2020届江西省宜春市丰城九中高三上学期月考数学(理)试题

2020届江西省宜春市丰城九中高三上学期月考数学（理）试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数Z 满足()31-12Z i
i =+，则Z =（ ）
A ．104
B ．2
C ．2
D ．3
2．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =（ ）
A ．{}|0x x <
B ．{}|1x x <
C ．{}1|0x x <<
D ．{}|12x x << 3．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列n a 的前n 项和，26S 9a +=，则5S 的值为（ ）
A ．10
B ．15
C ．30
D ．3
4．直线240x y -+=经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为( )
A B ．12 C D ．23
5．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）
A ．()()P A P M >
B ．()()P A P M <
C ．()()P A P M =
D ．()P A 与()P M 的大小关系与半径长
度有关 6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()
A ．3
B ．3
C ．323
D ．643
7．函数()219ln 2f x x x =
-，在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．2m ≤
B ．4m ≥
C ．12m <≤
D ．03m <≤
8．函数()21x f x x
-=的图象大致为（） A ． B ．
C ．
D ．
9．已知函数()f x 为定义域在R 上的偶函数，且当0()ln 2x f x x x >=+-，，则(1)(1)f f '-+-的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．3
D ．3-
10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线
交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD |=
，则抛物线方程是（ ）
A ．2y x =
B ．22y x =
C ．24y x =
D ．28y x = 11．六棱锥P ABCDEF -底面为正六边形，且内接于球O ，已知PD 为球O 的一条直径，球O 的表面积为
163π，60POA ∠=，则六棱锥的体积为（ ） A ．4 B ．2 C ．12 D ．1
12．已知函数1()(sin cos )cos 22f x a x x x x =-+
+，若()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的范围是（ ）
A ．[]1,2
B ．[)0+∞，
C ．[]0,2
D ．[]0,1
二、填空题 13．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩
，则3z x y =-的最大值为______.
14．已知单位向量12,e e ，向量12,e e 夹角为23
π，则122e e -=____________ 15．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+
> ⎪⎝⎭
，若()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______. 16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(),*,2
n n a S n N +=∈定义数列{}n b ：对于正整数m ，m b 是使得不等式2m n a ≥成立的n 的最小值，则{}n b 的前10项和是
__________．
三、解答题
17．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且124a a a 、、成等比数列.
(1) 求数列{}n a 的通项公式n a ；
(2) 设数列{}n b 满足()21n n
a n n
b a =+-， n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T . 18．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b
c ，已知ABC 的面积为
21tan 6
S b A =. ()1证明：3cos b c A =；
()
2若tan 2,A a ==求S .
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.
()1求证：//PA 平面BDE ；
()2若直线BD 与平面PBC 所成角为30
，求二面角C PB D --的大小. 20．已知函数()2ln f x a x x bx =++在()()1,1f 处的切线方程为0y =.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间：
（Ⅱ）关于x 的方程()0f x m -=在1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
范围内有两个解，求m 的取值范围.
21．已知椭圆C : 22221x y a b +=的右焦点为(1,0)F ，离心率e =． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点M ，使得11·9
MA MB =-恒成立？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 22．已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()'f x 为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：
()1()g x 在22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有唯一零点； ()2()2f x .
（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈.）
参考答案
1．C
【分析】
把已知的等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简后求得Z ,即可求得Z .
【详解】
()31-12Z i i =+,
31212331===+1-1+222i i i Z i i i +++∴=,31=-22Z i ∴,2Z ∴. 故选:C .
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算,共轭复数,复数的模,难度容易.
2．C
【分析】
求出A 、B 中不等式的解集确定出A 、B ，找出A 与B 的交集即可．
【详解】
集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}
{}2|20|02B x x x x x =-<=<<， 所以A
B ={}1|0x x <<.
故选：C 【点睛】
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．B
【分析】
由26S 9a +=化简可得33a =,由()15535S =
52
a a a +=计算即可求得. 【详解】 26S 9a +=,1369a d ∴+=,123∴+=a d ,即33a ∴=,
()15353510S =51522
a a a a +⨯∴===.
故选:B .
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、等差数列性质、求和公式,难度容易.
4．A
【分析】
直线x ﹣2y +4＝0与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，2），依题意得42c b ==，进而得离心率
【详解】
直线x ﹣2y +4＝0与坐标轴的交点为（﹣4，0），（0，2），
直线x ﹣2y +4＝0经过椭圆()22
2210x y a b a b
+=＞＞的一个焦点和一个顶点；
故42c b a e ==⇒==
， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a ，b ，c 即可，属于基础题型． 5．C
【分析】
利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.
