弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析
第⼆章应⼒状态分析
⼀、内容介绍
弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。

由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。

因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。

确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。

⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。

应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。

本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。

本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。

⼆、重点
1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；
2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；
3、⾯⼒边界条件；
4、应⼒分量的转轴公式；
5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；
知识点：
体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒
分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；
截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；
切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态
特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量
§2.1 体⼒和⾯⼒
学习思路:
本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。

体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。

⾯⼒⽮量⽤F s表⽰，其分量⽤F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表⽰。

体⼒和⾯⼒分量的⽅向均规定与坐标轴⽅向⼀致为正，反之为负。

学习要点：
1、体⼒；
2、⾯⼒。

1、体⼒
作⽤于物体的外⼒可以分为两种类型：体⼒和⾯⼒。

所谓体⼒就是分布在物体整个体积内部各个质点上的⼒，⼜称为质量⼒。

例如物体的重⼒，惯性⼒，电磁⼒等等。

⾯⼒是分布在物体表⾯上的⼒，例如风⼒，静⽔压⼒，物体之间的接触⼒等。

为了表明物体在xyz坐标系内任意⼀点P 所受体⼒的⼤⼩和⽅向，在P点的邻域取⼀微⼩体积元素△V，如图所⽰
设△V 的体⼒合⼒为△F，则P点的体⼒定义为
令微⼩体积元素△V趋近于0，则可以定义⼀点P的体⼒为
⼀般来讲，物体内部各点处的体⼒是不相同的。

物体内任⼀点的体⼒⽤F b表⽰，称为体⼒⽮量，其⽅向由该点的体⼒合⼒⽅向确定。

体⼒沿三个坐标轴的分量⽤F b i( i = 1,2,3)或者F b x, F b y, F b z表⽰，称为体⼒分量。

体⼒分量的⽅向规定与坐标轴⽅向⼀致为正，反之为负。

应该注意的是：在弹性⼒学中，体⼒是指单位体积的⼒。

2、⾯⼒
类似于体⼒，可以给出⾯⼒的定义。

对于物体表⾯上的任⼀点P，在P点的邻域取⼀包含P点的微⼩⾯积元素△S，如图所⽰
设△S 上作⽤的⾯⼒合⼒为△F，则P 点的⾯⼒定义为
⾯⼒⽮量是单位⾯积上的作⽤⼒，⾯⼒是弹性体表⾯坐标的函数。

