两边成比例且夹角相等的判定方法
最新人教版九年级数学下册《第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》优质教学课件
求证：△ABC ∽△AED. 证明：∵ AB ·AD = AE·AC，
∴ AB AC . AE AD
又∵ ∠DAB =∠CAE，
A D
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE，
即∠DAE =∠BAC．
E
∴ △ABC ∽△AED.
B
C
拓展提升
6. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边
∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm．
解：∵ AB 7， AC 14 = 7 , ∴ AB AC .
A' B' 3 A'C' 6 3
A' B' A' C'
又 ∠A′ = ∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． A'
符号语言：
在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，
∵ AB AC ，∠A =∠A′，
B'
A' B' A' C'
A C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
B
C
思考： 对于△ABC和 △A′B′C′，如果 AB AC ，∠C = A' B' A' C'
∠C′，这两个三角形一定会相似吗？试着画画看.
练一练
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
C
求证：△DEF∽△ABC.
两个三角形相似的判定定理
三角形相似的判定定理及性质
判定定理
1、平行于三角形一-边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
性质
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比。
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5、相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
判定直角三角形相似的方法
判定直角三角形相似的方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相近。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
相似三角形介绍：
三角分别成正比，三边成比例的两个三角形叫作相近三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被
理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相
似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
相近三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相近三角形任一对应线段的比等同于相近比。
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
投影全系列等三角形的认定定理，可以得出结论以下结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角成正比的两个三角形相近。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相近。
根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相近。
2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的判定方法-课件
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
＝36，OB＝18，则△ABO与△DCO__一__定__相似．(填“一定”
或“不”)
6．如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝___6____时， △ABD∽△DBC.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，AC 上的点，且AD·AB＝AE·AC， 求证：DE⊥AB.
解：设它们同时出发了 t 秒时△PBQ 与△ABC 相似，BP＝10－t，
BQ ＝
2t.①∵∠B ＝
∠B，
∴
当
BBAP ＝
BQ BC
时
，
△PBQ∽△ABC
，
∴
10－t 10
＝
2t 20
，
t
＝
5
；
②∵∠B
＝
∠B
，
∴
当
BP BC
＝
BQ BA
时
，
△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t，∴t＝2.综上，它们同时出发了 2
3．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，OA＝12 cm， OC＝4 cm，AB＝30 cm，则CD＝_______1c0m.
4．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当 AC＝___6__时，△ACD∽△ABC.
人教版数学九年级下册 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
A
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC → AB BC B
BD AB
DC
3. 如图，△AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似”) .
B
45
A
54
E 36 F
30
C
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
A
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式
相似三角形的判定公式为：AA(角角)、SAS(边角边)、SSS(边边边)、HL等等。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形判定定理
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)(SSS)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)(HL)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)(简叙为：全等三角形相似)。
相似的判定条件
相似的判定条件
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。
相似的判定条件 1
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似；
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.)；
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.)；
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似.).
相似的判定条件 2
1.相似三角形对应的角相等，对应的边成比例。
2.相似三角形所有对应线段的比值(对应高度、对应中线、对应平分线、外接圆半径、内切圆半径等。
)等于相似比。
3.相似三角形的周长之比等于相似比。
4.相似三角形面积之比等于相似比的平方。
5.相似三角形中内切圆和外接圆的直径比和周长比与相似比相同，内切圆和外接圆的面积比是相似比的平方。
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程首先，我们先给出一个定义和两个相似三角形的性质：定义：相似三角形是指两个三角形的对应角相等，而且对应边成比例。
性质1：如果两个三角形相似，则它们的对应角相等。
性质2：如果两个三角形的对应角相等，则它们的对应边成比例。
现在，我们假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，我们要证明两个性质：1.证明两个三角形的对应边成比例。
2.证明两个三角形的对应角相等。
首先，我们来证明性质1假设在三角形ABC和A'B'C'中，有三条对应边AB和A'B'、AC和A'C'、BC和B'C'，我们要证明它们成比例。
由于三角形ABC和A'B'C'相似，根据性质2可知，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
我们先来考虑对应边AB和A'B'：假设AB的长度为a，A'B'的长度为a'，我们要证明a/a'=AB/A'B'。
根据三角形的相似性条件，我们有∠B = ∠B'，所以根据正弦定理，我们可以得到以下关系式：a/sin∠B = a'/sin∠B'。
进一步整理可得：a/a' = sin∠B/sin∠B'。
由于∠B = ∠B'，所以sin∠B = sin∠B'，所以这个关系式可以变为：a/a' = sin∠B/sin∠B' = 1/1 = 1所以，我们证明了对应边AB和A'B'成比例。
类似地，我们可以分别证明对应边AC和A'C'、BC和B'C'也成比例。
接下来，我们来证明性质2假设∠B=∠B'，∠C=∠C'，我们要证明这意味着三角形ABC和A'B'C'相似。
人教版数学九年级下册《 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》PPT课件
探究新知 归纳： 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB A' B'
AC A' C
'
，∠A=∠A′，
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ . B'
A' A
C' B
C
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′， 这两个三角形一定会相似吗？
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴△DEF∽△ABC. D
E
例 2 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD =
AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE. 求证：△ABC∽△ADE.