【详解】
由题意，设四分之一圆的半径为R R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142
R R π-，
阴影部分M 的面积为：2222111124
22R R R R ππ⎫⎛⎫⨯⨯--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（）
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的
关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
【分析】
根据三视图的长度，可在棱长为4的正方体中还原几何体，进一步计算即可.
【详解】
根据题意，得该几何体是如图所示的三棱锥A BCD -，
1132444323
A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=． 【点睛】
求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
7．C
【分析】
先求得导函数，根据函数单调递减可知()0f x '≤在区间[]1,1m m -+上恒成立，即可由定义域及不等式求得m 的取值范围.
【详解】
函数()219ln 2
f x x x =-，()0x >. 则()299x f x x x x
-'=-=， 因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调递减，
则()0f x '≤在区间[]1,1m m -+上恒成立，即290x -≤，
所以03x <≤在区间[]1,1m m -+上恒成立，
所以1013
m m ->⎧⎨+≤⎩，解得12m <≤，
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基础题. 8．D
【分析】
根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x
----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；
当0x >时，()211x f x x x x
-==-，则21'()1f x x =+＞0， 所以函数在0∞（，＋）
上递增，排除A ， 故选D .
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 9．D
【分析】
设0x <,则0x ->,由函数()f x 为定义域在R 上的偶函数,即可求出0x <时()f x 的解析
式,进而求得()f x ',代入计算即可求得.
【详解】
因为函数()f x 为定义域在R 上的偶函数, (1)=(1)=-1.f f -
设0x <,则0x ->, 据此可得,当0x <有()()=()=ln 2f x f x x x ----,此时, 1()=1f x x '-,则(1)=2f ,所以(1)(1)=3f f '-+--.
故选:D .
【点睛】
本题考查利用偶函数的定义求解函数的解析式,及导数问题,难度较易. 10．B 【分析】
画出图像，根据直线MF 的斜率，证得三角形MNF 是等边三角形，根据中位线证得D 是
NF 中点，结合MD =F 的坐标，进而求得p 的值，从而求得抛物线方程.
【详解】
画出图像如下图所示，由于直线MF ，故π
3
MFA ∠=
，由于MN l ⊥，故π
3
FMN ∠=
，根据抛物线的定义得MN MF =，故三角形MNF 是等边三角形.由于O 是
BF 的中点，//BN OD ，所以D 是NF 中点，而MD =2MN MF NF ===，在直角三角形ODF 中，π
1,3
DF DFO =∠=
，所以1
22
p OF =
=，解得1p =，故抛物线方程为22y x =. 故选B.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，考查等边三角形的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 11．D 【分析】
由已知可求出球O 的半径为
3
,O 为六棱锥的外接球，由60POA ∠=可知POA 构成的三角形为等边三角形,由PD 为球O 的一条直径,可知PA ⊥面ABCDEF ,进而可求六棱锥底面外接圆的半径和六棱锥的高,根据锥体的体积公式即可求出体积. 【详解】
由题意可知六棱锥如图所示, 因为2
1643S R ππ==
，所以球O
由60POA ∠=可知POA 为等边三角形，PA ⊥面ABCDEF , 12OH PA =
=
，
3
h PA ==
.根据公式222R h r =+,(r 为六棱锥底面外接圆的半径)，代入得1r =,
所以正六边形面积为161222
s =⨯
⨯⨯=
,所以六棱锥体积
11133V sh ===.
故选.D 【点睛】
本题考查球的内接几何体问题,考查球的表面积公式,锥体的体积公式,考查空间想象能力,难度较难. 12．D 【分析】
首先求得()(cos sin )sin 21f x a x x x '
=+-+,则问题转化为()0f x '≥在,2ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
恒成立, 令cos sin ,t x x =+可将问题转化为不等式220t at --≤
在[-上恒成立.构造函数
2
()2h t t at =--
, [t ∈-,
只需满足(1)0
h h -≤⎧⎪⎨
≤⎪⎩,即可求得a 的范围. 【详解】
1
()(sin cos )cos 22
f x a x x x x =-++,
()(cos sin )sin 21f x a x x x '∴=+-+
若()f x 在,2ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 则()(cos sin )sin 210f x a x x x '
=+-+≥在,2ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
恒成立, 令cos sin ,t x x =+
则,4t x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭2sin 21x t =-,又5444x πππ-≤+≤故
,
sin 1[24x t π⎛
⎫-
≤+≤⇒∈- ⎪⎝
⎭,所以问题转化为不等式2-20t at ++≥
在[-上恒成立，即不等式220t at --≤
在[-上恒成立.令2
()2h t t at =--
, [t ∈-,
则有(1)0
h h -≤⎧⎪⎨
≤⎪⎩,解得01a ≤≤. 故选:D . 【点睛】
本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想,求函数的导数是第一个转化过程,换元是第二个转化过程;构造二次函数是第三个转化过程,也就是说为达到求出参数a 的取值范围,求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归,从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简,彰显了数学思想的威力,难度困难. 13．0 【分析】
作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求
解，得到答案. 【详解】
由题意，作出约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
目标函数3z x y =-可化为直线3y x z =-，当直线3y x z =-过点C 时，此时目标函数取得最大值， 又由20
210x y x y -+=⎧⎨
-+=⎩
，解得1,3x y ==，即1,3C （），
所以目标函数的最大值为3130z =⨯-=.
