【数学】江苏省南通市如皋市2020届高三下学期期初考试试题(解析版)
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故答案为： ．
5.某程序框图如下图所示，当输入 时，输出的 __________．
【答案】5
【解析】由程序框图可知，
当输入 ， ，是； ，是； 2 ，否；
则 +1=5，输出 .
故答案为：5.
6.已知双曲线 的两条渐近线与直线 围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】双曲线 的两条渐近线与直线 围成正三角形，
正四棱锥 的斜高为 ，
正四棱锥 的侧面积 ，
，
故答案为： ．
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 __________．
【答案】1
【解析】由于 ， ，且 为等比数列，
则： ，
即： ，
因为： ，
则： ， ，
即： ，
又因为： ，
则： ，
.
解得： ，
则： .
故答案为：1.
11.已知圆 ，过点 的直线 与圆 在 轴上方交于 ， 两点，且 ，则直线 的斜率为__________．
所以双曲线的渐近线的倾斜角为 和 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为： .
故答案为： ．
7.已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
【答案】2
【解析】由变量 ， 满足约束条件 作出可行域如图，
化目标函数 为 ，
由图可得，当直线 过点 时，
直线在 轴上的截距最大， 有最大值为2.
故答案为：50．
4.从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________．
【答案】
【解析】从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，
基本事件总数 ，
同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数 ，
则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为 ．
（2）设 的中点为 点，
①当直线 过原点时，点 与点 重合，
因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
②当直线 不过原点时．设 ， ， ， ， ，
在 中，因为 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以点 ， ， 三点共线，
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得： ，
由韦达定理知， ， ，
解得： ， ，
（1）当 时， ，则 或 ， ，则 ，
即： ， 时， 为增函数，
时， 为减函数，
由于存 ，使得 成立，
则要求 ， 成立即可，
且 ， ， ，
， ，
已知 时， ， ，
①当 时，只需 ，
则： ，解得： 或
解得： ；
②当 时，只需 或 即可，
即 或 ，
解得： 或 ，
（2）当 时，
， ， 时， 为增函数，
故答案为：2．
8.已知 为锐角，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】因为 为锐角， ，
则 ，
所以 ，
.
故答案为： .
9.已知正四棱柱 中， ， ， 为上底面中心．设正四棱柱 与正四棱锥 的侧面积分别为 ， ，则 __________．
【答案】
【解析】如图，
正四棱柱 中， ， ，
则正四棱柱 的侧面积分别为 ，
（2） ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
16.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，面 面 ，三角形 为正三角形．
（1）若 ， 为 ， 中点，证明： ∥面 ；
（2）若 ，证明：面 面 ．
证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ，
在 中，因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 且 ，
因为底面 为平行四边形，所以/ ，
所以 ， ，
所以直线 斜率为 ，所以直线 的斜率与直线 斜率不相等，
点 ， ， 三点不共线（与上面的结论矛盾），
综上：所求直线 的方程为 .
18.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 ，五个正方形的面积和为 ．
为 的中点，所以 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为侧面 为正三角形，所以 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
【答案】
【解析】 ， ， ， ， ，
，且 ，
，
故答案为： ．
3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生．
【答，
， 时， 为减函数，
则此时 ，所以存在 ，使得 成立，
解得： .
综上得：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知 ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数 ， 的值域．
解：（1） ，
，
所以函数 的最小正周期为 ，
江苏省南通市如皋市2020届高三下学期期初考试数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知 （ 为虚数单位），则复数 的模为__________．
【答案】1
【解析】由 ，得 ，
．
故答案为：1．
2.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为__________．
所以平面 平面 .
17.过椭圆 上一点 作两条直线 ， 与椭圆另交于 ， 点，设它们的斜率分别为 ， ．
（1）若 ， ，求 的面积 ；
（2）若 ， ，求直线 的方程．
解：（1）因为 ， ，
所以直线 ， 方程分别为 ， ，
由 ，得： ，
由此解得 ， ，所以 ，
同理可得： ，
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
，
则 ，
当且仅当 即 时取等号，此时取得最小值 ．
故答案为： .
13.已知 中， ， ，平面 上一点 满足 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14.已知 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
令： ，即： ，
【答案】
【解析】设直线 的倾斜角为 ，则直线 的参数方程为 ，
代入 ，得 ，
设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
由 ，得 ， ， ，
，
整理得： ，
由题可知， ，则 ，得 ，
联立 ，解得 ，则 ，
即直线 的斜率为 ，
故答案为： ．
12.若 ， ，且 ，则 最小值为__________．
【答案】
【解析】 ， ，且 ，
5.某程序框图如下图所示，当输入 时，输出的 __________．
【答案】5
【解析】由程序框图可知，
当输入 ， ，是； ，是； 2 ，否；
则 +1=5，输出 .
