广西桂林XX中学2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

2016-2017学年广西桂林XX中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共计36分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．x+3=0 B．x2﹣3y=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x﹣=0
2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．抛物线y=﹣2x2开口方向是（）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
4．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）
5．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是（）
A．x=0 B．x1=2 C．x1=0，x2=2 D．x=2
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
7．一元二次方程x 2
﹣2x+2=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）
A．55°B．45°C．40°D．35°
9．近年来某市加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）
A．2500x 2
=3600 B．2500（1+x）
2
=3600
C．2500（1+x%）2=3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3600
10．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
11．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A．图①B．图②C．图③D．图④
12．已知二次函数y=ax 2
+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac
其中正确的结论的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共计18分）
13．点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为．
14．若x=2是一元二次方程x2+x﹣a=0的解，则a的值为．
15．若函数是二次函数，则m的值为．
16．以下几何图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（填序号）．
17．把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是．18．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列四个结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；
③△BDE是等边三角形；④△AED的周长是9．其中正确的结论是（把你认为正确结
论的序号都填上．）
三、解答题（共66分）
19．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．
20．解方程：
（1）x2=2x；
（2）x2﹣2x﹣5=0．
21．如图，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）线段A1B1的长是，∠AOA1的度数是；
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）求四边形OAA1B1的面积．
22．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标；
（2）对称轴为；
（3）当x=时，y有最大值是；
（4）当时，y随着x得增大而增大．
（5）当时，y＞0．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增
加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价
1元，商场平均每天可多售出5件．
（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
24．已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．
2016-2017学年广西桂林XX中学九年级（上）期中数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计36分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．x+3=0 B．x 2
﹣3y=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x﹣=0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、方程x+3=0是一元一次方程，故本选项错误；
B、方程x2﹣3y=0是二元二次方程，故本选项错误；
C、方程x2﹣2x+1=0是一元二次方程，故本选项正确；
D、方程x﹣=0是分式方程，故本选项错误．
故选C．
2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
3．抛物线y=﹣2x2开口方向是（）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据a的正负判断抛物线开口方向．
【解答】解：∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下．
故选B．
4．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）
A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】二次函数的性质．
【分析】由抛物线的顶点式y=（x﹣h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵抛物线为y=（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）．
故选B．
5．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是（）
A．x=0 B．x1=2 C．x1=0，x2=2 D．x=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程x（x﹣2）=0，
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选C．
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）
A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，
即（x﹣1）2=6．
故选：B
7．一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根
C．没有实数根D．有两个相等的实数根
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+2=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，
∴△=b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2=0没有实数根；
故选C．
8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）
A．55°B．45°C．40°D．35°
【考点】旋转的性质．
【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解．
【解答】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣45°=35°．
故选：D．
9．近年来某市加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3600 B．2500（1+x）2=3600
C．2500（1+x%）2
=3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）
2
=3600
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据：2013年投入资金给×（1+x）2=2015年投入资金，列出方程即可．
【解答】解：设该市投入教育经费的年平均增长率为x，
根据题意，可列方程：2500（1+x）2=3600，
故选：B．
10．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数
的增减性可判断y值的大小．
【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+1，
∴对称轴是x=﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．
11．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A．图①B．图②C．图③D．图④
【考点】旋转的性质．
【分析】每次均旋转45°，10次共旋转450°，而一周为360°，用450°﹣360°=90°，可知第10次旋转后得到的图形．
【解答】解：依题意，旋转10次共旋转了10×45°=450°，
因为450°﹣360°=90°，
所以，第10次旋转后得到的图形与图②相同，故选B．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac
其中正确的结论的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．
【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣=1，
则b=﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，④正确；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共计18分）
