湖北省荆州市公安三中2014-2015学年高一上学期12月月考数学(文)试卷Word版含解析

2014-2015学年湖北省荆州市公安三中高一（上）12月月考数学
试卷（文科）
一、选择题：（共10小题，每题5分，共50分）
1．已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为( )
A．{﹣1，2} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}
2．下列各项中，与sin（﹣331°）最接近的数是( )
A．B． C．D．
3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是增函数的是( )
A．y=x2﹣4x+8 B．y=丨x﹣1丨C．y=﹣D．y=
4．下列四组函数：（1）f（x）=x，（2）f（x）=x，
（3）f（x）=1，g（x）=x0（4）f（x）=x2﹣2x﹣1，g（t）=t2﹣2t﹣1其中表示同一函数的是( )
A．（1） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）（4）
5．若函数为奇函数，则a=( )
A．B．C．D．1
6．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，3）内近似解的过程中取区间中点x0=2，那么下一个有根区间为( )
A．（1，2）B．（2，3）C．（1，2）或（2，3）D．不能确定
7．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
8．给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx
9．把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是( )
A．沿x轴方向向右平移B．沿x轴方向向左平移
C．沿x轴方向向右平移D．沿x轴方向向左平移
10．方程log2x+log2（x﹣1）=1的解集为M，方程22x+1﹣9•2x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是( )
A．M=N B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=φ
二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分）
11．与﹣2002°终边相同的最小正角是__________．
12．若tanx=3，则1+sinxcosx的值为__________．
13．已知cosxcos（x+y）+sinxsin（x+y）=﹣，y是第二象限角，则tan2y=__________．
14．••=__ ________．
15．已知函数f（x）是偶函数，且它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是__________．
16．函数的单调递减区间是__________．
17．设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则下列四个结论中正确的编号为__________（把你认为正确的结论编号都填上）；
①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③在上是减函数；④在上是增函数．
三、解答题
18．已知函数，
（1）画出函数f（x）图象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）当﹣4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．
19．已知α为第二象限角，且，求的值．
20．如图为函数y=Asin（ωx+ϕ）+c（A＞0，ω＞0，ϕ＞0）图象的一部分，求此函数的解析式
21．已知函数y=sin2x+sin2x+3cos2x，求
（1）函数的最小值及此时的x的集合．
（2）函数的单调减区间．
22．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．
2014-2015学年湖北省荆州市公安三中高一（上）12月月
考数学试卷（文科）
一、选择题：（共10小题，每题5分，共50分）
1．已知全集U=Z，A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为( )
A．{﹣1，2} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．
【解答】解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={﹣1，2}，
故选A
【点评】本题考查集合的基本运算，属容易题．
2．下列各项中，与sin（﹣331°）最接近的数是( )
A．B． C．D．
【考点】诱导公式的作用．
【专题】计算题．
【分析】直接利用诱导公式化简函数的表达式，求出函数的近似值即可．
【解答】解：sin（﹣331°）=sin（﹣360°+29°）=sin29°≈sin30°=．
故选C．
【点评】本题是基础题，考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，考查计算能力．3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上是增函数的是( )
A．y=x2﹣4x+8 B．y=丨x﹣1丨C．y=﹣D．y=
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题．
【分析】选项A，函数在（﹣∞，2）上单调递减；选项B，去掉绝对值可得y=|x﹣
1|=，可知满足在（﹣∞，0）上单调递减；选项C，y=﹣在（﹣∞，
1）和（1，+∞）均单调递增；选项D，y=在定义域（﹣∞，1]单调递减，由此可得
答案．
【解答】解：选项A，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=2，函数在（﹣∞，2）上单调递减，故不满足题意，错误；
选项B，y=|x﹣1|=，故函数在（﹣∞，1）上单调递减，当然在（﹣∞，0）上单调递减，故错误；
选项C，y=﹣在（﹣∞，1）和（1，+∞）均单调递增，显然满足在（﹣∞，0）上单调递增，故正确；
选项D，y=在定义域（﹣∞，1]单调递减，故不满足题意．
故选C
【点评】本题考查函数的单调性的判断，涉及分式函数和绝对值函数的单调性，属基础题．
4．下列四组函数：（1）f（x）=x，（2）f（x）=x，
（3）f（x）=1，g（x）=x0（4）f（x）=x2﹣2x﹣1，g（t）=t2﹣2t﹣1其中表示同一函数的是( )
A．（1） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）（4）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．
【解答】解：对于（1），函数f（x）=x（x∈R），与=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，
对于（2），函数f（x）=x（x∈R），与=x（x∈R）的定义域相同，对应
关系也相同，∴是同一函数；
对于（3），函数f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于（4），函数f（x）=x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）=t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．
