四川省泸州市高考数学三诊试卷

2018年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科)
副标题
题号 一
二
三
总分
得分
一、选择题(本大题共12小题，共6 0.0分)
1. 己知集合 A={x\0< x + l<3}, 3=(-2 , J, 0, 7,2},则 ADB=( )
A. {0. 1}。

B. {1.2} o
C. {- 1 , 0 }
D.0
2.
若复数z=g(其中，为虚数单位)，贝忙1=()
A.5O
B. I
C.[g
D. g
3.
已知 t a n a=£|,则 tan2a=(
)
(1,2) , & 伽,3加一2),且平而内的任一
向呈|都可以唯一的表示成中入^+卩© (人卩为实数)，则加的取值范用是()
A. (—8, 2)oB ・(2, 4-oo) C ・(-co, +a>)
D •
(—oc, 2) U ( 2 , +oo)
5.某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，
随机询问了 100名性别不同的学生，得到如下的2x2列联表：
0・1 5
0・1 0 0.0 5 0.0 25 0. 0 10 k Q
2・ 072
2.7 06
3.84 1 5 . 024
6.6 35
很据以上数拯，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关” ?()
A. 9 9%以上。

B. 9 7.5%以上
C. 95% 以上
D.
将函数 f (A ) = A si n (3x+cp) (A>0, co> 0 , |p I <7r)的图象向 右平移|个单
位长度得到乡(X )的部分图象如图示,则函数/(X )的解 析式为()
男生
女生
总计
喜爱 30 20 50 不喜爱 20 30 50 总计
50
50
100
n(ad-bc)2
(a + b)(c + d)(a + c)(b + rf)
.□
■
A.
4.已知平而直角坐标系内的两个向就Q
6.
A./U)=2s i n (2A-+^)A
B./( AT)=2S i n(2x+卧C J( x) =2sin(2.Y+^) ^D./(x)= 2sin(2x：+^)亠
12. 7.已知[x]表示不超过x 的最大整数，比如:[0. 4]=0, [-0 . 6]=1.执行如图所示的 程序框图,
若输入x 的值为2. 4,则输岀z 的值为（ ）
8. 9.
10.
11.
A. 1.2
B. 0 . 6
C. 0. 4 o
D. -0.4
已知双曲线A -2-|=1,左、右焦点分別为几F?,若圆％3） 2+〉—2 （r
>o ）上总 存在点P
满足…；=0,则r 的取值范围是（）
A. [1,5] o
B. [1,3]，
C. [3, 5]o
D. [ 1,-Ho ）
如图，网格纸上小正方形的边长为1 ,粗实线画岀的是一个空 间几何体的三视图，则该几何体的体积为（
）
A 护.恥恥乌
椭圆口 （&>b>0）的左、右焦点为别为戸（一c, 0） ,F2（C ,0）,点P 在
C 上，戶尸2与x 轴垂直，若A PF,F 2的内切圆半径等于甘 则C 的离心率为（） A*
目。

B. |C |
D.|
己知三棱锥P-ABC 侧棱PA 丄底而ABC,且乙B AC=\ 2 0°, AB=AC,
P/4=2BC=2屈,则该三棱锥的外接球的表面积为（） A. 4兀 B. 87toC. 12 兀 D. 16 兀
已知关于X 的不等式阳-"比111「加<0的解集为（a,b ） 中a 〉0,若该不等式在
（①小中有且只有一个整数解，则实数加的取值范国（）
〒
一
2
一
rL
13.已知直线/线的方程为才3=0,且庇［1, 4］・则直线/的斜率不小于1的概率为 .
x+l>0
14.设变量尢V满足约束条件厂？一则的最大值为_______________ ・
x + 3y-5 A 0
15.已知函数fix）=｛-2^+8A^2.若f（“）"（"2），则/（|）= _________________ .