13．点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据点P（a，b）关于原点对称的点P′的坐标为（﹣a，﹣b）即可得到点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：点（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣1）．
故答案为（2，﹣1）．
14．若x=2是一元二次方程x2+x﹣a=0的解，则a的值为6．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=2代入方程x2+x﹣a=0得到关于a的一次方程，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x=2代入方程x2+x﹣a=0得4+2﹣a=0，解得a=6．
故答案为6．
15．若函数是二次函数，则m的值为﹣3．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7=2，再利用m﹣3≠0，求出m的值即可．
【解答】解：若y=（m﹣3）x m2﹣7是二次函数，
则m2﹣7=2，且m﹣3≠0，
故（m﹣3）（m+3）=0，m≠3，
解得：m1=3（不合题意舍去），m2=﹣3，
∴m=﹣3．
故答案为：﹣3．
16．以下几何图形中：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．既是轴对称图形，又是中心对称图形的是②⑤（填序号）．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两
部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点
旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：①等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
③平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
④等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：②⑤．
17．把抛物线y=3x 2
向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是y=3
（x+2）2+1．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向左平移加，向上平移加，可得答案．
【解答】解：把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的解
析式是y=3（x+2）2+1，
故答案为：y=3（x+2）2+1．
18．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列四个结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；
③△BDE是等边三角形；④△AED的周长是9．其中正确的结论是①③④（把你认为正确结论的序号都填上．）
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】先根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性
质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线
的判定方法即可得到AE∥BC；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长
=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以③正确；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以②错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以④正确．
故答案为①③④．
三、解答题（共66分）
19．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知△ABC．
（1）作出△ABC以O为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．
（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．
【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出B2和C2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）．
20．解方程：
（1）x2=2x；
（2）x2﹣2x﹣5=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）移项后因式分解法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【解答】解：（1）x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
∴x=0或x﹣2=0，
解得：x=0或x=2；
（2）∵a=1，b=﹣2，c=﹣5，
∴△=4+4×1×5=24＞0，
∴x==1．
21．如图，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=AB=6，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．
（1）线段A1B1的长是6，∠AOA1的度数是90°；
（2）连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）求四边形OAA1B1的面积．
【考点】旋转的性质；平行四边形的判定．
【分析】（1）根据旋转的性质即可直接求解；
（2）根据旋转的性质以及平行线的判定定理证明B1A1∥OA且A1B1=OA即可证明四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）利用平行四边形的面积公式求解．
【解答】解：（1）A1B1=AB=6，∠AOA1=90°．
故答案是：6，90°；
（2）∵A1B1=AB=6，OA1﹣OA=6，∠OA1B1=∠OAB=90°，∠AOA1=90°，
∴∠OA1B1=∠AOA1，A1B1=OA，
∴B1A1∥OA，
∴四边形OAA1B1是平行四边形；
（3）S=OA?A1O=6×6=36．
即四边形OAA1B1的面积是36．
22．已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标（﹣3，2）；
（2）对称轴为x=﹣3；
（3）当x=﹣3时，y有最大值是2；
（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大．
（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得对称轴；
（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；
（4）根据二次函数的性质即可求解；
（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），
∴顶点横坐标为=﹣3，
由图可知顶点纵坐标为2，
∴顶点坐标为（﹣3，2）；
（2）对称轴为x=﹣3；
（3）当x=﹣3时，y有最大值是2；
（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；
（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x=﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增
加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价
1元，商场平均每天可多售出5件．
（1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利44﹣x元，每天可以售出20+x，所以此时商场平均每天要盈利（44﹣x）（20+5x）元，根据商场平均每天要盈利=1600元，为等量
关系列出方程求解即可．
（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x
元之间的函数关系为：y=（44﹣x）（20+5x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价
多少．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（44﹣x）元，每天可以售出（20+5x），由题意，得（44﹣x）（20+5x）=1600，
即：（x﹣4）（x﹣36）=0，
解，得x1=4，x2=36，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为36，
所以，若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价36元；
（2）设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元，
由题意，得y=（44﹣x）（20+5x）
=﹣5（x﹣20）2+2880，
当x=20元时，该函数取得最大值2880元，
24．已知：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使三角形ABP的面积为6，求P点坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）把A、D两点坐标代入二次函数y=x2+bx+c，解方程组即可解决．
（2）利用轴对称找到点P，用勾股定理即可解决．
（3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决．
【解答】解：（1）因为二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣3，0），D（﹣2，﹣3），所以，
解得．
所以一次函数解析式为y=x2+2x﹣3．
（2）∵抛物线对称轴x=﹣1，D（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），
∴C、D关于x轴对称，连接AC与对称轴的交点就是点P，
此时PA+PD=PA+PC=AC===3．
（3）设点P坐标（m，m2+2m﹣3），
令y=0，x2+2x﹣3=0，
x=﹣3或1，
∴点B坐标（1，0），
∴AB=4
∵S△PAB=6，
∴?4?|m2+2m﹣3|=6，
∴m2+2m﹣6=0，m2+2m=0，
∴m=0或﹣2或1+或1﹣．
∴点P坐标为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）．
2016年12月22日。