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 14
【分析】
根据条件可以得到1212=1,=1
1
2e e e e ⋅=-，,(
)
2
1
212
22e e e e -=-,计算即可求得.
【详解】
(
)
2
22
1212
11222224414cos
4e e e e e e e e π
-=
-=-⋅+=-⨯+==. 故答案为: .
【点睛】
本题考查单位向量的概念,向量数量积的运算及其计算公式,求向量的模的方法,难度较易.
15．91388⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
,
【分析】
根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=
+∈ ⎪⎝⎭
，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，得到
1122344πππωω⎛⎫⎛⎫
+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求解. 【详解】
由题意，令()sin 14f x x πω⎛
⎫
=+
=± ⎪⎝
⎭，即()42
x k k Z ππ
ωπ+=+∈， 解得()14x k k Z πω⎛⎫
=
+∈ ⎪⎝⎭
， 所以函数()f x 的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫
=
+∈ ⎪⎝⎭
， 又()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点， 所以这三个极值点只能是在0,1,2k k k ===，
所以有
1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+≤<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得9813
8ω<≤. 所以实数ω的取值范围是913
88
⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
,.
故答案为91388⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
,. 【点睛】
本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数ω的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 16．1033 【分析】
由n a 与n S 的关系:2
1(
),*,2
n n a S n N +=∈可求得{}n a 的通项公式, 进而由已知,可求得m b 的通项公式,即可解得所求. 【详解】
当1n =时，2
11112a S a +⎛⎫== ⎪
⎝⎭
,解得11a =.
当2n ≥时, ()()22
11
114
n
n n n n a a a S S --+-+=-=
整理()()1120n n n n a a a a ----+=，得由题意得10,20n n n a a a ->∴--=故{}n a 为等差数列,且21n a n =-. 令212m n -≥，则1
1
2
2
m n -+,且*1*,21,m m n b m -∈∴=+∈N N ,{}n b ∴的前10项和为10
012
9
1222221010103312
-+++
++=+=-.
故答案为:1033. 【点睛】
本题考查n a 与n S 的关系、借助递推公式求数列的通项公式、等比数列的前n 项和，考查转化与化归思想、分类讨论思想,体现了数学运算、逻辑推理等核心素养,难度较难. 17．（1）*
,n a n n N =∈ （2）2122n n ++- 【分析】
(1)由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）把数列{}n a 的通项公式代入_2(1)a n n n n b a =+-，分组后利用等差数列与等比数列前n 项和公式求解． 【详解】
()1由题可知10,1d a >=，且2142a a a ⋅=
即()()2
1113a a d a d ⋅+=+
可得2
11,1a d d a d ===
()*11,n a a n d n n N ∴=+-⋅=∈
()2()21n n n b n =+-
()()12222221234212n n T n n =++⋅⋅⋅++-+-+-⋅⋅⋅--+⎡⎤⎣⎦
()221212
n n -=
+-
2122n n +=+-
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了等差数列与等比数列前n 项和的求法，是中档题． 18．（1）证明见解析（2）3 【分析】
（1）由三角形的面积公式化简得3csinA btanA =，进而得到sin 3cos b A
csinA A
=，即可作出证明；
（2）因为2tanA =
，求得5cosA =，由（1
）得222,33
b bccosA
c ==
，利用余弦定理求得29b =，再由面积公式，即可求解. 【详解】
（1）由三角形的面积公式，可得211
26
S bcsinA b tanA =
=，即3csinA btanA =， 又因为sin cos A tanA A =
，所以sin 3cos b A
csinA A
=， 又因为0A π<<，所以0sinA ≠，所以3b ccosA =. （2）因为2tanA =
，由三角函数的基本关系式，可得cosA =
， 由（1
）得222,33
b bccosA
c ==
，
由余弦定理得2
2
2
2
2282)33
b b
c bccosA b =+-=++
，解得29b =，
所以2111
sin tan 923266
S bc A b A =
==⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 19．（1）证明见解析（2）60︒ 【分析】
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得//PA 平面BED ； ()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，
建立空间直角坐标系，设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n 和m ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】
（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，
由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，
又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .
()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系
D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，
设平面PBC 的法向量(,)n x y z =，，
由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩
，得0
0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，
又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30， 得1
cos ,2
DB n DB n DB n
a =
=
=
，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-，
由向量的夹角公式，可得1
cos ,2
2n m n m n m
=
=
=⨯，
又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.
【点睛】
本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
20．（Ⅰ）函数()f x 单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（Ⅱ）
2
11
01m e e
<≤+
-. 【分析】
（Ⅰ）根据()110f b =+=，()1210f a '=+-=，可解出()2
ln f x x x x =-+-，
再求导判断即可．
（Ⅱ）由（I ）可知()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
单调递减，在[
)1,+∞单调递增. ()10f =，
21111f e e e ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，画出草图即可得出答案．
【详解】
解：（I ）函数()2
ln f x a x x bx =++，则()2a
f x x b x
'=
++且0x >. 因为函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为0y =，
所以()110f b =+=则1b =-，()1210f a '=+-=则1a =-.()2
ln f x x x x =-+-
所以，()121f x x x -'=+-=()()221121x x x x x x
+---=. 当01x <<时()0f x '<故()f x 为单调递减，当1x <时()0f x '>故()f x 为单调递增. 所以函数()f x 单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞. （II ）因为方程()0f x m -=在1
,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
范围内有两个解，
所以()y f x =与y m =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
又两个交点
由（I ）可知()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
单调递减，在[
)1,+∞单调递增.
所以()f x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有极小值为()10f =，且21111f e e e
⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭
. 又因为当x 趋于正无穷大时，()f x 也趋于正无穷大.所以21101m e e
<≤+-. 【点睛】
本题考查根据函数的切线方程求函数的单调区间，根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题．
21．（1）22
132
x y +=；
（2）x 轴上存在点4
(,0)3M ，使得11
·
9
MA MB =-恒成立，理由见解析. 【分析】
（1）根据焦点坐标、离心率结合222a b c =+列式，求得,a b 的值，从而求得椭圆的标准方程.
（2）假设x 轴上存在().0M m ，使11
9
MA MB ⋅=-.当直线l 斜率为0时，求得,A B 两点的坐标，利用11
9
MA MB ⋅=-
列方程，解方程求得m 的值.当直线l 斜率不存在时，求得,A B 两点的坐标，利用119
MA MB ⋅=-列方程，解方程求得m 的值.由此判断4
3m =，由此求得M
点坐标，再证当直线l 斜率存在时，11
9
MA MB ⋅=-即可.当直线l 斜率存在时，设出直线l 的
方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，计算得11
9
MA MB ⋅=-，由此求得符合题意的M 点的坐标. 【详解】
（1）∵ 1c =，c e a =
=
， ∴a = ∴ 2222b a c =-=．
∴ 椭圆方程为22
132
x y +=．
（2）假设x 轴上存在点M (m ,0),使得11
9
MA MB ⋅=-,
①当直线l 的斜率为0时, (0)A -,(
,0)B ,
则2
11((39MA MB m m m ⋅=⋅=-=-
, 解得 4
3
m =±．
②当直线l 的斜率不存在时, (1,
)3A ,(1,3
B -,
则2411
(1(1,(1)39
MA MB m m m ⋅=-⋅-=--=-, 解得 23
m =
,4
3m =．
由①②可得43
m =． 下面证明4
3m =
时, 119
MA MB ⋅=-恒成立. 直线l 斜率存在时,设直线方程为(1)y k x =-.
由22
(1)236
y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消y 整理得: 2222
(32)6360k x k x k +-+-=, 2122632
k x x k +=+,2122
36
32k x x k -=+, 2
2
2
121212122
4(1)(1)[()1]32
k y y k x x k x x x x k -=--=-++=+. 112244(,)(,)33MA MB x y x y ⋅=-⋅-121212
416
()39
x x x x y y =-+++
222222364616432332932k k k k k k --=-⋅+++++2296161611
332999
k k --=+=-+=-
+. 综上,x 轴上存在点4
(,0)3M ，使得11
9
MA MB ⋅=-恒成立. 【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题. 22．（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】
（1）由题意，得()()
'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
和,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；
（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-，利用作差比较，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+
所以()()
'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,
2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，可得()0g x >，即()g x 在0,
2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
内没有零点，
当,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()2sin g x cosx x x '=-， 因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
又()()22tan 220g cos =+>，且2033g ππ⎛⎫=-<
⎪
⎝⎭
， 所以()g x 在22,
3
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
内有唯一零点t . （2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增；
当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，
由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-，
因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2
cos 12
cos t t
--=
， 因为22,
3
t π⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
从而()2
2
2
212 1.4160(1)cos --=-->，即(
)2
cos 12
0cos t t
--<，
所以()20f t -<，故()2f x <. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。