16.数列｛ a”｝的前"项和为S",且S3= 1 , 8 n+3=2"“ （"GN * ）,则S 2 0 1 9= __
三、解答题（本大题共7小题•共82・0分）
17.如图，已知A D是A ABC的内角A的平分线“（I ）证
A Array (U)若cosB=竽，AC=2, DC羁求“BQ 的而
积・
18.某城市讣划兴建一座至多安装3台污水处理设备的城
市污水处理厂，根据过去统计资料显示,污水每天需
处理量X （单位:万立方米）都在［20, 80］之间. 现
统il•了过去的一个月每天需处理的污水量（单位: 万
立方米），其频率分布直方图如图：
污水处理厂希望安装的设备尽可能运行，但每天设
备最多可运行台数受毎天需处理的污水量限制，并有如下关系:
每天污水量X 20<%<40 4 0 <X< 6 0 6 0 <X<80
设备最多可运行台数E 1 2 3
（I）根据直方图，请你估计每天需处理污水量的平均值；
（n）若某台发电机运行,则该台设备每天产生利润为5万元;若某该台设备未运行, 则
该台设备每天亏损0.8万元设某一天河水处理厂的利润为丫（单位:万元）.当安装3台设备时，写出Y的所有可能值，并估计r> 8的概率.宀
19.如图，在四棱锥P-ABCD中,ADIIBC,
AB=AD=DC= ；BC=1, PA=PB=PC=2・H 1）证明：点P 在平而ABCD 上
的射影O是棱BC的中点：4 （2 ）求三棱锥D-PAC的髙，
20.过抛物线C: y2=2px（p>0）的焦点F,且斜率为回的直线交C于点A
在x轴上方），点B在C的准线/上，若AB丄/ ,且IF ®=4. A（/）求抛物线C的方程：上（//）过直线m： x=2上一点P作斜率为k\,心的两条不同直线与抛物线C分别都有且只有一个公共点，若k\ = 2求点P的坐标•必
21.已知函数./V） = （x-2）印词+“x,其中aeR, e是自然对数的底数
（1）当“>0时，讨论函数/（x）在（1 , +oo）上的单调性；丄⑵若函数g（Q （x）+2-“.证明：使g （x）弐在R上恒成立的实数&能取到的最大整数值为
1.2
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci：@v-y+4=0,曲线C2：\y= l + sinO（t为参
数），以坐标原点O为极点卫轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（I）求曲线C1}C2的极坐标方程严（H）曲线C3：{y = tsina（t为参数
/>0,|<a<7u）分别交G，于A, 〃两点，当"取何值时，陽|取得最大值.宀
23.设函数/G)=l3x-1 I •
(I)解不等式/( X)V(2-A)>X：
(II)若“+6=2,证明：f (<r) + f (沪)>4.
解:广=4>3. 841,心•该数学兴趣小组有9 5%以上把
握认为“喜爱该食品与性别有关二故选C.亠利用公式求得K2,与临界值比较，即可得到结论・A本题考査独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力.属于中档题.
6.【答案】【解析】
【分析】
本题考査了三角函数图象平移和三角函数图象与性质的应用问题.是基础题A根据三角函数图象平移法则得出g(x)的解析式.由此求出和(P
的值，即可写出函数f(x"【解答】解:函数f( x ) = Asin(3x+cp)( A > 0 ,3>0,
度戶得g( X ) =f(x—Ej)=Asin[co(x
个单位长用)+(p]=Asin(3x~| - 由函数的图象知，A= 2 , T
=4班併罔)=兀•••3=耳[=2;
又X=^|时，2x阖一E|+(p=|寸^2k7i,kE乙
解得 T罟卜 2 kir, ke Z •.函数Kx)=2si n (2x+|:: |). A故选BA 7.【答案】M【解析】
解:输入x的值为2 4执行循环体后:y二2 4x= 1 •满足继续循环的条件.x =1.2
执行循环体后:y=l. 2, x=0.满足继续循环的条件，x = 0.2
执行循环体后:y=0・6. x=l.不满足继续循环的条件,
则z=x+y=-0. 4严故选:D.必由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用
循环结构计算并输出变量z的值,模拟程序的运行过程，可得答案」本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.
8 .【答案【解析】
解:根据题意.双曲线X 2一卧1中a = l ,b二［迈卜则c =2,则双曲线的焦点为(±2,0) A 若点P满足画画=0,则P在以F］F2为直径的圆上，其圆心为(0,0 )，半径r= c = 2 ,亠则圆的方程为x 2+y 2 =4.
若圆(x - 3)2+y2= r 2(r〉O)上总存在点P满足|屈问|=0,则圆(x-3)
2+y2 = r2与x2+y2=4 有交点，
分析可得:l<r<3.则r的取值范围为［1,3］；A故选:BA根据题意，由双曲线的标准方
程分析可得双曲线的焦点坐标，分析可得P在以F1F2为直径的圆上，该圆的方程为x2+y=4.进而分析可得@1( x -3) ? +y2=r2与x?+y ^=4有交点，由圆与圆的位置关系，分析可得答案•必本题考查双曲线的几何性质，注意分析圆(x — 3)? + y 2 = /( r >0)上总存在点P满足囤垦|=0的条件.
9.【答案】C
【解析】
解:由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥，底面A BCD为正方形.侧面PAD为等腰三角形.且平面
PAD丄平面ABCD.
