高中数学 平面向量的线性运算教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

§2.2 平面向量的线性运算
教材分析
本节首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只能引入了运算，数的威力才得以充分展现。

类比数的运算，向量也能够进行运算，运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥。

教学中应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算。

平面向量的线性运算包括：向量加法、向量减法、向量数乘运算，以及它们之间的混合运算。

其中加法运算是最基本、最重要的运算，减法、数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算。

向量的加法运算是通过类比数的加法，以位移的合成、力的合成等两个物理模型为背景引入的，使加法运算的学习建立在学生已有认知基础上。

由于向量有方向，在进行运算时，不但要考虑大小，而且要考虑方向，应注意体会向量运算与数的运算的联系与区别，更好地把握向量加法的特点。

类比数的减法（减去一个数等于加上这个数的相反数），向量减法的实质是：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量；向量数乘运算则是相同向量的连加。

因此，与数的运算的类比，是学习向量的线性运算的重要方法。

向量的线性运算具有深刻的物理背景和几何意义，使得向量在解决物理和几何问题时可以发挥很好的作用。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
一、教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.
二、教学目标：
1、知识与技能：
掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法
则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。

2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的加法运算与实数运算之间的相似性质，使学生理解事物之间相互联系的辩证思想。

三、重点难点
教学重点:向量加法的运算及其几何意义.
教学难点:对向量加法法则定义的理解.
四、学法指导
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义。

结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律。

五、教学设想
（一）导入新课
思路 1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.
思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？一位同学按以下的命令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置?由此导入新课.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？
②猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?
图1
活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果,与A点直接到C点的位移AC结果相同.力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问题:
图2(1)表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.
图2
改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力.
合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长.
数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法.
讨论结果:①向量加法的定义:如图3,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作
AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.
图3
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.0
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
2°向量加法的平行四边形法则
图4
如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
则.
力的合成可以看作向量加法的物理模型.
提出问题
①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？
②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？
③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系？
④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?
活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律?引导学生画图进行探索.
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
③当a,b不共线时,|a+b|<|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中当向量a的长度大于向量b 的长度时,|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|-|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|.
④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则BC=b,DC=a.
因为AC=AB+AD=a+b,AC=AD+DC=b+a,所以a+b=b+a.
如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c,
AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
图5 图6
（三）应用示例
思路1
例1 如图7,已知向量a、b,求作向量a+b.
活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.
图7 图8 图9 解:作法一:在平面内任取一点O(如图8),作OA=a,AB=b,则OB=a+b.
作法二:在平面内任取一点O(如图9),作OA=a,OB=b.以OA、OB为邻边作OACB,连接OC,
则OC=a+b.
变式训练
化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.
活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.
解:(1)BC+AB=AB+BC=AC.
(2)DB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0.
(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA
=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0.
点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图10所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
图10 图11
活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.
解:如图11所示,AD表示船速,AB表示水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则AC表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中,|AB|=2,|BC|=5,
所以|AC 295222=+=
≈5.4. 因为tan∠C AB=2
29,由计算器得∠C AB =70°. 答:船实际航行速度的大小约为5.4 km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.
点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.
变式训练
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图12
活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.
证明:如图12,设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,AB =AO +OB ,DC =DO +OC .
AC 与BD 互相平分,AO =OC ,OB =DO ,AB =DC , 因此AB ∥CD 且|AB |=|DC |,
即四边形ABCD 是平行四边形.
点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明AB =DC 或AD =BC 即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明AB 与DC 共线,且|AB |≠|DC |.
思路2
例3 如图13,O 为正六边形ABCDEF 的中心,作出下列向量: (1)OA +OC ;(2)BC +FE ;(3)OA +FE .
活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.
图13
解:(1)因四边形OABC 是以OA 、OC 为邻边的平行四边形,OB 是其对角线, 故OA +OC =OB .
(2)因BC =FE , 故BC +EF 与BC 方向相同,长度为BC 的长度的2倍, 故BC +FE =AD .
(3)因OD =FE ,
故OA+FE=OA+OD=0.
点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面做文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
活动:
如图14,渡船的实际速度AC、船速AD与水速AB应
满足AB+AD=AC.
图14
解:设AB表示水流速度,AD表示渡船的速度,AC表示渡船实际垂直过江的速度,以AB为一边,AC为对角线作平行四边形,AD就是船的速度.
在Rt△A CD中,∠A CD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,∠CAD=30°.
答:渡船的航向为北偏西30°.
点评:根据题意画出草图,是解决问题的关键.
变式训练
已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则四边形ABCD是怎样的四边形?点O是四边形的什么点?
活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.
图15
解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且OA+OB+OC+OD=0,过A 作AE OD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形,
设OE与AD的交点为M,过B作BF OC,则四边形BOCF为平行四边形,
设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.
∵OA+OB+OC+OD=0,OA+OD=OA+AE=OE,OB+OC=OB+BF=OF, ∴OE+OF=0,
即OE与OF的长度相等,方向相反.
∴M、O、N三点共线,
即点O在AD与BC的中点连线上.
同理,点O也在AB与DC的中点连线上.
∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行
四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.
（五）作业
如图16所示,已知矩形ABCD中,|AD|=43,设AB=a,BC=b,BD=c,试求向量a+b+c的模.
图16
解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE.
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴DE=AC,CE=AD.
于是a+b+c=AB+BC+BD=DE+BD=BE=AD+AD=2AD,
∴|a+b+c|=2|AD|=83.
点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:
(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
一、教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
二、教学目标：
1、知识与技能：
了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：
通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
四、学法指导
减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义?
引导学生思考,相反向量有哪些性质?
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.
又b+BC=a,所以BC=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
图2
(2)三角形法则
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么?
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢?
讨论结果:①AB=b-a.
②略.
（三）应用示例
如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.
图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.
变式训练
(2006上海高考) 在ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.AB=DC
B.AD+AB=AC
C.AB-AD=BD
D.AD+BC=0
分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D
中,AD+BC=AD+DA=0正确.
答案:C
例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?
图4
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b,
同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟) 已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向
量OD等于( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
图5
解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,
结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.
答案:B
2.若AC=a+b,DB=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图6
解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向
量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解
题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
例3 判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△A BC中,必有AB+BC+CA=0.
(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角
线的长,其大小不定.
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
解析:BC=AC-AB.
(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;
(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;
(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.
综上,可知3≤|BC|≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,
(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c,
另一方面a+b=AB+BC=AC.
由于CA与AC是一对相反向量,
∴有AC+CA=0,
故有a+b+c=0.
(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.
∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
（四）课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. （五）作业
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
一、教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理。