综上，表示同一函数的是（2）、（4）．
故选：C．
【点评】本题考查了判断两个函数为同一函数的应用问题，是基础题目．
5．若函数为奇函数，则a=( )
A．B．C．D．1
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．
【解答】解：∵f（x）为奇函数
∴f（﹣1）=﹣f（1）
∴=
∴1+a=3（1﹣a）
解得a=
故选A
【点评】本题考查利用奇函数的定义：对定义域内任意的自变量x都有f（﹣x）=﹣f（x）成立．
6．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，3）内近似解的过程中取区间中点x0=2，那么下一个有根区间为( )
A．（1，2）B．（2，3）C．（1，2）或（2，3）D．不能确定
【考点】二分法求方程的近似解．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0，及函数零点的判定方法即可求出下一个有根的区间．
【解答】解：∵f（1）=31+3×1﹣8=﹣2＜0，f（3）=33+3×3﹣8=28＞0，f（2）=32+3×2﹣8=7＞0，
∴f（1）f（2）＜0，
∴f（x）=0的下一个有根的区间为（1，2）．
故选A．
【点评】本题考查了函数的零点，理解函数零点的判定方法是解决问题的关键．
7．A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．
【解答】解：∵sinA+cosA=，
∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，
∵sin2A+cos2A=1，
∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，
∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，
∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形
故选：B
【点评】本题给出三角形的内角A的正弦、余弦的和，判断三角形的形状．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题．
8．给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f（y），
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx
【考点】指数函数与对数函数的关系．
【分析】依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足
，B不满足其中任何一个等式
【解答】解：f（x）=3x是指数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除A．
f（x）=log2x是对数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除C
f（x）=tanx满足，排除D．
故选B
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．
9．把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是( )
A．沿x轴方向向右平移B．沿x轴方向向左平移
C．沿x轴方向向右平移D．沿x轴方向向左平移
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简为与y=﹣sin3x同名的三角函数，再由左加右减的平移原则进行平移．
【解答】解：∵y=（cos3x﹣sin3x）=﹣sin（3x﹣）=﹣sin3（x﹣）
∴为得到y=﹣sin3x可以将y=（cos3x﹣sin3x）向左平移个单位
故选D．
【点评】本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角函数的图象变换．一般先化简为形式相同即同名函数再进行平移或变换．
10．方程log2x+log2（x﹣1）=1的解集为M，方程22x+1﹣9•2x+4=0的解集为N，那么M与N的关系是( )
A．M=N B．M⊊N C．N⊊M D．M∩N=φ
【考点】函数的零点；集合的包含关系判断及应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】解对数方程log2（x2﹣x）=1我们可以求出集合M，解指数方程22x+1﹣9•2x+4=0我们可以求出集合N，进而根据集合包含关系的判定方法，易判断出集合M，N的关系．【解答】解：∵log2x+log2（x﹣1）=1，∴log2（x2﹣x）=1，
即x2﹣x=2，解得x=﹣1，或x=2，
又∵x＞0，x﹣1＞0，∴函数的定义域是x＞1，
M={2}；
若22x+1﹣9•2x+4=0，∴2x=4，或2x=，解得x=2，x=﹣1，即N={﹣1，2}
故M⊊N，
故选B．
【点评】本题考查的知识点是对数方程的解法，指数方程的解法，其中解对应的指数方程和对数方程，求出集合M，N是解答本题的关键．
二、填空题：（共5个小题，每题5分，共25分）
11．与﹣2002°终边相同的最小正角是158°．
【考点】终边相同的角．
【专题】计算题．
【分析】把﹣2002°写成α+k×360°（k∈Z）（0＜α＜360°）形式，则α即为所求．
【解答】解：∵﹣2002°=158°﹣6×360°，∴与﹣2002°终边相同的最小正角是158°，
故答案是158°．
【点评】与α终边相同角的集合为{β|β=α+k×360°，k∈Z}，其意为终边相同的角相差360°的整数倍，即周角的整数倍，注意所给的范围．
12．若tanx=3，则1+sinxcosx的值为．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得1+sinxcosx的值．
【解答】解：∵tanx=3，则1+sinxcosx=1+=1+=1+=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
13．已知cosxcos（x+y）+sinxsin（x+y）=﹣，y是第二象限角，则tan2y=．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件求得cosy=﹣，根据y是第二象限角，可得siny的值，可得tany的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2y．
【解答】解：∵cosxcos（x+y）+sinxsin（x+y）=cosy=﹣，y是第二象限角，
∴siny==，
故tany==﹣，则tan2y==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
14．••=sin
x．
【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求解即可．
【解答】解：
••
=••
=sinx．
故答案为：sinx．
【点评】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．15．已知函数f（x）是偶函数，且它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则x的取值范围是．
【考点】偶函数．
【分析】根据奇偶性以及单调性画出草图，根据图象得出结论．
【解答】解：该函数的草图如图
由图可知若f（lgx）＞f（1），
则﹣1＜lgx＜1，
∴＜x＜10．
【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．
