中写出关系式).在解题时应灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-回代）
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想． 目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
3. 学习了在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
（1）用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.
（2） 用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.
第六环节 作业布置
课本 习题 2.6 第1，2，3题
附：板书设计
方程思想
数形结合
学情分析：
从认知状况来说，学生在此之前已经学习了用待定系数法确定一次函数的关系式，对求二次函数解析式，学生已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于顶点式和两根式的学习，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。

二次函数的确定是历年中考的一个重要考点，更是有些二次函数的中考压轴题后续问题得以解决的先决条件，2017年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。

希望通过这节课的学习，每个同学都能熟练的掌握确定二次函数解析式的方法。

《求二次函数解析式》——效果分析
一是教学效率高，学生思维活跃，气氛热烈。

二是学生受益面大，不同程度的学生在原有基础上都有进步。

知识、能力、思想情操目标达成。

三是有效利用45分钟，学生学得轻松愉快，积极性高，当堂问题当堂解决，学生负担合理。

应该说本节课基本达到了预期的教学效果，学生学会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式，在基础知识和基本技能，数学能力等方面应获得的发展，培养学生的理解问题、解决问题的能力。

四通过测试，学生成绩的优秀率60%，及格率94%，说明教学效果良好。

求二次函数解析式专题复习课
教材分析：
这节课的主要内容包括：
1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a
≠0）求解析式。

2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。

3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中二次函数图像与x轴交点的坐标，是二次函数领域的基础知识，是初中数学的重要内容之一。

是对二次函数的进一步深入和拓展，又为学习二次函数应用等知识奠定了基础。

鉴于这种认识，我认为，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

2017年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。

求二次函数的解析式学案（ 79）
班级组名：姓名：
【学习目标】
1．明确求二次函数解析式的三种常用方法，即一般式，顶点式，
交点式。

2.会利用各种条件（点、线段、面积、比例、方程等）选择二次
函数的不同表达形式来求二次函·数的解析式。

以中考压轴题第（1）
问为主攻方向。

【精彩知识】
专题一 用待定系数法求二次函数的解析式
考点1：选择二次函数的不同表达形式求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x 轴交于A 、B 两点．试确定此二次函数的解析式；
●变式练习：
1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过直线32
3+-=x y 与x 轴、y 轴的交点，且经过点（1,1），求此二次函数的解析式。

★方法归纳：已知抛物线上三点求解析式，一般设为 形式。

【例2】已知二次函数c bx ax y ++=2，对称轴是直线 2=x ，且有最
大值2，其图象在x 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析
式。

●变式练习：
2.抛物线y =ax 2+bx +c 与y =－x 2的形状相同, 对称轴是直线x =3,
最高点在直线y =x +1上, 求抛物线解析式。

★方法归纳：
已知抛物线的已知图像的顶点、对称轴和最值与另一点求其解析
【例3】已知二次函数的图象x 轴两交点间的距离为6，对称轴
为1-=x ，且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。

●变式练习：
3.已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图像过P (2,0)和Q (6, 0)两点，并
且顶点在直线x y 4
3=上，求此二次函数的解析式。

★方法归纳：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标求解析式，一般设为 形式。

考点2：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转1800或沿x 轴翻折变换
求解析式
【例4】把抛物线y =ax 2+bx +c 向下平移1个单位，再向左平移5
个单位后，其顶点坐标为（－2，0），且a +b +c =0，求a 、b 、c 的值。

●变式练习：
4、把抛物线c bx x y ++=2的图象向右平移3个单位，再向下平移2
个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，试确定b 、c 的值。

【例5】把二次函数522+-=x x y 的图象沿x 轴翻折，求所得抛物线
的解析式。

●变式练习：
5、把函数342+-=x x y 的图象绕y 轴旋转1800，求所得抛物线的解析
式。

★方法归纳：由二次函数的图象平移、绕顶点旋转0180或沿x 轴翻折
变换求解析式，就是要抓住 的坐标变化。

专题二 用二次函数与一次函数几何图形的结合求解析式
【例6】如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A
和点B ，AO :BO =1：5，CO =BO , △ABC 的面积为15。

求该二次函数的解析式；
．
●变式练习：
6.如图所示,直线y=x+2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B,AB ⊥BC,且点C
在x 轴上,若抛物线y=ax 2+bx+c 以C 为顶点，且经过点B ，求这条抛物线
的解析式。

【评测练习】
1．抛物线y =－3x 2+bx +c 是由抛物线y =-3x 2-6x +1向上平移3个单位，
再向左平移2个得到的，则b = ,c = 。

2．已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14
-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为
3．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像经过一次函数y =－2
3x +3的图像
与x 轴、y 轴的交点，且经过点(1,1)，求这个二次函数的解析式，
并把二次函数解析式化成y =a (x -h )2+k 的形式。

4、已知二次函数的图像经过P (2,0)和Q (6,0)两点，顶点在直线y =43
x 上，求这个二次函数的解析式。

5、已知抛物线的顶点为C(1,5),与x 轴相交于A 、B ,且ΔABC 的面积
为15. 求抛物线的解析式。

6.二次函数2
=++的变量x与变量y的部分对应值如下表：
y ax bx c
(1) 求此二次函数的解析式；
(2) 写出抛物线顶点坐标和对称轴；
求二次函数的解析式专题复习
课后反思:
1.设计理念
本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式需要两个条件的情况，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．
2．突出重点、突破难点策略
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，开展小组合作
交流，充分调动学生自主学习的积极性和创造性，使每个学生都学有所获．
3.分层教学
根据本班学生及教学情况有针对性的进行分层教学，A 层的学生完成本节课的前两种方法即会用一般式和顶点式求解析式；B层的学生完成三种方法的学习；C层的学生能拓展到从表格中提取信息求解析式，并能解决与一次函数相结合，与几何图形相结合的问题，从数学思想方法的思维角度学习数学.分层教学满足了不同层次的学生学习的需求，不同层次的学生得到不同程度的提高.
求二次函数的解析式复习课
课标分析
本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时.课标要求学生不共线的的三点确定二次函数表达式。

本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
2017年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。