内积空间

的正交分解。
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正交分解的性质
（1）设 U 是内积空间， x, y U , 若x y，则 x y 2 x 2 y 2
称为内积空间中的“商高定理”.
证： x y x, y 0
x y 2 x y, x y x, x x, y x, y y, y
通过正交性可得到 的唯一分解表达式。
设 H 是 Hilbert 空间
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1) 正交系及规范正交系
（1） 定义 设在 H 空间中有一组非零的元素列（或
点列）{en}，
①若 (ei ,ej ) 0 (i j)，则称{en}为正交系；
0 , i j ②若(ei ,ej ) 1 , i j ，则称{en}为规范正交系
n
M span{e1,e2,,en} {x x aiei , ai K} i1
§ 0.5 内积空间
1 内积空间 2 正交分解 3 Hilbert空间中的Fourier分析
赋范线性空间 向量范数——向量长度 向量夹角、向量正交
内积空间、Hilbert空间
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内积空间
定义1: 内积空间 设 U 是数域 K（实或复数域）上的线性空间，
若x, y U ，存在唯一的数 (x, y) K ，满足下列三条（内积公
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当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数域时， 称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积空间。
内积关于第二变元满足共轭线性性质
x, y y, x y, x x, y x, y z y z, x y, x z, x x, y x, z
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y) xi yi ，范数 x xi2 。
i 1
i 1
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例2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
则通过 Schmidt 正交化方法可以构造一组规范正交系。 构造方法如下：
y1 x1 e1
y1 y1
y2 x2 (x2 ,e1)e1 e2
y2 y2
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y3 x3 (x3,e1)e1 (x3,e2 )e2 e3
y3 y3
……………………………….
取




x, y,
y y
设 y 代入上式
则
x,
x
x, y 2 y, y

0
Байду номын сангаас

x,
y
2

x, x
y,
y
x, y x y
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内积空间的性质
性质2 内积可诱导范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
理）： U U C(R)
①正定性：(x, x) 0 ， (x, x) 0 x 0
② 共轭对称性： (x, y) ( y, x)
内积公理
③对第一变元的线性性：
( x y, z) (x, z) ( y, z), z U 则称 (x, y) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
为 Banach 空间）
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正交分解与投影定理
1) 定义: 线性空间 设 U 是内积空间， x, y U, M , N U
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ； （2）若y M , 有(x, y) 0 ，称 x 与 M 正交，记作 x M ； （3）若x M ,y N, 有(x, y) 0 ，称 M 与 N 正交，
x2 y 2
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正交分解的性质
（2）设 L 是内积空间 U 中的一个稠密子集，x U ，若 x L，则 x （零元素）。
证： L 在U 中稠 xn L, xn x
0 xn, x x, x 0 x
（3）设 U 是内积空间，M U ，则 M 为 U 的闭线 性子空间。
记作： M N ；
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（4） U 中与 M 正交的所有元素的全体称为 M 的正交 补，记作 M ，即
M {y y x, x M}。
（5） 设 M 为 U 的线性子空间， x U
若x0 M , x1 M ，使得
x x0 x1
（*）
则称 x0 为 x 在 M 上的正交投影，（*）式称为 x 关于 M
Legendre 多项式{Pn (t)}的前六项为
P0 (t) 1
P1(t) t
P2
(t)

1 2
(3t 2
1)
P3
(t)

1 2
(5t 3

3t)
P4
(t)

1 8
(35t 4

30t 2

3)
P5
(t)