16．函数的单调递减区间是（2，+∞）．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题．
【分析】先求函数的定义域，然后分解函数：令t=x2﹣2x，则y=，而函数y=
在定义域上单调递减，t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，根据复合函数的单调性可知函数可求
【解答】解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（﹣∞，0）
令t=x2﹣2x，则y=
因为函数y=在定义域上单调递减
t=x2﹣2x在（2，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减
根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为：（2，+∞）
故答案为：（2，+∞）
【点评】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是根据复合函数的单调性的求解法则的应用，解题中容易漏掉对函数的定义域的考虑，这是解题中容易出现问题的地方．
17．设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则下列四个结论中正确的编号为②③（把你认为正确的结论编号都填上）；
①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③在上是减函数；④在上是增函数．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求得ω，由y的图象关于直线对称，可得φ的值，可得函数的解析式为y=3sin（4x+）．再根据函数y的解析式，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由题意可得=，∴ω=4．
再根据函数y的图象关于直线对称，可得4×+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，
故φ=，故函数的解析式为y=3sin（4x+）．
令x=﹣，求得y=﹣，不是最值，故函数的图象不关于直线对称，故①不
正确．
令x=，求得y=0，故函数的图象关于点对称，故②正确．
在上，4x+∈[，]，y=3sin（4x+）是减函数，故③正确．
在上，4x+∈[﹣，]，y=3sin（4x+）不是减函数，故④不正确，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题．
三、解答题
18．已知函数，
（1）画出函数f（x）图象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）当﹣4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．
【考点】分段函数的应用．
【专题】作图题；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据分段函数分段的标准，分别作出每一段函数的图象即可；
（2）先判断自变量的大小，然后代入相应的解析式进行求解即可，对于f（f（3））的求解应从内向外逐一去括号，从而求出所求；
（3）根据分段标准将定义域分成几段，分别求出函数的值域，最后求并集即可求出所求．【解答】解：（1）根据分段函数分别作出图象如右图；
（2）∵a2+1＞0，
∴f（a2+1）=4﹣（a2+1）2=﹣a4﹣2a2+3，
f（f（3））=f（4﹣32）=f（﹣5）=1﹣2（﹣5）=11；
（3）当x∈[﹣4，0）时，f（x）=1﹣2x∈（1，9]，
当x=0时，f（x）=2，
当x∈（0，3）时，f（x）=4﹣x2∈（﹣5，4），
综上所述：当﹣4≤x＜3时，求f（x）取值的集合为（﹣5，9]．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，以及分段函数图象的作法和求值，同时考查了根据定义域求函数的值域，属于中档题．
19．已知α为第二象限角，且，求的值．
【考点】象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
【专题】三角函数的求值．
【分析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角α的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角α余弦值，从而求出结果即可．
【解答】解：=，当α为第二象限角，且时，sinα+cosα≠0，，
所以=．
【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数、二倍角的正弦余弦、同角公式等，属于基础题．
20．如图为函数y=Asin（ωx+ϕ）+c（A＞0，ω＞0，ϕ＞0）图象的一部分，求此函数的解析式
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据三角函数的图象求出A，ω，ϕ，即可确定函数的解析式；
【解答】解：由函数的图象可知函数的最大值为A+c=4，最小值为﹣A+c=﹣2，
∴c=1，A=3，
∵T=12﹣4=8，
∴函数的周期T=．
即=，解得：ϖ=，
∴y=3sin（x+ϕ）+1
∵（12，4）在函数图象上
∴4=3sin（•12+ϕ）+1，
即sin（+ϕ）=1
∴+ϕ=+2kπ，k∈Z，
得ϕ=﹣+2kπ，k∈Z
∴函数解析式为y=3sin（•x+）+1．
【点评】本题主要考查三角函数解析式的求法，根据三角函数的图象是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．
21．已知函数y=sin2x+sin2x+3cos2x，求
（1）函数的最小值及此时的x的集合．
（2）函数的单调减区间．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin（2x+）+2，利用正弦函数的性质即可求得函数的最小值及此时的x的集合；
（2）解不等式组2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）即可求得该函数的单调减区间．
【解答】解：（1）∵y=sin2x+sin2x+3cos2x
=sin2x+cos2x+2
=sin（2x+）+2，
∴当2x+=2kπ﹣（k∈Z），
即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最小值2﹣，
即f（x）min=2﹣，x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
∴该函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查正弦函数的单调性质与最值，属于中档题．
22．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2﹣x）＜2，求x的取值范围．
【考点】函数的值；函数单调性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用赋值法：令x=y=1即可求解
（2）利用赋值法可得，f（）=2，然后结合f（xy）=f（x）+f（y），转化已知不等式，从
而可求
【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
（2）∵
∴
∴，
又由y=f（x）是定义在R+上的减函数，得：
解之得：．…
【点评】本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用。