故答案为：5.
6.已知双曲线 的两条渐近线与直线 围成正三角形，则双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】双曲线 的两条渐近线与直线 围成正三角形，
正四棱锥 的斜高为 ，
正四棱锥 的侧面积 ，
，
故答案为： ．
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 __________．
【答案】1
【解析】由于 ， ，且 为等比数列，
则： ，
即： ，
因为： ，
则： ， ，
即： ，
又因为： ，
则： ，
.
解得： ，
则： .
故答案为：1.
11.已知圆 ，过点 的直线 与圆 在 轴上方交于 ， 两点，且 ，则直线 的斜率为__________．
所以双曲线的渐近线的倾斜角为 和 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为： .
故答案为： ．
7.已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
【答案】2
【解析】由变量 ， 满足约束条件 作出可行域如图，
化目标函数 为 ，
由图可得，当直线 过点 时，
直线在 轴上的截距最大， 有最大值为2.
故答案为：50．
4.从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为__________．
【答案】
【解析】从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，
基本事件总数 ，
同学甲被抽到且乙抽不到包含的基本个数 ，
则同学甲被抽到且乙抽不到的概率为 ．
（2）设 的中点为 点，
①当直线 过原点时，点 与点 重合，
因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
②当直线 不过原点时．设 ， ， ， ， ，
在 中，因为 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以点 ， ， 三点共线，
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得： ，
由韦达定理知， ， ，
解得： ， ，
（1）当 时， ，则 或 ， ，则 ，
即： ， 时， 为增函数，
时， 为减函数，
由于存 ，使得 成立，
则要求 ， 成立即可，
且 ， ， ，
， ，
已知 时， ， ，
①当 时，只需 ，
则： ，解得： 或
解得： ；
②当 时，只需 或 即可，
即 或 ，
解得： 或 ，
（2）当 时，
， ， 时， 为增函数，
故答案为：2．
8.已知 为锐角，且 ，则 __________．
【答案】
【解析】因为 为锐角， ，
则 ，
所以 ，
.
故答案为： .
9.已知正四棱柱 中， ， ， 为上底面中心．设正四棱柱 与正四棱锥 的侧面积分别为 ， ，则 __________．
【答案】
【解析】如图，
正四棱柱 中， ， ，
则正四棱柱 的侧面积分别为 ，
（2） ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
16.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，面 面 ，三角形 为正三角形．
（1）若 ， 为 ， 中点，证明： ∥面 ；
（2）若 ，证明：面 面 ．
证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ，
在 中，因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 且 ，
因为底面 为平行四边形，所以/ ，
所以 ， ，
所以直线 斜率为 ，所以直线 的斜率与直线 斜率不相等，
点 ， ， 三点不共线（与上面的结论矛盾），
综上：所求直线 的方程为 .
18.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设 ，五个正方形的面积和为 ．
为 的中点，所以 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
（2）取 的中点 ，连接 ，
因为侧面 为正三角形，所以 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
【答案】
【解析】 ， ， ， ， ，
，且 ，
，
故答案为： ．
3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取__________名学生．
【答，
， 时， 为减函数，
则此时 ，所以存在 ，使得 成立，
解得： .
综上得：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知 ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数 ， 的值域．
解：（1） ，
，
所以函数 的最小正周期为 ，
江苏省南通市如皋市2020届高三下学期期初考试数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.已知 （ 为虚数单位），则复数 的模为__________．
【答案】1
【解析】由 ，得 ，
．
故答案为：1．
2.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为__________．
所以平面 平面 .
17.过椭圆 上一点 作两条直线 ， 与椭圆另交于 ， 点，设它们的斜率分别为 ， ．
（1）若 ， ，求 的面积 ；
（2）若 ， ，求直线 的方程．
解：（1）因为 ， ，
所以直线 ， 方程分别为 ， ，
由 ，得： ，
由此解得 ， ，所以 ，
同理可得： ，
所以直线 的方程为 ，
所以 ，
，
则 ，
当且仅当 即 时取等号，此时取得最小值 ．
故答案为： .
13.已知 中， ， ，平面 上一点 满足 ，则 __________．
【答案】
【解析】 ， ， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
14.已知 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
令： ，即： ，
【答案】
【解析】设直线 的倾斜角为 ，则直线 的参数方程为 ，
代入 ，得 ，
设 ， 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，
由 ，得 ， ， ，
，
整理得： ，
由题可知， ，则 ，得 ，
联立 ，解得 ，则 ，
即直线 的斜率为 ，
故答案为： ．
12.若 ， ，且 ，则 最小值为__________．
【答案】
【解析】 ， ，且 ，