2023届河南省顶级名校高三年级上册学期1月阶段性检测数学(文)试卷【含答案】
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河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期1月阶段性检测文科数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:__________一、选择题
1、已知集合,则=( ){}
23A x x =<A C R A. B.或{}
33x x -≤≤{3x
x ≤-∣3}x ≥C. D.
或}
x ≤
≤{x x ≤
∣x ≥2、若,则( )()1i 2i z -=z =A. B. C. D.1i
--1i
-+1i
-1i
+3、设:实数x ,y 满足且.q :实数x ,y 满足,则p 是q 的p 1x >2y >3x y +>( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4、若实数x ,y 满足约束条件,则的最小值为( )
220
100x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩2z x y =-A.-3B.-B.-2
C.0
D.5
5、若正项等比数列的前n 项和为,
,则的值为( {}n a n S 5a =673a +=5S )
6、函数()()(1ln f
x
x x =+-A. B.
C.
D.
7、已知角的终边经过点,则( )
α()1,2-()sin 23tan 2ααπ⎛⎫
-π+-= ⎪⎝⎭
310
8、已知矩形ABCD 的对角线交于点O ,E 为AO 的中点,若DE
A.
9、若( )sin θ=
θ=A.
C.2
D.-D.-5
10、已知函数的定义域为,且为奇函数,当
()y f x =()(),11,-∞+∞ ()1f x +时,
,则1x <()24f x x x =--()f x =A.4
B.2
C.-12
D.-6
11、若数列的前n 项和为,是数列的“均值{}n a n S n b =
}n b {}n a 数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为,设数列
{}n b {}n a n b n =的前n 项和为,若对一切恒成立,则实数m 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
n T 2
112n
T m m <--*n ∈N 的取值范围为( )A. B. C. D.()
1,3-[]
1,3-()(),13,-∞-+∞ (][)
,13,-∞-+∞ 12、如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列说法正确的1111ABCD A B C D -F 1BC 是()
A .当点移动至中点时,直线与平面所成角最大且为F 1BC 1A F 1BDC 60︒
B .无论点在上怎么移动,都有F 1B
C 11A F B D
⊥C .当点移动至中点时,才有与相交于一点,记为点,且F 1BC 1A F 1B D E 13
A E
EF
=D .无论点在上怎么移动,异面直线与所成角可能是F 1BC 1A F CD 30︒
二、填空题
13、曲线在点处的切线方程是__________.
()e 2x x x f x =++()0,214、已知向量,()2,b k = ,若,则k =__________.
()1,3a =- ()()
2//a b a b -+
15、中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足,
ABC △a =,,则__________.
45B =︒75C =︒b =16、已知函数()()sin 04f x x ωωπ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭,
63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且()f x 在,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
上单调递减,则ω=__________.三、解答题
17、已知函数.()()441
sin cos cos 2
f x x x x x x =-+-
∈R (1)求的值;
23f π⎛⎫
⎪⎝⎭
(2)求的最小正周期及单调递减区间.
()f x 18、已知的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且
ABC △
.()sin cos a A C A +=(1)求A ;
(2)若ABC ABC 的周长.a =19、已知数列{}n a 的前n 项和为,,且.n S 11a =()*112n n na S n +++=∈N (1)证明:数列为等差数列;
{}n nS
(2)选取数列的第项构造一个新的数列,求的前n 项{}n S ()*2n n ∈N {}n b {}n b 和.
n T 20、已知函数,.()e x f x ax =-a ∈R (1)讨论的单调性;
()f x (2)若函数在区间内无零点,求实数
()()()e 22ln x g x f x ax x a =--++10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
a 的取值范围.21、已知函数,曲线在处的切线经过点.()ln x
f x ax x
=
-()y f x =1x =()2,1-(1)求实数a 的值;
(2)设,求在区间上的最大值和最小值.
1b >()f x 1,b b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
22、在平面直角坐标系中,曲线:(为参数)经过伸缩变换
1C cos ,
sin ,x y αα=⎧⎨=⎩α得到曲线,在以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系2,
3x x y y '=⎧⎨'=⎩
2C
中,直线l cos 2sin θρθ+=(1)求曲线的普通方程:
2C (2)设点P 是曲线上的动点,求点P 到直线l 距离d 的最大值.
2C
参考答案
1、答案:D
解析:由解得
23x
<
x <<.