⼀般条件下，⾯⼒边界条件是弹性⼒学问题求解的主要条件。

⾯⼒⽮量⽤F s表⽰，其分量⽤F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表⽰。

⾯⼒的⽅向规定以与坐标轴⽅向⼀致为正，反之为负。

弹性⼒学中的⾯⼒均定义为单位⾯积的⾯⼒。

§2.2 应⼒和应⼒状态
学习思路:
物体在外界因素作⽤下，物体内部各个部分之间将产⽣相互作⽤，物体内部
相互作⽤⼒称为内⼒。

为讨论弹性体的强度，将单位⾯积的内⼒，就是内⼒集度定义为应⼒。

p n为过任意点M，法线⽅向为n的微分⾯上的应⼒⽮量。

应⼒⽮量不仅随点的位置改变⽽变化，⽽且即使在同⼀点，也由于截⾯的法线⽅向n的⽅向改变⽽变化。

⼀点所有截⾯的应⼒⽮量的集合称为⼀点的应⼒状态。

讨论⼀点各个截⾯的应⼒变化趋势称为应⼒状态分析。

凡是应⼒均必须说明是物体内哪⼀点，并且通过该点哪⼀个微分⾯的应⼒。

应⼒状态对于研究物体的强度是⼗分重要的。

显然，作为弹性体内部⼀个确定点的各个截⾯的应⼒⽮量，就是应⼒状态必然存在⼀定的关系。

不可能也不必要写出⼀点所有截⾯的应⼒。

为了准确、明了地描述⼀点的应⼒状态，必须使⽤合理的应⼒参数。

为了探讨各个截⾯应⼒的变化趋势，确定可以描述应⼒状态的参数，通常将应⼒⽮量分解。

学习要点：
1、应⼒⽮量；
2、应⼒⽮量的分解；
3、应⼒分量。

1、应⼒⽮量
物体在外界因素作⽤下，例如外⼒，温度变化等，物体内部各个部分之间将产⽣相互作⽤，这种物体⼀部分与相邻部分之间的作⽤⼒称为内⼒。

内⼒的计算可以采⽤截⾯法，即利⽤假想平⾯将物体截为两部分，将希望计算内⼒的截⾯暴露出来，通过平衡关系计算截⾯内⼒F。

内⼒的分布⼀般是不均匀的。

为了描述任意⼀点M的内⼒，在截⾯上选取⼀个包含M的微⾯积单元ΔS，如图所⽰
则可认为微⾯积上的内⼒主⽮ΔF的分布是均匀的。

设ΔS 的法线⽅向为n，则定义：
上式中p n为微⾯积ΔS 上的平均应⼒。

如果令ΔS 逐渐减⼩，并且趋近于零，取极限可得
上述分析可见：p n是通过任意点M，法线⽅向为n的微分⾯上的应⼒⽮量。

应⼒p n是⽮量，⽅向由内⼒主⽮ΔF确定，⼜受ΔS⽅位变化的影响。

应⼒⽮量不仅随点的位置改变⽽变化，⽽且即使在同⼀点，也由于截⾯的法线⽅向n的⽅向改变⽽变化。

这种性质称为应⼒状态。

因此凡是应⼒均必须说明是物体内哪⼀点，并且通过该点哪⼀个微分⾯的应⼒。

⼀点所有截⾯的应⼒⽮量的集合称为⼀点的应⼒状态。

应⼒状态对于研究物体的强度是⼗分重要的。

显然，作为弹性体内部⼀个确定点的各个截⾯的应⼒⽮量，就是应⼒状态必然存在⼀定的关系。

不可能也不必要写出⼀点所有截⾯的应⼒。

为了准确、明了地描述⼀点的应⼒状态，必须使⽤合理的应⼒参数。

2、应⼒⽮量的分解
讨论⼀点各个截⾯的应⼒变化趋势称为应⼒状态分析。

为了探讨各个截⾯应⼒的变化趋势，确定可以描述应⼒状态的参数，通常将应⼒⽮量分解。

应⼒⽮量的⼀种分解⽅法是将应⼒⽮量p n在给定的坐标系下沿三个坐标轴⽅向分解，如⽤p x, p y, p z表⽰其分量，则p n=p x i
+ p y j+ p z k，这种形式的分解并没有⼯程实际应⽤的价值。

它的主要⽤途在于作为⼯具⽤于推导弹性⼒学基本⽅程。

另⼀种分解⽅法，如图所⽰，是将应⼒⽮量p n沿微分⾯ΔS的法线和切线⽅向分解。

与微分⾯ΔS 法线n⽅向的投影称为正应⼒，⽤ n表⽰；平⾏于微分⾯ΔS
的投影称为切应⼒或剪应⼒，切应⼒作⽤于截⾯内，⽤τn表⽰。

弹性体的强度与正应⼒和切应⼒息息相关，因此这是⼯程结构分析中经常使⽤的应⼒分解形式。

由于微分⾯法线n的⽅向只有⼀个，因此说明截⾯⽅位就确定了正应⼒σn的⽅向。

但是平⾏于微分⾯的⽅向有⽆穷多，因此切应⼒τn不仅需要确定截⾯⽅位，还必须指明⽅向。

3、应⼒分量
为了表达弹性体内部任意⼀点M 的应⼒状态，利⽤三个与坐标轴⽅向⼀致的微分⾯，通过M点截取⼀个平⾏六⾯体单元，如图所⽰。

将六⾯体单元各个截⾯上的应⼒⽮量分别向3个坐标轴投影，可以得到应⼒分量σij。

应⼒分量的第⼀脚标i 表⽰该应⼒所在微分⾯的⽅向，即微分⾯外法线的⽅向；
第⼆脚标j 表⽰应⼒的⽅向。

如果应⼒分量与j 坐标轴⽅向⼀致为正，反之为负。

如果两个脚标相同，i＝j，则应⼒分量⽅向与作⽤平⾯法线⽅向⼀致，这是正应⼒，可以并写为⼀个脚标，例如σx。

如果两脚标不同，i≠j，则应⼒分量⽅向与作⽤平⾯法线⽅向不同，这是切应⼒，例如τxy。

六⾯体单元的3对截⾯共有九个应⼒分量σij。

应该注意：应⼒分量是应⼒⽮量在坐标轴上的投影，因此是标量，⽽不是⽮量。

在已知的坐标系中应⼒状态通常⽤应⼒张量
表⽰。

使⽤应⼒张量可以完整地描述⼀点的应⼒状态。

§2.3 斜截⾯上的应⼒应⼒⽮量与应⼒分量
学习思路:
应⼒⽮量不仅随点的位置改变⽽变化，⽽且也由于截⾯的法线⽅向n的⽅向改变⽽变化，研究这⼀变化规律称为应⼒状态分析。