1 8
(63t
5

70t 3
15t )
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3）性质
① 设{e1,e2,,en}是 H 中的规范正交系，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
1
范数 x(t) ( b x2(t)dt)2 ， a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。 若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
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验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的
赋范线性空间。
进一步也可由范数导出距离
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
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验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
2( x 2 y 2 )
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（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
注意： 若赋范线性空间 X 的范数不满平行四边形公式，
则 X 不能成为内积空间。
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例3 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为不满 t[ a ,b ]
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正交分解的性质
（4）设 U 是内积空间， M U 为线性子空间，若 x0 为 x 在 M 上的投影，则
x x0
inf yM
x y
而且 x0 是 M 中使（**）成立的唯一点。
（**）
（
x x0
inf yM
x y 说明 x0 是 M 中逼近 x 的最好元）
证： x y 2 x x0 x0 y 2
足平行四边形公式）。
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内积空间的性质
性质4 在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y
的连续函数. 即当 xn x, yn y （按范数）时，数列(xn, yn ) (x, y)
定义: Hilbert空间
完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H （即内积空间 U 按由内积导出的范数 x (x, x) 成
x x0 2 x0 y 2 x x0 2
x y x x0 ,y M
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问题：当 U、M 满足什么条件时，x U 在 M 中有投影？
投影定理 设 M 是 Hilbert 空间中闭（完备）线性子空间，
则x H ，必存在唯一的 x0 M及x1 M ，使得
内积空间的性质
性质3
在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足 平行四边形公式
x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
证明：
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y)
x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2
n1
yn xn (xn ,ei )ei en
i1
yn yn
……………………………….
由此得到{e1,e2,,en ,}为 U 中的一个规范正交系。
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例4 （勒让德 Legendre 多项式）[-1, 1]上连续函数的全体
C[-1, 1]按内积
1
(x, y) x(t) y(t)dt 1
（或标准正交系）。
注: 规范正交系{e1,e2,,en,}中任一有限组 {en1 ,en2 ,,enk }线性无关。
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例1 在 Rn 中，元素组 e1 (1,0,,0),e2 (0,1,0),, en (0,0,,1)
为 Rn 中的规范正交系。
例2 在 l 2 中，元素列 e1 (1,0,0,), e2 (0,1,0,),
在 R3 中， e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e3 (0,0,1) 是三个相互正 交的单位向量，并且对于 R3，有唯一分解
x1e1 x2e2 x3e3 ，
其中 x1 (,e1), x2 (,e2 ), x3 (,e3)（由正交性可得），即
在 L2[0,2 ]中，若规定内积
1 2
(x, y) 0 x(t) y(t)dt
则三角函数系
1 2
,
cos t ,
sin t,,
cos nt,
sin
nt,是
L2[0, 2
]中的
规范正交系。
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2）规范正交化定理（Gram—Schmidt）
设{x1, x2,, xn,}是 H 中的任一线性无关元素组，
构成一实内积空间 U，而 U 的完备化空间为实 Hilbert 空 间 L2 [-1, 1]。
构造正交系如下： 令 x0 1, x1 t,, xn tn,，则{xn}是线性无关系。
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取 e0
x0 x0

1, 2
y1 x1 (x1,e0 )e0 t ，
取 e1
y1 y1

3t 2
，
类似的 e2
5 2

1 2
(3t
2
1)
，
,en
2n 2
1

Pn
(t
)
(n 1,2,)
其中 Pn (t)
1 2n n!
dn dt n
[(t
2
1)n
]称为
n
阶的
Legendre
多项
式。而{en (t)}是 L2 [-1, 1]中的规范正交系。
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x 2 2Re(x, y) y 2 x 2 2 x y y 2 ( x y )2
( Re(x, y) (x, y) x y )
故
x y x y
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例1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2,, xn ), y ( y1, y2,, yn) n ， 定义
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内积空间的性质
性质1 内积满足（柯西—许瓦兹Cauchy—Schwarz不等式）
(x, y)U ，有 x, y x y
证： K x y, x y 0 即 x, x x, y x, y 2 y, y 0

按内积(x, y) xi yi 为规范正交系。 i 1
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例3 在 L2[ , ]中，若规定内积

(x, y) x(t) y(t)dt ，
则三角函数系
1,
2
1 cost, 1 sin t,, 1 cos nt, 1 sin nt,




是 L2[ , ]中的规范正交系。
x x0 x1
注意： 完备子空间一定是闭子空间，反之丌成立；
完备空间的闭子空间一定是完备子空间； 有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。
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推广：当 M 是内积空间 U 的完备线性子空间时，定理仍 然成立。 问题：如何求 U 中 x 在 M 中的投影 x0？
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Hilbert空间中的Fourier分析