高一数学实数与向量的积一 教案

高一数学实数与向量的积一
目标：
⑴要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件
⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯
⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神
重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 难点：对实数与向量的积的理解、理解向量共线的充要条件 过程:
一、复习：
向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、新课：
1．引入：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
)
OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a
PN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
讨论：①3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|
②-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a
| 2．提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a 的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
①|λa |=|λ||a
|
②λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=0 3．运算定律：
a
a
a a
O A B
C a -
a
-a -a -N
M
Q
P
结合律： λ(μa )=(λμ)a
① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
②
第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a
| |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a
| ∴|λ(μa )|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a
同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。

从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a
≠0
当λ、μ同号时，则λa 和μa
同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
|
|λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
| ∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a
同向 即：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λa
同向 当λ<μ时②两边向量的方向都与μa
同向 还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa
| ∴②式成立 第二分配律证明：
如果a
=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当a
≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时
1︒当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=OA a =AB b =1OA λa
=11B A λb 则=OB a +b =1OB λa
+λb
由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==
|
||
|111AB OA λ
∴△OAB ∽△OA 1B 1 =|
|||1OB OB λ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λOB | 1OB 与λOB 方向也相同
λ(a +b )=λa
+λb
当λ<0时可类似证明：λ(a +b )=λa
+λb
∴③式成立
4．例1（见P106）略
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa
则由实数与向量积的定义
知：a 与b
为共线向量
若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa
当a 与b 反向时b =-μa
从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa
2．例2（P106略） 三、小结： 四、作业：
课本 P107练习 P109习题5.3 1、2
O
A
B
B 1
A
1
B 1。