【新教材】 新人教A版必修一 函数与方程 教案

2019-2020学年新人教A版必修一函数与方程教案

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f（x)(x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f(x）（x∈D）的零点．（2）三个等价关系

方程f(x）＝0有实数根⇔函数y＝f(x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x）有零点．(3）函数零点的判定（零点存在性定理)

如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f（b)〈0，那么,函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a〉0)的图象与零点的关系

Δ>0Δ＝0Δ〈0

二次函数y＝ax2＋bx

＋c（a〉0)的图象

与x轴的交点（x1，0),(x2，0）(x1,0）无交点

零点个数210

概念方法微思考

函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f（x)只有一个零点?

提示不能．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）

（1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×）

（2）函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点(函数图象连续不断），则f（a)·f（b）<0.（×）

（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．（√）

（4）f(x）＝x2,g(x）＝2x，h（x)＝log2x，当x∈(4，＋∞）时，恒有h(x)〈f（x)

2．函数f（x）＝ln x－错误!的零点所在的大致区间是( )

A．（1，2） B．（2，3)

C.错误!和（3,4) D．（4,＋∞）

答案 B

解析∵f(2）＝ln2－1<0,f(3）＝ln3－错误!>0

且函数f(x)的图象在（0,＋∞)上连续不断，f（x）为增函数，

∴f(x)的零点在区间（2,3）内．

3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )

A．0B．1C．2D．3

答案 B

解析由f′（x）＝e x＋3>0,得f(x）在R上单调递增，又f(－1)＝错误!－3<0，f(0）＝1〉0，因此函数f(x)有且只有一个零点．

题组三易错自纠

4．函数f(x）＝ln2x－3ln x＋2的零点是( )

A．（e，0)或(e2，0) B．（1，0）或(e2，0）

C．（e2，0） D．e或e2

答案 D

解析f(x）＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1）(ln x－2)，

由f(x）＝0得x＝e或x＝e2。

5．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间（0,4）上存在零点，则实数m的取值范围是．

答案（－8，1］

解析m＝－x2＋2x在(0，4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1）2＋1，∴y＝－x2＋2x在（0,4）上的值域为（－8,1]，∴－8

6．已知函数f(x)＝x－错误!(x>0）,g(x)＝x＋e x，h（x）＝x＋ln x（x>0）的零点分别为x1，x2,x3,则（）

A．x1

C．x2〈x3〈x1D．x3

答案 C

解析作出y＝x与y＝错误!（x〉0)，y＝－e x,y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C。

题型一函数零点所在区间的判定

1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为（)

A．（0,1) B．(1,2） C．(2，3) D．（3，4)

答案 B

解析∵f（1)＝ln1＋1－2＝－1<0,f(2）＝ln2>0，

∴f(1）·f（2）〈0，

∵函数f（x)＝ln x＋x－2的图象在（0,＋∞）上是连续的，且为增函数,∴f(x）的零点所在的区间是(1，2）．

2．若a〈b

A．(a，b）和（b,c)内B．（－∞,a）和（a，b）内

C．(b，c）和（c,＋∞）内D．（－∞，a)和（c,＋∞）内

答案 A

解析∵a〈b

f（b）＝(b－c)(b－a）〈0，f（c)＝(c－a)（c－b）〉0,

由函数零点存在性定理可知，在区间(a,b），(b，c）内分别存在零点，又函数f（x)是二次函数,最多有两个零点．因此函数f（x）的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c）内，故选A。

3．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a〉0且a≠1）．当2

答案 2

解析对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y〉1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3）内,∴函数f(x）的零点x0∈（n，n＋1）时，n＝2。

思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点

区间问题，往往要结合图象进行分析,一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．

题型二函数零点个数的判断

例1(1）函数f（x)＝错误!的零点个数是．

答案 2

解析当x≤0时，令x2－2＝0,解得x＝－2(正根舍去)，所以在（－∞，0]上，f（x）有一个零点；当x〉0时，f′(x)＝2＋错误!>0恒成立，所以f(x）在(0，＋∞）上是增函数．

又因为f(2)＝－2＋ln2<0,f(3）＝ln3〉0，所以f（x)在（0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f（x)的零点个数为2。

（2）(2018·天津河东区模拟）函数f(x)＝|x－2｜－ln x在定义域内的零点的个数为（) A．0B．1C．2D．3

答案 C

解析由题意可知f（x)的定义域为（0,＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y＝｜x－2｜（x〉0)，y＝ln x（x>0）的图象，如图所示．

由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为2.

（3)函数f（x)＝错误!－cos x在［0，＋∞）内（）

A．没有零点B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点

答案 B

解析当x∈错误!时,因为f′（x）＝错误!＋sin x,错误!〉0，sin x>0,所以f′（x）〉0，故f(x)在[0,1］上单调递增，且f（0）＝－1〈0,f（1）＝1－cos1〉0，所以f（x)在［0,1］内有唯一零点．当x〉1时，f（x)＝x－cos x>0，故函数f（x）在［0，＋∞）上有且仅有一个零点,故选B。

思维升华函数零点个数的判断方法

（1)直接求零点．

(2）利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．

（3）利用函数图象的交点个数判断．

跟踪训练1(1）已知函数f(x)＝错误!则函数g(x）＝f（1－x)－1的零点个数为（）A．1B．2

C．3D．4