如果应⼒分量能够描述⼀点的应⼒状态，那么应⼒分量与其它应⼒参数必然有内在联系。

本节分析应⼒⽮量与应⼒分量之间的关系，为深⼊讨论应⼒状态作准备。

利⽤三个坐标平⾯和⼀个任意斜截⾯构造微分四⾯体单元，通过四⾯体单元探讨坐标平⾯的应⼒分量和斜截⾯上的应⼒⽮量的关系。

根据平衡关系，推导任意斜截⾯的应⼒⽮量、法线⽅向余弦和各个应⼒分量之间的关系。

分析表明：⼀点的应⼒分量确定后，任意斜截⾯的应⼒⽮量是确定的。

学习要点：
1、分四⾯体单元；
2、应⼒⽮量与应⼒分量。

1、微分四⾯体单元
⼀点的九个应⼒分量如果能够完全确定⼀点的应⼒状态，则其必须能够表达通过该点的任意斜截⾯上的应⼒⽮量。

为了说明这⼀问题，在O点⽤三个坐标⾯和⼀任意斜截⾯截取⼀个微分四⾯体单元，如图所⽰。

斜截⾯的法线⽅向⽮量为n，它的三个⽅向余弦分别为l，m和n。

设斜截⾯上的应⼒为p n，i，j和k 分别为三个坐标轴⽅向的单位⽮量，p n 在坐标轴上的投影分别为p x, p y, p z。

则应⼒⽮量可以表⽰为
p n= p x i+ p y j+ p z k
同样，把单位体积的质量所受的体积⼒F b沿坐标轴分解，有
F b= F b x i+ F b y j+ F b z k
设S为ΔABC的⾯积，则
ΔOBC=lS, ΔOCA=mS, ΔOAB=nS
ΔABC的法线⽅向的单位⽮量可表⽰为
n= l i+ l j + m k
2、应⼒⽮量与应⼒分量
微分四⾯体在应⼒⽮量和体积⼒作⽤下应满⾜平衡条件，设h为O点⾄斜⾯ABC的⾼，由x⽅向的平衡，可得
将公式代⼊上式，则
对于微分四⾯体单元，h与单元体棱边相关，因此与1相⽐为⼩量，趋近于零，因此
同理
如果采⽤张量记号，则上述公式可以表⽰为
上式给出了物体内⼀点的9个应⼒分量和通过同⼀点的各个微分⾯上的应⼒之间的关系。

这⼀关系式表明，只要有了应⼒分量，就能够确定⼀点任意截⾯的应⼒⽮量，或者正应⼒和切应⼒。

因此应⼒分量可以确定⼀点的应⼒状态。

§2.4 平衡微分⽅程
学习思路:
物体在外⼒作⽤下产⽣变形，最后达到平衡位置。

平衡不仅是指整个物体，⽽且弹性体的任何部分也是平衡的。

本节通过微分平⾏六⾯体单元讨论弹性体内部任意⼀点的平衡。

应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微⼩变化将导致应⼒分量的相应改变。

即坐标有增量时，应⼒分量也有对应的增量。

这个增量作为⾼阶⼩量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。

微分平衡⽅程描述了弹性体内部任意⼀点的平衡，确定了应⼒分量与体⼒之间的关系。

⼜称为纳维（Navier）⽅程。

平衡微分⽅程描述弹性体内部应⼒分量与体⼒之间的微分关系，是弹性⼒学的第⼀个基本⽅程。

切应⼒互等定理是弹性体⼒矩平衡的结果。

学习要点：
1、微分单元体及平衡关系；
2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理。

1、微分单元体及平衡关系
物体在外⼒作⽤下产⽣变形，最后达到平衡位置。

不仅整个物体是平衡的，⽽且弹性体的任何部分也都是平衡的。

为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平⾏六⾯体单元讨论任意⼀点M 的平衡。

在物体内，通过任意点M，⽤三组与坐标轴平⾏的平⾯截取⼀正六⾯体单元，单元的棱边分别与x，y，z轴平⾏，棱边分别长d x，d y，d z，如图所⽰
讨论微分平⾏六⾯体单元的平衡：
在x⾯上有应⼒分量σx，τxy和τxz；在x+d x⾯上，应⼒分量相对x截⾯有⼀个增量，取⼀阶增量，则
对y，z⽅向的应⼒分量作同样处理。

