抛物线平移、对称变换

抛物线平移、对称变换
专题一：抛物线平移、对称变换
学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系
2. 利用对称性求点的坐标
知识框架：
【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。

【2】求抛物线2
=++（0a≠）沿坐标轴平
y ax bx c
移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式()2
=-+（0a≠），然后利用抛物线平移变换的有y a x h k
关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。

抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。

【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及
顶点位置。

【4】求抛物线2
=++（0a≠）绕其顶点旋转
y ax bx c
180°后的解析式，同样可先将其配方成顶点式()2
=-+（0a≠），然后将二次项系数直接改变成y a x h k
其相反数即可。

【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。

⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。

【6】求抛物线2
=++（0a≠）沿某条坐标轴
y ax bx c
翻折后的解析式，首先仍应将其配方成顶点式()2
=-+（0a≠），然后再根据翻折的方向来确定y a x h k
新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。

真 题 汇 编：
第一部分（选择题）
（2013-2014海淀）二次函数2
2+1y x =-的图象如图
所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A ．221y x =-- B ．
221
y x =+ C ．
2
2y x = D ．
221
y x =-
【方法总结】
（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线
2
2y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位
长度得到的抛物线解 析式是（ ）．
A ．2
2(1)
3
y x =-- B ．2
2(1)
3
y x =++
C ．2
2(1)
3
y x =-+ D ．2
2(1)
3
y x =+-
【方法总结】
（2015-2016北京三中）将抛物线 2
24
=+y x
绕顶
点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 2
24
=--y x B ． 2
24
=-+y x
C ．2
24
=-y x
D ． 2
2=-y x
【方法总结】
（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物
线是（ ）
A.y ＝－2x 2－3
B. y ＝2x 2-3
C. y ＝2x 2＋3
D. y ＝－2x 2+3
【方法总结】
（2015-2016北京三帆中学）二次函数2
3+1y x =-的
图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物
线的解析式为 A ．2
31
y x
=-- B ．2
3y x =
C ．2
31y x
=+ D ．2
31
y x
=-
【方法总结】
丰台区2017-2018中，抛物线2
2
1x y =x x y 22
12
-=
，的阴影部分的面积是( )
A ．2 B. 4 C. 8 D. 16
【方法总结】
第二部分（填空题）
海淀区2017-20182
2y x =平移后经过点(0,3)A
，(2,3)B ，
求平移后的抛物线的表达式．
【方法总结】
（2013-2014海淀）已知点P（-1，m）在二次函数21
y x
=-的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式
为 .
【方法总结】
（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图
像22x
=x
x
-
y，平=经过平移得到抛物线图像5
y-
4
22-
-
移方法是______
【方法总结】
朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-
x2通过
9
平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，
0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，
OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x
2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．
【方法总结】
丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的
221x y =
的图象，2C 是函数的22
1
x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影部分的面积是______
【方法总结】
第三部分（解答题）
（2013-2014东城）二次函数2
y ax
bx c
=++的图象与x
轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后
抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．
【方法总结】
（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点
(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．
【方法总结】
（2016-2017北京西城铁路第二中学初三上期中） 如图，一段抛物线：(2)y x x =-（0≤x ≤2），记为1C ，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2 ，交x 轴于点A 2 ；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；… ，如
此进行下去，直至得C 10．
（1）请写出抛物线C 2的解析式： ；
（2）若P （19，a ）在第10段抛物线C 10上，则a =_________．
【方法总结】
西城区2014-2015
已知：抛物线1
C ：2
y ax
bx c
=++经过点
()
10A -，、()30B ，、()03C -，．
⑴ 求抛物线1
C 的解析式；
⑵ 将抛物线1
C 向左平移几个单位长度，可
使所得的抛物线2
C 经过坐标原点，并写
出2
C 的解析式；
⑶ 把抛物线1
C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3
C 顶点
D 的坐标．
【方法总结】
【纠错回顾】。