人教A版高中数学必修五天津武清区杨村第四人教等差数列及其性质学案

等差数列及其性质（10月23日）
知识要点：
1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

（定义式） 2 等差数列的判定方法：
()1定义法： ⇔{}n a 为等差数列； ()2中项公式法： ⇔{}n a 为等差数列； ()3通项公式法： ⇔{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法： ⇔{}n a 为等差数列；
3 解题基本方法
（1）涉及等差数列的基本概念的问题，常用基本量1,a d 来处理；
（2）若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．
4 等差数列的相关性质:
()1等差数列{}n a 中，()m n a a m n d =+-；
()2等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,
m m m m m S S S S S --仍为等差数
列．
()3等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n
m a a a a +=+，
若2m n p +=，则2m n p a a a +=
()4等差数列{}n a 中，2n S an bn =+（其中1
,02
a d d =
≠） ()5两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．
()6若{}n a 是公差为d 的等差数列,则其子列2,,,k k m k m a a a ++L
也是等差数列,且公差为
md ; {}n ka 也是等差数列,且公差为kd
(7)等差数列{}n a 中，n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也是一个等差数列，即点(),n n a （*n N ∈）在一条直线上; 点
(
)
,
n S n n （*n N ∈）在一条直线上.
(8)两个等差数列{}n a 与{}n b 中,,n n S T 分别是它们的前n 项和,则21
21
n n n n a S b T --=
. 知识点一：等差数列的基本运算
例1 等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知1030a =，2050a =， ①求通项n a ； ② 若242n S =，求n
练习
1.在等差数列{}n a 中，（1）已知3,61==d a ，则=8a _____；（2）已知2,10104-==a a ，则
=7a __,d=____；
2. 在等差数列{}n a 中，若450a a a a a 76543=++++，则=+82a a .
3.如果一个数列的通项公式b kn a n +=，其中k,b 为实常数，则下列说法正确的是（ ） A.数列一定不是等差数列 B.数列是公差为k 的等差数列 C.数列是公差为b 的等差数列 D.数列不一定是等差数列
4.设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项的和S n =-n 2
，那么 ( )
A ．a n =2n-1，d=-2
B ．a n =2n-1，d=2
C ．a n =-2n+1，d=-2
D ．a n =-2n+1，d=2 4.已知数列{n a }为等差数列，3a a a ,10a 3215=++=则1a 与d 的值分别为（ ） A.3d ,2a 1=-= B 3d ,2a 1-== C 2d ,3a 1== D 2d ,3a 1-== 5.(07重庆) 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
知识点二：等差数列性质的应用
例2.（1）若等差数列{a n }中，a 3+a 8+a 13+a 18=20，则前20项的和S 20等于 （ ） A ．100 B ．200
C ．300
D ．无法确定
（2）已知{a n }是等差数列，前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，则项数为______.
练习.等差数列{a n }中，0≠n a ，若m>1且0121=+-+-m m m a a a ，3812=-m S ，则m=______.
例3已知数列是等差数列，且18,12654321=++=++a a a a a a ，则987a a a ++等于（ ） A.24 B.6 C.0 D.-12
练习 等差数列{a n }的前m 项和30，前2m 项和为100，则数列的前3m 项和为_____.
知识点三：等差数列的判断及证明
例4已知数列}{n a 的前项和为n S ，且120n n n a S S -+⋅=()2n ≥，112
a =
()1求证：1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，()2求n a 的表达式.
练习.已知函数()31
x
f x x =
+，数列{}n a 满足11a =，()1()*n n a f a n N +=∈ （1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 （2）求n a 的表达式.
知识点四：等差数列的前n 项和
例5设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，120S >，130S <
(Ⅰ)求公差d 的取值范围；(Ⅱ)指出1S ,2S ,…,12S ，中哪一个值最大,并说明理由
练习 1 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 9 <0， S 10 >0，则此等差数列的前项和中，n 是多少时取得最小值？
2 已知数列{a n }的前n 项和公式为n n S n 3022-=.
（1）求出它的通项公式；并判断这个数列是否是等差数列（2）求使得S n 最小的n 的值.
例6 已知数列{a n }的前n 项和n n S n 2
2052
32+-=，求数列{|a n |}的前n 项的和.
练习：已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =12n-n 2
，
（1）求数列{a n }的通项公式（2）求数列{|a n |}的前n 项的和。