高中数学苏教版选修4-4学业分层测评：阶段综合测评1 Word版含答案

阶段综合测评(一)
(时间90分钟，满分120分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．极坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－9π5，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，11π5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，4π5，Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8，6π5的四点中，与点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8，π5表示同一点的有________个． 【答案】 3
2．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________．
【答案】 (23，2π3)
3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________．
【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝4
4．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________.
【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.
【答案】 2 3
5．极坐标方程ρ＝
162－cos θ
表示的曲线是______． 【答案】 椭圆
6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．
【答案】 ρ＝－2cos θ
7．(北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.
【答案】 1
8．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．
【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3， 由⎩⎨⎧ r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r 得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝22π3，cos φ＝22， 即⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝22π3，
φ＝π4. 所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，
球坐标为(22π3，π4，2π3)．
【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)
9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．
【答案】 相切
10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______．
【答案】 两条直线
11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.
【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，
因此|CP |＝2 3.
【答案】 2 3
12．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.
【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令
y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.
【答案】 22
13．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y
后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．
【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝5x y ′＝3y
代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.
【答案】 50x 2＋72y 2＝1
14．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．
【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有
x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.
将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，
故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855.
【答案】 855
二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π3，曲线C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．
(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．
【导学号：98990025】
【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，
∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )．
ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.
(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，
∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .
曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，
∴AB ＝3＋2.
16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧
x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程并判断其形状．
【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝2y
代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，
得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.
化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.
该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．
17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 面积的最小值．
【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所
以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．
所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ)
. 所以S △AOB ＝12OA ·OB
＝12⎪
⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ) ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2，
当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2.
18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝
21－3cos θ
的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．
【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .
设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．
弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|
＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)
| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°
|＝165.。