{A
x x ∴=<<.{
A x x ∴=≤R ∣ x ≥故选:D.2、答案:B
解析:解:由,得,故选:B.(1i)2i z -=2i 2i(1i)
1i 1i (1i)(1i)
z +===-+--+3、答案:A
解析:p :实数x ,y 满足且,取,推不出.1x >1y > 1.1x y ==3x y +>q :实数x ,y 满足,取,,推不出p .3x y +>4x =0.1y =则p 是q 的既不充分也不必要条件.故选:D.4、答案:C
解析:作出图像如下,图中灰色部分为可行域,点A 为与
的交点,
220x y +-=1x =联立,解得1220x x y =⎧⎨+-=⎩1
1
2
x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
11,2A ⎛⎫∴ ⎪
⎝⎭
由
最小,2x y =
只要
在y 轴的截距最大即可,
2x y =-当经过时取最小值,
∴2z x y =-11,2A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.min 0z ∴=故选:C.5、答案:C
解析:设公比为q ,由题意知,
,
0q >65a a q =⋅=22
752q a q =⋅=,化简得,2322q q
∴+=
260q q +-=解得,
2q =
514
a a q ==()55112132(31)1232S ⨯-==-⨯-=-6、答案:B
解析:本题考查根据函数的解析式识别函数的图象.当时,函数值大于0,2x >可排除A 选项;当时,函数值大于0,可排除C 和D 选项.进而得到B 正1x <-确.7、答案:B
解析:角的终边经过点,
α(1,2)-,
tan 2α∴=-sin 2sin(23)tan sin 22cos 2αααααπ⎛⎫
- ⎪
π⎛⎫⎝⎭-π+-=-+
⎪π⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭cos 2sin cos sin α
ααα
=-⋅+222sin cos 1
sin cos tan ααααα
⋅=-
+
+
22tan 1
tan 1tan ααα
=-+
+
4152=
-=故选:B.8、答案:A
解析:解:如图
在矩形ABCD 中,()
12
DO DA DC =+
,在DAO △中,
,()
12DE DA DO =+
11131132224444DE DA DA DC DA DC AB AD
⎛⎫∴=++=+=- ⎪⎝⎭
,
λ∴=
=22191616λμ-=-=9、答案:D
解析:,
2
2
22sin cos
2tan
32
22sin 2sin
cos
2
2
5
sin cos tan 12
2
2
θ
θ
θ
θ
θ
θθ
θ
θ
⋅=⋅⋅==
=++整理得,解得或
2
3tan 10tan
302
2
θ
θ
-+=tan
32
θ
=tan
2θ
=是第二象限的角,
θ ,,222k k θπ
∴π+
<<π+πk ∈Z ,,422k k θππ
∴+π<<+πk ∈Z ,tan 12
θ
∴>,tan
32
θ
∴=原式.∴23
523
+=
=--故选:D.
10、答案:A 解析:11、答案:D
解析:由题意,数列的前n 项和为,由“均值数列”的定义可得
{}n a n S 所以,n
S n n
=2n S n =当时,;
1n =111a S ==当时,,
2n ≥221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-
,所以,21n n =-21n a n =-,
1111(21)(21)22121n n n n
⎛⎫
=- ⎪-+-+⎝⎭
所以111111111123352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭ 又对一切
恒成立,
2
112
n T m m <
--*n ∈N ,解得或.
21m --≥2230m --≥1m ≤-3m ≥即实数m 的取值范围为.(,1][3,
)-∞-+∞ 故选:D.
12、答案:
B
解析:设正方体的棱长为1,如图,
1111ABCD A B C D -易知点1A 到平面1BDC
当点为的中点时,线段的长度最短,
F 1BC 1A F 此时直线与平面所成角的正弦值最大,
,选项A 错误
;
1A F 1
BDC =≠连接,易知平面,又平面,所以总有,选项B 正确;111,A B A C 1B D ⊥11A BC 1A F ⊂11A BC 11A F B D ⊥连接,当F 为的中点时,,此时四点共面,11,A F B D 为梯11,,A D B F DF 1BC 11//A D B F 11,,,A D B F 形的对角线,故其交于一点E,且1112
A E A D
EF FB ==,
11A DFB 当F 不是的中点时,点不共面,不可能相交,选项错误;1BC 11,,,A D B F 11,A F B D 因为所以即异面直线与所成的角,该角的正切值为,
11//A B CD 11B A F
∠1A F CD 111B F A B ,
,
11111
A B B F A B ≤≤111
1B F A B ≤≤故无论点F 在上怎么移动,异面直线与所成的角都不可能是,选项D 错误.
1BC 1A F CD 30
13、答案:22
y x =+解析:由得()e 2x f x x x =++()e e 1(1)e 1
x x x f x x x '=++=++,过点的切线方程为,
(0)2f '∴=∴(0,2)22y x -=即.22y x =+故答案为:.
22y x =+14、答案:-6
解析:,,,
2(2,6)(2,)(4,6)a b k k -=--=-- (1,3)a b k +
=+ (2)//()a b a b -+
,解得.
4(3)6k k ∴-⋅+=
-6k =-故答案为:-6.15、答案:解析:在中,ABC △,=
sin b B =
b
∴===
16、答案:1
解析:因为上单调递减,所以,因为
,
2
x
π
⎛⎫
∈π
⎪
⎝⎭
1
,
4244
x
ωωω
πππ
⎛⎫
+∈π+π+
⎪
⎝⎭在上单调递减.所以周期,解得.因为
()
f x,
2
π
⎛⎫
π
⎪
⎝⎭
2
T
w
π
=≥π2
w≤
,()sin
f x⎛
=
⎝
k x
ω
π<0
=
,即
w
≤≤x=
.所以
.
