高考数学大二轮复习第1部分专题6解析几何第1讲直线与圆练习201811225186

第一部分 专题六 第一讲 直线与圆
A 组
1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B ) A ． 2
B ．82
3
C ． 3
D ．833
[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2
≠18，求得a ＝－1，
∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋2
3
＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为
d ＝
|6－23|
12
＋－
2
＝82
3
.故选B ． 2．(文)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2
＋y 2
＝4所得劣弧所对圆心角为( D ) A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
[解析] 弦心距d ＝|2|
2＝1，半径r ＝2，
∴劣弧所对的圆心角为2π
3
.
(理)⊙C 1：(x －1)2
＋y 2
＝4与⊙C 2：(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2
＋y 2
＝4截得弦长为( D )
A ．13
B ．4
C ．43913
D ．83913
[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0. 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝213
13
，⊙O 的半径R ＝2， ∴截得弦长为2R 2
－d 2
＝2
4－413＝83913
. 3．已知圆C ：x 2
＋(y －3)2
＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |
＝23，则直线l 的方程为( B )
A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0
B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0
C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0
D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0
[解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|
k 2＋1＝1，
解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝4
3(x ＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4
＝0.
4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6
D ．10
[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，
即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．
5．直线l 与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( A )
A ．x －y ＋5＝0
B ．x ＋y －1＝0
C ．x －y －5＝0
D ．x ＋y －3＝0
[解析] 设圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)，
故直线CD 的斜率k CD ＝
3－2
－2－－＝－1， 则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－
1k CD
＝1，
故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0.
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在
直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵光线与圆(x ＋3)2
＋(y －2)2
＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1
＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．
7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2
(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝2.
[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝1
2
r ，∴r ＝2.
8．一个圆经过椭圆x 216＋y 2
4
＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方
程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝254.
[解析] 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2
＋y 2
＝r 2
，依题意得a 2
＋22
＝－a
2
，解得a ＝32， r 2
＝254，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝254.
9．已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；
(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1，
MN 的中点坐标为C (－1,1)．
又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝1
3.
综上可知，k 的值为1或1
3
.
(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，
∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.
10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2
＋y 2
＋4x －12y ＋24＝0.
(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．
[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2
＋(y －6)2
＝16，
所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，
所以|AD |＝23，|AC |＝4.
C 点坐标为(－2,6)．
在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.
若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|
k 2＋－
2
＝2，
得k ＝34
.
故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.
直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.
B 组
1．(2018·南宁一模)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )
A ．π6或5π6
B ．－π3或π3
C ．－π6或π6
D ．π6
[解析] 圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝
|2k |
k 2
＋1
，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2
＋(y －3)2
＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2
＝d 2
＋(232)2，即4＝4k 2
k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π
6或
5π
6
. 2．设直线x －y －a ＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( B )
A ．± 3
B ．± 6
C ．±3
D ．±9
[解析] 由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以
|－a |12
＋－
2
＝3，解得a ＝± 6.
3．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2
－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( C )
A ．1
B ．－5
C ．1或－5
D ．5
[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2
＋y 2
＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|
2
，
可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|
2
－1，(S △ABC )min ＝1
2×22
×|a ＋2|－22
＝3－2，
解得a ＝1或－5.
解法二：圆的标准方程为(x －a )2
＋y 2
＝1，
设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|
2
＝
|2θ－
π4
＋a ＋2|
2
.
△ABC 的面积为S △ABC ＝1
2×22×
|2
θ－
π4
＋a ＋2|
2
＝|2sin(θ－π
4
)＋a ＋2|，
当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5.
解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即
|a ＋m |
2
＝1，解得m ＝±2－a ， 两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即
|m －2|2＝|±2－a －2|
2
， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.
当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1.
当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.
4．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2
＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →
|≥33
|AB →|，则k 的取值范围是( C )
A ．(3，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．[2，22)
D ．[3，22]
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥
AB ，因为|OA →＋OB →
|≥
33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14
|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2
＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，
所以1≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－k 2<2，解得2≤k <22，
故选C ．
5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2
＋1＝0和圆：x 2
＋y 2
＋2x －4＝0相切，则
a 的取值范围是( C )
A ．a >7或a <－3
B ．a >6或a <－ 6
C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7
D ．a ≥7或a ≤－3
[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，
由⎩⎪⎨⎪⎧ －＋a |
5<5
－
＋a 2
＋1|5
<5
得－6<a <6，
两条直线都和圆相离时，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
－＋a |
5>5
－
＋a 2
＋1|5
>5
得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a
的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C ．
6．过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2
＋(y －t ＋2)2
＝1(t ∈R )的切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →
的最小值为214
.
[解析] 圆C ：(x －t )2
＋(y －t ＋2)2＝1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1， 所以PC ＝t ＋
2
＋t －
2
＝
t －2
＋8≥8，
PA ＝PB ＝PC 2－1，cos ∠APC ＝AP
PC
，
所以cos ∠APB ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫AP PC
2－1＝1－
2
PC 2
，
所以PA →·PB →＝(PC 2－1)(1－2PC 2)＝－3＋PC 2
＋2PC 2≥－3＋8＋14＝214，
所以PA →·PB →
的最小值为214
.
7．过点C (3,4)作圆x 2
＋y 2
＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为4.
[解析] 以OC 为直径的圆的方程为(x －32)2＋(y －2)2＝(52)2，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y
2
＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－[(x －32)2＋(y －2)2
]＝5－254
，化为3x ＋4y －5＝0，
C 到AB 的距离为d ＝
|3×3＋4×4－5|
32＋4
2
＝4. 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12
sin 2
C ，则直线
ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2
＝12c 2，
∴圆心到直线距离d ＝
|c |
a 2＋b
2
＝c
12
c 2＝2，
∴弦长l ＝2r 2－d 2
＝29－2＝27.
9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.
(1)求l 的方程．
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －
，
y 2
＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0.
Δ＝16k 2
＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2
＋4
k
2.
所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2
＋4
k
2.
由题设知4k 2
＋4
k
2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.
因此l 的方程为y ＝x －1.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，
所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
y 0＝－x 0＋5，x 0＋2
＝y 0－x 0＋2
2＋16.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0＝3，y 0＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝11，
y 0＝－6.
因此所求圆的方程为(x －3)2
＋(y －2)2
＝16或(x －11)2
＋(y ＋6)2
＝144.
10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．
(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)， 则x 1，x 2满足x 2
＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，
故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－1
2，
所以不能出现AC ⊥BC 的情况．
(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 2
2
)．
由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m
2
.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－m 2，y －1
2＝x
2
x －
x 2
2
，
又x 2
2
＋mx 2
－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－m
2
，y ＝－1
2.
所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m
2，－12)，半径r ＝m 2
＋9
2.
故圆在y 轴上截得的弦长为2
r 2－
m
2
2
＝3，
即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。