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
巩固练习
已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B' =16， A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理 由.
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何符号语言：
∴△ABC∽△A’B’C’ （两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似。）
方法归纳：应用相似三角形判定定理2解题 时，角必须是两边成比例的夹角相等，切记 不可以是某一边的对角相等。
∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
证明：∵∠AED=∠B 又∠DAE=∠CAB
∴△AED∽△ABC（两角对应相等的应成比例且夹角相等 的两三角形相似）
D
4、如图在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°， AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm 求证：△ABC∽△DEF
证明：∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm
∵∠C=∠F=70° ∴△ABC∽△DEF
证明：∵CD是边AB上的高 ∴∠ADC=∠CDB=90°
“两边成比例且夹角相等”
证明：
（1）△ADE∽△AEB；
A
（2）DE∥BC；
（3）△BCE∽△EBD。 D
E
B
C
思考与探索：
如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。
（1）在AB上取一点D，当AD＝_____时，
△ACD∽△ABC；
学科网
（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝
△AEB∽△ABC；
A
此时，BE与DC有怎样的位置关系？ D
△DBE与△ABC相似吗？为什么？A来自DBC
E
随堂 练习
1. 如图，在△ABC中，D在AB上， D
要说明△ACD∽△ABC相似，
已经具备了条件
，
B
还需添加的条件是
，或
或
A
C
。
2. 如图，△ABC与△A'B'C '
相似吗？有哪些判断方法？
A'
C'
B'
A
C
B
3、已知如图，AE2=AD ·AB，且∠ABE=∠ACB。
A CE
D F
交流讨论
如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，要使 △ABC∽△DEF，需要添加什么条件？
学科网
D A
B
CE
F
例题讲解
1、如图, 若AD·AB=AE·AC,
则△_______∽△______,且∠B=_____.
例题讲解
2、如图，点D在△ABC内，点E在△ABC外，
且∠1=∠2，∠3=∠4.
回顾与反思☞
1.什么叫相似三角形？ 2. 如何判断两个三角形相似？
学科网
D A
B
CE
相似三角形的判定两边及夹角
已知：如图，∠A=∠A′, A′B′=4，A′C′=3，AB=12， AC=9，那么这两个三角形会不会相似？
A
A′
4
B′
3
C′
12
9
B
C
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成
比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . A B C
AB AC AB AC
A = A
∴△ABC∽△ ABC
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ） （A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE （B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80°
（C）∠A=∠D=50° AB=3
（D）∠B=∠E=70°
AC=5
DE=6
DF=10
AB：DE=AC：DF
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不 是夹角，则它们不一定会相似．
ABC∽ AB C
B
A C
C
复习回顾； 1.满足什么条件的两个三角形相似？
A
☆相似三角形的定义：
B
A C
C
☆相似三角形的判定一： 两角对应相等的两个三角形相似 B
在△ABC和△A’B’C’中 ∵∠A=∠A′,∠B=∠B′, ∴△ABC∽△A’B’C’(两角对应相等的两三角形 相似)
D
C
3.（2011∙无锡中考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD
相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角
形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的
是 (
) .