AB=BC = 2,棱锥的高PO = 2,
1
•••该几何体的体积为3 X^2X2= A故选C. A由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD为正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面
P A D丄平面ABCD, AB=BC=2,棱锥的高P 0 =2,然后代入棱锥体积公式求解A本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体,是中档题.
10.【答案】B-【解析】
I,
(2a+ 2 c)x^=2cx^,由b^-c 2，整理得：2c2+ac-a 2=0,硝椭圆的离心率e=HJ则2e2+e-l=0,亠解得:c=；,
方法二:由题意可知:P F 2丄x轴，
丹2囲
设APFiF2的内切圆与PFi, PF2, F]F2相切于C, B.A三点.
由I'=Q]，则 1 AF2!—IF2B丨=2」AF i 1= I F[ C|=：：,
IPCI= I P Bl=?-^由题意的定义可知：IPF!l+ I PF 2 I =2 a,即卧
椭圆的离心率闌=即
故选:B.上方法一：由IP F2I=[2(根据三角形的面积公式即可求得椭圆的离心率：
方法二:根据圆的内切圆的性质及椭圆的定义，即可求得椭圆的离心率.
本题考查椭圆的离心率的求法,考查三角形内切圆的性质，三角形的面积公式，考查转化思想.属于中档题.
11.【答案】》二【解析】
解:・・•三棱锥P-ABC 侧棱PA 丄Jg® ABC,且 zBAC=120°. AB 二AC. PA=2 B C=2岡
“•.cos 120。

=
巴;爲:
严，解得 A B = AC= 1 , A 设
△ ABC 的外心为G 由正弦定理可得
AG=BG=CG= I A 设该三棱锥的外接球的球心为O ■连
结0G •则OG 丄平面ABC, 过O 作O E1PA,交PA 于E.连结PO.OBJ 则球O 的半径R=OA=OB,设
故选：D. 【分析】
画出图形，设叵］ABC 的外心为G,则AG = BG= CG=1,设该三棱锥的外接球 的球心为O.连结0G,则OG 丄平面ABC,过0作OE 丄P A,交PA 于E,连结 PO 、OB,则球O 的半径R=OA=OB,设0G= x ，则 AE=X ,PE=2|W —J 40E = AG = 1,求出球半径R=2,由此能求出该三棱锥 的外接球的表面积.
本题考査几何体的外接球与几何体的关系，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查推理论证能力■运算求解能力■空间想象能力，考 查化归与转化思想■函数与方程思想.数形结合思想.是中档题. 1 2.【答案】C 【解析】
解:关于X 的不等式x -1 n x-m<o 化为:m>
丄2—2卜“•心
令。

（小1：| 二f （x ），x 〉0右则 f （x ）二
令 u (x)=x 3+ 2 X 2-2X -2+2X 1 n x t u z (x)=3x 2+4x+ 2 In x 在(O.+oo)上单调递增,亠 因此存在x o e(0,1 )，使得
u'( x o )=|；喝 |+4 x o+2 1 n x o=O,2 1 n x g 喝 |— 4 x o ,u A (x o )=|^］+2罔-2x o — 2+2x ()1 nx ()=碍［+ 2 pp|-2 x Q -2+XQ (-|3J ：^|— 4 火())=_2隔［-2碍［~2x ()-2= — 2
O G
B
・・・该三棱锥的外接球的表面积S=4JTX 22=16TI .
2(H +L)，
(xo+ 1 )(同］+ 1 )< 0 ,
u( 1 )=- 1 <0, u(2)= 1 0+41n2>0.上因此存在 x je(l, 2 ),使得 u(xi)=O?因 此函数f (x)在(0, xi)内单调递减，在(x ［, +oo)单调递增?f(l)=|7|, f(2)
2—加2
\ 3 *
•••关于x 的不等式［J ］x 2-mx- 1 n x -m<0的解集为(a .b),M 中a >0, 该不等式在(a, b)中有且只有一个整数解，
研究函数f( x)的单调性极值与最值，进而得出结论.》本题考查了利用导数研 究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的性质与解法，考 查了推理能力与计算能力，属于难题. 13. 【答案】| 【解析】
解:化直线ax-2y- 3 =0为y=:；工一 | , 可得直线1的斜率为付，
n nri [Y
1 ■ 4] /. 5 e[ - 2],
•••直线i 的斜率不小于1的概率为 旨=i A 故答案为化直线方程为斜截 式，求出斜率为付.再由a 的范围求出斜率的范围,由测度比为长度比可得直线1 的斜率不小于1的概率.