根据微分单元体x⽅向平衡，∑F x=0，则
简化并且略去⾼阶⼩量，可得
同理考虑y，z⽅向，有
上述公式给出了应⼒和体⼒之间的平衡关系，称为平衡微分⽅程，⼜叫纳维（Navier）⽅程。

⽤张量形式表⽰，可以写作
如果考虑微分单元体的⼒矩平衡，则可以得到
τ xy =τ yx，τ yz=τzy，τzx=τxz
由此可见，切应⼒是成对出现的，9个应⼒分量中仅有6个是独⽴的。

上述关系式⼜称作切应⼒互等定理。

⽤张量形式表⽰，则
σij = σji
§2.5 ⾯⼒边界条件
学习思路:
在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量必须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以维持弹性体表⾯的平衡。

⾯⼒边界条件的推导时，参考了应⼒⽮量与应⼒分量关系表达式。

只要注意到物体边界任意⼀点的微分四⾯体单元表⾯作⽤应⼒分量和⾯⼒之间的关系就可以得到。

⾯⼒边界条件描述弹性体表⾯的平衡，⽽平衡微分⽅程描述物体内部的平衡。

当然，对于弹性体，这仅是静⼒学可能的平衡，还不是弹性体实际存在的平衡。

⾯⼒边界条件确定的是弹性体表⾯外⼒与弹性体内部趋近于边界的应⼒分量的关系。

学习要点：
1、⾯⼒边界条件。

1、⾯⼒边界条件
物体在外⼒作⽤下处于平衡状态，不仅整体，⽽且任意部分都是平衡的。

在弹性体内部，应⼒分量必须与体⼒满⾜平衡微分⽅程；在弹性体的表⾯，应⼒分量须与表⾯⼒满⾜⾯⼒边界条件，以满⾜弹性体表⾯的平衡。

考虑物体表⾯任⼀微分四⾯体的平衡，如图所⽰。

由于物体表⾯受到表⾯⼒，如压⼒和接触⼒等的作⽤，设单位⾯积上的⾯⼒分量为F s x、F s y和F s z，物体外表⾯法线n的⽅向余弦为l，m，n。

参考应⼒⽮量与应⼒分量的关系，可得
⽤张量符号可以表⽰为
上述公式是弹性体表⾯微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表⽰物体表⾯的外⼒，右边是弹性体内部趋近于边界的应⼒分量。

公式给出了应⼒分量与⾯⼒之间的关系，称为静⼒边界条件或⾯⼒边界条件。

平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表⽰物体内部的平衡，后者表⽰物体边界部分的平衡。

显然，若已知应⼒分量满⾜平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应⼒分量必须满⾜平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