B．①与③相似
① ④
② ③
A．①与②相似
C．①与④相似
两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
05
总结与展望
总结
两边对应成比例且夹角相等是判 断两三角形相似的充分必要条件， 这一结论在几何学中具有重要地
位。
在实际应用中，这一结论被广泛 应用于解决三角形相关问题，如
测量、建筑设计、航海等。
这一结论的证明过程涉及了比例、 相似三角形的性质、角的相等关 系等知识点，是几何学中较为经
典的一个证明题。
两边对应成比例且夹 角相等两三角形相似
目录
• 引言 • 两边对应成比例的三角形相似性质 • 夹角相等的三角形相似性质 • 两三角形相似性的综合应用 • 总结与展望
01
引言
主题引入
01
三角形是几何学中最基础和重要 的图形之一，研究三角形的相似 性质对于理解几何学的基本原理 和解决实际问题具有重要意义。
在工程领域，特别是在建筑设计、机械制造和航空航天等领域，相似三角形的性质被广泛 应用于测量、分析和优化设计方案。
实例3
在物理学中，特别是在研究波动、光学和力学等领域，相似三角形的性质也是非常重要的 。例如，在研究声波传播、折射和反射等现象时，我们需要利用相似三角形的性质来建立 数学模型并进行实验验证。
根据相似三角形的性质， 作辅助线AD垂直于BC于 点D，A'D'垂直于B'C'于 点D'。由于角ADB = 角 A'D'B'，且角A = 角A'， 因此三角形ADB与三角形 A'D'B'相似。
根据相似三角形的性质， 由于AD/A'D' = AB/A'B' = k，因此三角形ADC与 三角形A'D'C'相似。
03
夹角相等的三角形相似性 质
相似三角形的条件
引言概述：相似三角形的条件是初中数学学习中的重要内容，我们已经了解到两个三角形相似的条件之一是它们对应的角相等，而另一个条件则是它们对应的边成比例。
本文将进一步探讨相似三角形的条件，并详细阐述五个主要的条件。
正文内容：1.第一个条件：AAA（全等的对应）。
三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度分别相等（∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F），则可以得出两个三角形相似。
这是因为根据性质可以知道：两个三角形的对应角相等，意味着它们的形状相似。
举例说明：假设∠A=∠D=60°,∠B=∠E=50°,∠C=∠F=70°，根据AAA相似性质可以得出两个三角形相似。
2.第二个条件：相似比例（边比例）。
三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长之间成比例（AB/DE=BC/EF=AC/DF），则可以得出两个三角形相似。
这是因为比例关系表明两个三角形的形状相似，即它们的对应边长成比例关系。
举例说明：假设AB/DE=2/3,BC/EF=3/5,AC/DF=4/7，根据边比例的相似性质可以得出两个三角形相似。
3.第三个条件：SAS（两边成比例，且夹角相等）。
三角形ABC和DEF，如果它们的某两边成比例，并且这两边夹角之间相等（AB/DE=BC/EF，并且∠A=∠D），则可以得出两个三角形相似。
这是因为两个三角形的两对对应边夹角相等，另一对对应边成比例，可以得出它们的形状相似。
举例说明：假设AB/DE=2/3,BC/EF=2/3，∠A=∠D=60°，根据SAS相似性质可以得出两个三角形相似。
4.第四个条件：SSS（三边成比例）。
三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长之间成比例（AB/DE=BC/EF=AC/DF），则可以得出两个三角形相似。
这是因为三角形的三对对应边成比例，意味着它们的形状相似。
举例说明：假设AB/DE=2/3,BC/EF=2/3,AC/DF=2/3，根据SSS 相似性质可以得出两个三角形相似。
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程
相似三角形两边对应成比例且夹角相等证明过程要证明相似三角形两边对应成比例且夹角相等的过程，我们需要从几何角度出发。
首先，我们先来理解相似三角形的定义。
两个三角形被称为相似三角形，当且仅当它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
也即，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，且AB/DE=AC/DF=BC/EF，则△ABC∽△DEF。
接下来，我们来证明两边对应成比例且夹角相等的条件下，两个三角形相似。
假设有两个三角形△ABC和△DEF，已知AB/DE=AC/DF=BC/EF，且∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。
我们先来证明∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F这一条件。
首先，我们取点G在AB上，使得AG=DE。
由于AB/DE=AC/DF，我们有AG/DE=AC/DF，即AG/AC=DE/DF。
根据比例相等的性质，我们可以得到AG/AC = AB/DF。
又因为∠A =∠D，根据正弦定理，我们可以得到AG/AC = sin∠B/sin∠C。
综上所述，我们得到AB/DF = sin∠B/sin∠C。
同理，我们可以使用类似的方法得到AC/DF = sin∠C/sin∠B，BC/EF = sin∠C/sin∠A，将这些式子联立起来，得到AB/DF = AC/DF = BC/EF = sin∠B/sin∠C = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
因此，根据比例相等的性质，我们可以得到sin∠B/sin∠C =sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
进一步化简，我们得到sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B。
根据正弦定理，我们可以得到AB/AC = sin∠B/sin∠A，BC/AC = sin∠C/sin∠A。
从上述的推导步骤可以看出，我们得到了AB/DE = AC/DF = BC/EF = AB/AC = BC/AC = sin∠B/sin∠A = sin∠C/sin∠B = sin∠C/sin∠A。
相似三角形的判定方法五种字母
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。
相似三角形介绍
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。
全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。
相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。
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14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小 虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进， 小虫P每秒走1 cm，小虫Q每秒走2 cm. 请问：它们同时出发多少秒时，以P，B ，Q为顶点的三角形与以A，B，C为顶点 的三角形相似？
秒或 5 秒时，△PBQ 与△ABC 相似
(2)由(1)知∠3＝∠DAE，∴∠2＋∠3＝∠2＋∠DAE＝∠1，又 AB＝BD，AB⊥BD，∴∠1＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝90°
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点， AE＝ED，DF＝ DC1，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
4 (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)若正方形的边长为8，求BG的长．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，且 AB＝BD＝DE＝EC. 求证：(1)△ADE∽△CDA； (2)∠1＋∠2＋∠3＝90°.