本题考查几何概型,考查由直线的一般式方程求直线的斜率，是基础题. 14. 【答案】-心【解析】
此时Zmax=2-4xl=-2F A 故答案为：2
作出不等式组对应的平面区域.利用Z 的几何意义,即可得到结论・A 本题主要 考査线性规划的应用.利用数形结合是解决本题的关键.
1 5.【答案】2
【解析】
解:•••函数 f(x)= ｛二穿?,f(a)=f( a + 2 於.•.当 0〈a<2
时 t a 2 + a=-2a-4 +&
解得a=-4(舍)或a= 1;亠当龙2时，一2 a +8二2
4 + 8，无解.
・・・a =l r f ( ' )= f (1) = 12+1=2. A 故答案为：2. A 当 o< a <2 时,a 2+a=-2 a - 4+8r 求 出a=l ;当屯2时，-2a+8=- 2 a-4+8，无解.从而f 卄二f (1),由此能求出结 果.
本题考查函数值的求法，是基础题.解题时要认真审题，注意函数性质的合理运 用. 16 .【答案】26九1
【解析】
解:・・・S3= 1 t a n+3=2a n ,A ••- a 4+^5+ a 6=2仙+ a 2+03)=2, 37+38+a9 = 2 (a4 + a 5 +a6 )=2x2=4, A aio+ai 1+ a 12=2(37+38 + 39)
= 2x4=&
经过点A 时.直线 T — y = 4 x- 4 z 的截距最小■此时z 最大.
.解得 x=2, y = 1 ,即 A(2, 1), 由｛ 上一护一1=0 龙+；幻
一5=(解:作出不等式组对
应的平面区域如图:
Z,
由z = x ・4 y 得 尸卧帥
平移直 线岳EK 当 直
线y 胡x 吕
.•.{a n+a n+i+a n+2}是以1为首项•以2为公比的等比数列,2 0 19= 3x67 3, ・•・ S 201 9 =(ai+a2+a3)+(34+ a 5 +" 6)+( a 7 +"8+ a 9)
+・・・+(32 0 17+ a 20 1 8+“2O 1 9 )二「
= =267>— 1.金故答案为:2 673 - 1
由题意可得｛a n+a n+i+a n+2｝是以1为首项，以2为公比的等比数
列,2 0 19=3x673,即可求出S2019.金本题考査了数列的求和公式和数列的归
纳推理•考查了运算能力•属于中档题
1 7.【答案】解：(I )证明：在三角形ABD中,
由£ADB+£A DC=n9厶BAD=“ A D,
可得 $ oin£ADB= s inzAD C、s i nz.BAD=sinz.C AD,
S②可得噩:
(H)若cos〃=闍，AC=2,DC屈，
可得摆& “由余弦泄理可得4=加+俗。

屈)2 一w (BD+圈)•闇, 解得AB=4, BD= 2 屈，沁ABD的而积为S^AB-BD-sinB
=|x 4 x2jgx|Jl-^=［g. A［解析］
(I )在三角形ABD中.在三角形ACD中，分别运用正弦定理和诱导公式和角平分线的定义，即可得证庐(U)运用角平分线定理和余弦定理，解方程可得AB.DB.再由三角形的面积公式计算可得所求值.
本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用.考查化简整理的运算能力,属于中档题.
18.【答案】解：(/)每天需处理污水量的平均值为：
25x0 . 010x10+ 3 5x0.0 2 0x1 0 +45x 0 .O35xlO+55x 0 .0 2 5 xlO+6 5 xO.O 0 7x 1 0+7
5x0. 0 03x10=45. 8 .亠(〃)当运行1台设备时,利润为5—0.8x2=34万元“当运行2 台设备时，利润为10- 0 .8=9.2万元，4当运行3台设备时，利润为1 5万元.
・•・ Y的可能取值为3. 4,9.2, 15,亠其中P( K=3. 4)= 0.0 1 0x10+0.0 2 0x10=0. 3 ,
P( v= 9 .2) =0. 035x104-0. 0 25x10= 0 .6,
P(y= 1 5)=0. 007x1 0+0・ 003x 1 0 =0.1.A-.P ( K>8) =P (K=9.2)
+P(丫=15)=0・7J【解析】
A
⑴以组中值代替各小组数据•根据加权平均数计算平均值沖（II ）根据频率分布 直方图计算Y 的各种取值对应的概率，得出P （Y>8）.
本题考查了频率分布直方图•离散型随机变量的概率计算.属于中档题.