()sin1
44
f x
ωππ
⎛⎫
=+=±
⎪
⎝⎭
1
w
=
17、答案:(1)
1
2sin2
62
x
π
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
(2),
5
,
36
k k
ππ
⎡⎤
π+π+
⎢⎥
⎣⎦
k∈Z
解析:由已知,得(
)441
sin cos cos
2
f x x x x x
=-+-
()()() 222222
11 sin cos sin cos22cos sin
22 x x x x x x x x
=+--=---
111
2cos222cos22sin2
2226
x x x x x
⎫π
⎛⎫
=--=--=-
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
⎭
(1)
.
2217113
2sin22sin2sin
33626262
2 f
πππππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯--=-=π+-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2)由(1)的最小正周期为.
()
f x T=π
由.
222
26
k x k
ππ
π+≤-≤π+
3
k x k
π
π+≤≤π+∈Z
的单调递减区间是,.
()
f x
∴
5
,
36
k k
ππ
⎡⎤
π+π+
⎢⎥
⎣⎦
k∈Z
18、答案:(1)
3
A
π
=
5
+
,=sin sin B b A =
又因为,
()sin cos a A C A
+=.
sin sin cos A B B A ∴=因为,所以,所以,即
()0,B ∈πsin 0B >
sin A A =tan A =又,故
()0,A ∈πA =(2)由,1sin 2ABC S bc A ==△6=又,即得,2222cos
3a b c bc π=+-227
b c bc =+
-2213b c +=则,故
.
5b c +===ABC △5+19、答案:(1)证明见解析
(2)1
212n n
T n =-+解析:(1)证明:,
11n n n a S S ++=- 由已知,,即.∴()()*112n n n n S S S n ++-+=∈N ()()
*112n n n S nS n ++-=∈N 数列是以2为公差的等差数列.∴{}n nS (2)由(1)数列是以2为公差的等差数列,
{}n nS
又,首项为,
11a =1111S
a ⨯==,()11221n nS n n ∴=+-⋅=-n S
∴=
222122n n n n b S ⋅-∴===2311122111122211222212
n n n T n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦∴=-+++⋅⋅⋅+=-=-+ ⎪⎝⎭-20、答案:(1)的单调减区间为,单调增区间为()f x (),ln a -∞()
ln ,a +∞
(2)实数a 的取值范围是(]
,4ln 2a ∈-∞解析:(1)的定义域为R ,.
()f x ()e x f x a '=-①当时,,则在时增函数.
0a ≤()0f x '>()f x (),-∞+∞②当时,由;由.0a >()0e 0ln x f x a x a '>⇒->⇒>()0ln f x x a '<⇒<的单调减区间为,单调增区间为.
()f x ∴(),ln a -∞()ln ,a +∞
(2)由已知得,.则()()()12ln 0g x a x x x =-->()g x a '=-
①当时,,则在上单调递减,0a ≤()0g x '<()g x ()0,+∞由,当时,.在内无零.()10g =∴10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x >()g x ∴10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
②当时,令,得0a >()0g x '=x =
时,则在上时减函数,又,.≥(]0,4∈()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
0x →()g x →+∞要是在内无零点,只需,即.()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭112ln 0222a g ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭
04ln 2a <≤
时,则在上时减函数,在上时增函数.<4>()g x 20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.()min 2222ln g x g a a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭
令,()2h a a =--()2210a a a a
-'=-+=<在上时减函数,且.即,
()h a ∴()4,+∞()()42ln 220h a h <=-<()min 0g x <在上一定有零点不合题意,舍去.()g x ∴10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
综上,实数a 的取值范围是.
(],4ln 2a ∈-∞21、答案:(1)1a =(2)最大值为,最小值为1-1ln b b b
--
解析:(1)的导函数为()f x ()f x '=
所以
,()10111a f a --'=
=-1
=-1a =-解得.1a =(2)由(1)得()f x '=当时,,,
01x <<210x ->ln 0x ->所以,故在上单调递增;()0f x '>()f x ()0,1当时,,,
1x >210x -<ln 0x -<所以,故在上单调递减,()0f x '<()f x ()1,+∞所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.()f x ()0,1()1,+∞因为
,所以的最大值为.101b b
<<<()f x ()11f =-设,则()()11ln h b f b f b b b b b ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭1>,()211ln 0h b b b ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
故在区间上单调递增.
()h b ()1,+∞,即.(
)()10h b h ∴>=()1f b f b ⎛⎫> ⎪⎝⎭
故
的最小值为()f x 1ln f b b b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
22、答案:(1)
C 219
y =(2)点P 到直线l 距离解析:(1)由题意得曲线:(为参数)的普通方程为1C cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩
α.
221x y +=由伸缩变换得2,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩,2,3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩
代入
.22
x y +=2
19y '
+=.∴C 219
y +=(2)
直线.
20y +-=直线
.
∴20y +-=设点P 的坐标为,
()2cos ,3sin θθ则点P 到直线l 的距离
d 当时,
sin 16θπ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭max d
=所以点P 到直线l 距离。