解：∵AB＝BD＝CE＝DE，设 AB＝a，则在 Rt△ABD 中，AD ＝ 2a，又 DE＝a，DC＝2a，∴AD2＝DE·DC，即ADDE＝ADDC，又 ∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA
解：证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠C＝60°， 又点 E 为 AB 的中点，AADC＝13，∴BACE＝12，ADDC＝12， ∴BACE＝ADDC，又∠A＝∠C， ∴△AED∽△CBD，∴∠AED＝∠CBD
9．如图，点D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
△ABC∽△DBA的条件是( D )
A．AC∶BC＝AD∶BD
B．AC∶BC＝AB∶AD
C．AB2＝CD·BC
D．AB2＝BD·BC
(第9题图)
(第10题图)
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将
这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA·OC＝
OB·OD，则下列结论中一定正确的是( D )
A．①和②相似
B．②和③相似
Байду номын сангаас
3．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，OA＝12 cm， OC＝4 cm，AB＝30 cm，则CD＝_______1c0m.
4．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，当 AC＝___6__时，△ACD∽△ABC.
(第4题图)
(第5题图)
5．如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD
4.4 探索三角形相似的条件
第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法
△ABC
与
△A′B′C′
中
，
AB A′B′
＝
BC B′C′
，
且
_∠__B_＝__∠__B__′ _
，
则
△ABC∽△A′B′C′，依据是
__两__边__成__比__例__且__夹__角__相__等__的__两__个__三__角__形__相__似___．
C．①和④相似
D．②和④相似
11．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边 BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD.求证：AE·EC＝
EF·ED.
解：∵AB·BF＝BC·BD，∴ABDB＝BBCF. 又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△DBF. ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC. ∴EADE＝EECF，即 AE·EC＝EF·ED
＝36，OB＝18，则△ABO与△DCO__一__定__相似．(填“一定”
或“不”)
6．如图，BD平分∠ABC，AB＝2，BC＝3，当BD＝___6____时， △ABD∽△DBC.
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别是AB，AC 上的点，且AD·AB＝AE·AC， 求证：DE⊥AB.
解：∵AD·AB＝AE·AC，∴AADC＝AABE， 又 ∠DAE ＝ ∠CAB ， ∴△ADE∽△ACB ， ∴∠ADE＝∠ACB，∵∠C＝90°， ∴∠ADE＝90°，∴DE⊥AB
8．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AC，AB 边 上，且AADC＝13，AE＝BE，连接 DE，BD. 求证：∠AED＝∠CBD.
知识点：两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
1．能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( B )
A.AA′BB′＝AA′CC′
B.AA′BB′＝AA′CC′且∠A＝∠A′
C.BACB＝AA′′CB′′且∠B＝∠C′
D.AA′BB′＝AA′CC′且∠B＝∠B′
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是 (C )
解：设它们同时出发了 t 秒时△PBQ 与△ABC 相似，BP＝10－t，
BQ ＝
2t.①∵∠B ＝
∠B，
∴
当
BBAP ＝
BQ BC
时
，
△PBQ∽△ABC
，
∴
10－t 10
＝
2t 20
，
t
＝
5
；
②∵∠B
＝
∠B
，
∴
当
BP BC
＝
BQ BA
时
，
△PBQ∽△CBA，∴102－0 t＝120t，∴t＝2.综上，它们同时出发了 2