19.【答案】证明：（1取BC 中点O, AD 中点E,连结
PO 、AO 、DO 、EO 、PE,
•••在四棱锥P ・ABC D 中，AD\\ B C 9 AB=AD= PC=| BC=1, PA=P B=PC=2.》.0B= OC
=AB= OA=OB=A D=CD=\9
PA=P B=PC= PD= 2 , ^.POIAC, O E 丄力 G PO=^^=
@ ° F=[0=i'
•••肋+OL = PE?,
・・・PO 丄OE 、 ・・・BCC\OE=O, ..PO 丄平面ABCD,九••点P 在平而ABCD±
的射影O 是棱BC 的中点.4解：（2）以o 为原点,OE 为X 轴,OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则 Q （帥，o ），P （o, 0,回，, c （0, 1,0）, 0=（|，|，頑），口=（厲'* -回，陆（0, 1,昭）3殳平而PAC 的法向却=
（X, ” Z ）,
，取z=l,得Q=（3,屈,1），対.三棱锥D-PAC 的高
4（ 1取BC 中点O.AD 中点E,连结PCX AO % DO. EO. PE,推导出
PO 丄AC.OE 丄AC, PO 丄OE,从而PO 丄平面ABCD,由此能证明点P 在平面 ABCD 上的射影O 是棱BC 的中点.
（2）以O 为原点，OE 为x 轴,OC 为y 轴，OP 为z 轴健立空间直角坐标系，利 用向量法能求出三棱锥D-PAC 的高.
本题考査线面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系，考查运算求解能力,考查函数与方程思想•是中档题.
2 0.【答案】解：（I ）由抛物线C:y 2=2px t 得F （甘,0），亠则AF ： y 羁（闊）, 与抛物线y 2=4x 联立得12 x 2-2 0 px+3p 2=Q,亠解得心爭,M （|P 庖Q ）,
2
〃岳S 週
【解析】
・・・g 3在(一oc, xo)上单调递减，在(x (),+co)上单调递增，A.-, g (X )的最小值为g(xo) n 忸 + 小屉・2£囤・2.切+2=4・(e Q+ 2 x<)), AV 1 n 2 <A ()< 1,
・・・2<棍馆・・・甩+2口 >2+ 2 1 n 2>4,
・•・呂(xo)= 3・仗忸十xo) <0,
.•.当a=2时，g(x )N 0在R 上不恒成立.上综上，实数"能取到的最大整数值为1.
【解析】
(1)讨论a 的范围，判断f(x)的符号.得出f(x)的单调性沖⑵分别计算a=l
和a =2时g (x)的最小值，判断g(x)的最小值的符号得出结论A 本题考查了函 数单调性的判断，导数应用•函数恒成立问题与函数最值的计算,属于中档题. 22.【答案】解：(I)曲线C I ：@v. y+4=0, 转换为极坐标方程为：晶pcos8—psinB + 4 = p|，岛整理得:”cos(0 + #) + 2 = B, x = cosO
y=l+sin6 (/为参数)门转换为直角坐标方程为:x 2+y 2-2y=0,
转换为极坐标方程为:p=2s i n0. A (n)曲线C3：\y = tsina (f 为参数，/>0, |<a</u) 转换为极坐标方程为由于：曲线C3分别交0, C2于久B 两点,A
则孟MBZsma
2$ina
.1 H 1. 113
=\^sin(2a + &) _彳严三| _厂彳=4・
【解析】
(I )直接利用转换关系.把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转 化.A(U)利用极坐标方程，根据三角函数的关系式的恒等变换，整理成正弦型 函数.进一步求出函数的最值.
本题考査的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函 数关系式的恒等变换•正弦型函数的性质的应用.
23・【答案】解：(I)不等式fa )：f(2・x)>xol3+ll 」3f5 I >x.
=>.VG0, nJc r< X < |^|<x<4|. a.(厂|] (D)证明：・・・“+归2川半艺(字)2 =「即畀+危2,
/Gr) +f(b 2) =l3t/2-ll+ I 3 Z>2-1|> I 3 ( a 2+ 沪)・2刊2-2=4 J 【解析】 ! (X >1 ..G f x >l |一
4〉％ |6x-6>x ■N
< l4〉x 可化为
星I )不等式f(x)・f(2 — x)>xol3 x- 1 | — I3x ・5l>x.金可化为 a 2+b 2>2,X f( a 2)+f(b 2 )=l3a 2-11+13 b 2-l I >| 3 (a 2+b 2)-2l 即可 本题考査了
绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用.属于中档 题. J >5.分别求解即可」（u ）由
4>x 注+沪、仏+b )2=1 •得。