§2.5 坐标变换的应⼒分量和应⼒张量
学习思路:
⼀点的应⼒不仅随着点的位置改变⽽变化，⽽且由于截⾯的法线⽅向不同，截⾯上的应⼒也不同。

因此必须探讨⼀点任意截⾯应⼒之间的变化关系。

应⼒分量能够描述⼀点的应⼒状态，因此确定不同截⾯应⼒分量的变化规律，就可以确定应⼒状态。

本节分析坐标系改变时应⼒分量的变化规律。

为了简化分析，⾸先假设斜截⾯的法线与新坐标轴⽅向相同，建⽴斜截⾯应⼒⽮量表达式。

然后利⽤斜截⾯应⼒⽮量与应⼒分量的关系，将应⼒⽮量投影于各个坐标轴得到应⼒分量表达式。

应⼒分量的转轴公式说明：应⼒分量满⾜张量变换条件。

根据切应⼒互等定理，应⼒张量是⼆阶对称张量。

转轴公式说明了⼀点的应⼒状态，尽管截⾯⽅位的变化导致应⼒分量改变，但是⼀点的应⼒状态是不变的。

学习要点：
1、坐标系的变换；
2、坐标平⾯的应⼒⽮量；
3、应⼒分量的投影；
4、应⼒分量转轴公式；
5、平⾯问题的转轴公式。

1、坐标系的变换
⼀点的应⼒不仅是坐标的函数，随着弹性体中点的位置改变⽽变化，⽽且即使同⼀点，由于截⾯的法线⽅向不同，截⾯上的应⼒也不相同。

⼀点的应⼒随着截⾯的法线⽅向的改变⽽变化称为应⼒状态。

应⼒状态分析就是讨论⼀点不同截⾯的应⼒变化规律。

由于应⼒分量可以描述应⼒状态，因此讨论坐标系改变时，⼀点的各个应⼒分量的变化就可以确定应⼒状态。

当坐标系改变时，同⼀点的各个应⼒分量将作如何的改变。

容易证明，坐标系仅作平移变换时，同⼀点的应⼒分量是不会改变的，因此只须考虑坐标系旋转的情况。

假设在已知坐标系Oxyz中，弹性体中某点的应⼒分量为
如果让坐标系转过⼀个⾓度，得到⼀个新的坐标系Ox'y'z'。

设新坐标系与原坐标系之间有如下关系：
其中，l i，m i，n i表⽰新坐标轴Ox'y'z'与原坐标轴Oxyz之间的夹⾓⽅向余弦。

2、坐标平⾯的应⼒⽮量
如果⽤
表⽰同⼀点在新坐标系下的应⼒分量。

作斜截⾯ABC与x' 轴垂直，其应⼒⽮量为p n，则
根据应⼒⽮量与应⼒分量的表达式
3、应⼒分量的投影
设i'，j'，k'为新坐标系Ox'y'z'的三个坐标轴⽅向的单位⽮量，如图所⽰将p n ，即p x'向x'轴投影就得到σ x'；
向y'轴投影就得到τ x'y'；
向z'轴投影就得到τx'z'；
所以
4、应⼒分量转轴公式
将应⼒⽮量分量表达式代⼊上述各式，并分别考虑y，z⽅向，则可以得到转轴公式
注意到，τx'y' =τy'x' , τy'z' =τz'y' , τx'z' =τz'x'。

⽤张量形式描述，则上述公式可以写作
应⼒变换公式表明：当坐标轴作转轴变换时，应⼒分量遵循张量的变换规律。

坐标轴旋转后，应⼒分量的九个分量均有改变，但是作为⼀个整体所描述的应⼒状态是不会发⽣变化的。

应⼒张量为⼆阶对称张量，仅有六个独⽴分量。

新坐标系下的六个应⼒分量可通过原坐标系的应⼒分量确定。

因此，应⼒张量的六个应⼒分量就确定了⼀点的应⼒状态。

5、平⾯问题的转轴公式
对于平⾯问题，如Ox轴与Ox'成?⾓。

则新旧坐标系
有如下关系：
根据转轴公式，可得
上述公式即材料⼒学中常⽤的应⼒变换公式。

应该注意的问题是：材料⼒学是根据变形效应定义应⼒分量的，⽽弹性⼒学是根据坐标轴定义应⼒分量的符号的。

因此对于正应⼒⼆者符号定义结果没有差别，但是对于切应⼒符号定义是不同的。

例如对于两个相互垂直的微分⾯上的切应⼒，根据弹性⼒学定义，符号是相同的，⽽根据材料⼒学定义，符号是相反的。

§2.7 主应⼒和应⼒不变量
学习思路:
应⼒状态的确定，不仅需要描述⼀点各个截⾯的应⼒变化规律，⽽且需要确定最⼤正应⼒和切应⼒，以及作⽤平⾯⽅位。

本节讨论应⼒状态的的重要概念－主平⾯和主应⼒。

主平⾯是指切应⼒为零的平⾯；主平⾯法线⽅向称为应⼒主轴；主平⾯的正应⼒称为主应⼒。

主平⾯和主应⼒是描述⼀点应⼒状态的重要参数，关系弹性体的强度。

根据主应⼒和应⼒主轴的定义，可以建⽴其求解⽅程－应⼒状态特征⽅程。

对于应⼒主轴，在主应⼒求解后，再次应⽤齐次⽅程组和⽅向余弦特性可以得到。

主应⼒特征⽅程的系数具有不变性、实数性和正交性。

因此称为应⼒不变量。

学习要点：
1、主平⾯与主应⼒；
2、l，m，n的齐次线性⽅程组；
3、应⼒状
态特征⽅程；4、主应⼒性质；5、正交性证明。

1、主平⾯与主应⼒
应⼒状态的确定，不仅需要描述⼀点各个截⾯的应⼒变化规律，⽽且需要确定最⼤正应⼒和切应⼒，以及作⽤平⾯⽅位。

物体内⼀点的应⼒分量是随坐标系的旋转⽽改变的，那么，对于这个确定点，是否可以找到这样⼀个坐标系，在这个坐标系下，该点只有正应⼒分量，⽽切应⼒分量为零。

也就是说：对于物体内某点，是否能找到三个相互垂直的微分⾯，⾯上只有正应⼒⽽没有切应⼒。

答案是肯定的，对于任何应⼒状态，⾄少有三个相互垂直平⾯的切应⼒为零。

切应⼒为零的微分⾯称为主微分平⾯，简称主平⾯。

主平⾯的法线称为应⼒主轴或者称为应⼒主⽅向。

主平⾯上的正应⼒称为主应⼒。

根据主应⼒和应⼒主轴的定义，可以建⽴其求解⽅程。

设过点O与坐标轴倾斜的微分⾯ABC为主微分⾯，如图所⽰
其法线⽅向n，既应⼒主轴的三个⽅向余弦分别为l，m，n，微分⾯上的应⼒⽮量p n，即主应⼒的三个分量为p x, p y, p z。

根据主平⾯的定义，应⼒⽮量p n的⽅向应与法线⽅向n⼀致，设为主应⼒，则应⼒⽮量的三个分量与主应⼒的关系为
p x =σ l, p y =σ m, p z =σ n
2、l，m，n的齐次线性⽅程组
同时，根据应⼒⽮量与应⼒分量表达式，有
将上述公式联⽴求解，可以得到
上述公式是⼀个关于主平⾯⽅向余弦l，m，n 的齐次线性⽅程组。

求解关于l，m，n的齐次线性⽅程组。

这个⽅程组具有⾮零解的条件为系数⾏列式等于零。

即
3、应⼒状态特征⽅程
展开上述⾏列式,可得
以上⽅程称为应⼒状态特征⽅程，是确定弹性体中任意⼀点主应⼒的⽅程。

其中，，为应⼒张量元素构成的⾏列式主对⾓线元素之和。

是⾏列式按主对⾓线展开的三个代数主⼦式之和。

是⾏列式的值。

由于⼀点的主应⼒和应⼒主轴⽅向取决于物体所受载荷和约束条件等，⽽与坐标轴的选取⽆关。

因此特征⽅程的根是确定的，即I1, I2, I3的值是不随坐标轴的改变⽽变化的。

因此I1, I2, I3分别称为应⼒张量的第⼀，第⼆和第三不变量。

应当指出，所谓不变量是指同⼀点的应⼒张量⽽⾔的，它们与坐标轴的选取⽆关。

对于不同点，应⼒状态不同，这些量当然是要变化的
4、主应⼒性质
可以证明，特征⽅程有三个实数根，如⽤σ 1，σ 2，σ 3 分别表⽰这三个根，则它们代表某点的三个主应⼒。

对于应⼒主轴⽅向的确定，可以将计算所得的σ 1，σ 2，σ 3分别代⼊齐次⽅程组的任意两式，并且利⽤关系式
联⽴求解，则可以求得应⼒主⽅向。

应⼒不变量具有以下性质：
1、不变性：
由于⼀点的正应⼒和应⼒主轴⽅向取决于弹性体所受的外⼒和约束条件，⽽与坐标系的选取⽆关。

因此对于任意⼀个确定点，特征⽅程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取⽆关。

坐标系的改变导致应⼒张量的各个分量变化，但该点的应⼒状态不变。

应⼒不变量正是对应⼒状态性质的描述。

2、实数性：
特征⽅程的三个根，就是⼀点的三个主应⼒，根据三次⽅程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以⼀点的三个主应⼒均为实数。

3、正交性：
任⼀点的应⼒主⽅向，即三个应⼒主轴是正交的。

下⾯证明主应⼒的正交性：
a、若σ 1≠σ2≠σ 3，则特征⽅程⽆重根，因此，应⼒主轴必然相互垂直；
b、若σ 1＝σ 2≠σ 3，则特征⽅程有两重根，σ 1 和σ 2的⽅向必然垂直于σ 3的⽅向。

⽽σ 1 和σ 2的⽅向可以是垂直的，也可以不垂直；
c、若σ 1＝σ 2＝σ 3，则特征⽅程有三重根，三个应⼒主轴可以垂直，也可以不垂直。

这就是说，任何⽅向都是应⼒主轴。

5、正交性证明
证明应⼒不变量的正交性。

假设主应⼒σ 1＝σ 2＝σ 3的⽅向余弦分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于满⾜齐次⽅程组，有。