高中人教A版数学必修4:第6课时 同角三角函数的基本关系(2) Word版含解析

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同角三角函数的基本关系(2)
一、选择题
1.设cos100°=k 则tan100°=( ) A 1-k 2k B .-1-k 2
k
C .±1-k 2k
D .±k 1-k 2
答案:A 解析:∵100°是第二象限角cos100°=k
∴sin100°=1-k 2∴tan100°=1-k 2
k
2.已知sin θ=m -3m +5cos θ=4-2m m +5
则m 的值为( ) A .0 B .8
C .0或8
D .3<m <9
答案:C 解析:利用sin 2θ+cos 2θ=1求m 的值.
3.化简⎝
⎛⎭⎫tan x +1tan x cos 2x =( ) A .tan x B .sin x
C .cos x
D 1tan x 答案:D
解析:⎝
⎛⎭⎫tan x +1tan x cos 2x =⎝⎛⎭⎫sin x cos x +cos x sin x cos 2x =sin 2x +cos 2x sin x cos x ·cos 2x =cos x sin x =1tan x
4.已知tan α=12
且α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2则sin α的值是( ) A .-55 B 55
C 255
D .-255
答案:A
解析:∵α∈⎝⎛⎭⎫π,3π2∴sin α<0由tan α=sin αcos α=12sin 2α+cos 2α=1得sin α=-55 二、填空题
7.已知tan α=m ⎝
⎛⎭⎫π<α<3π2则sin α=________ 答案:-m 1+m 2
解析:因为tan α=m 所以sin 2αcos 2α
=m 2 又sin 2α+cos 2α=1所以cos 2α=1m 2+1
sin 2α=m 2m 2+1
又因为π<α<3π2所以tan α>0 即m >0因而sin α=-m m 2+1
8.若cos α+2sin α=-5则tan α=________
答案:2
解析:将已知等式两边平方得cos 2α+4sin 2α+4sin αcos α=5(cos 2α+sin 2α)化简得sin 2α-4sin αcos α+4cos 2α=0即(sin α-2cos α)2=0则sin α=2cos α故tan α=2
9.若tan α+1tan α=3则sin αcos α=________tan 2α+1tan 2α
=________ 答案:13
7 解析:∵tan α+1tan α=3∴sin αcos α+cos αsin α=3即sin 2α+cos 2αsin αcos α=3∴sin αcos α=13tan 2α+1tan 2α
=⎝⎛⎭⎫tan α+1tan α2-2tan α1tan α
=9-2=7 三、解答题
10.求证:1-2sin2x cos2x cos 22x -sin 22x =1-tan2x 1+tan2x
证明:左边=cos 22x +sin 22x -2sin2x cos2x cos 22x -sin 22x
=(cos2x -sin2x )2
(cos2x -sin2x )(cos2x +sin2x )
=cos2x -sin2x cos2x +sin2x
=1-tan2x 1+tan2x
=右边.
11.已知tan α=3求下列各式的值:
(1)4sin α-cos α3sin α+5cos α
; (2)sin 2α-2sin αcos α-cos 2α4cos 2α-3sin 2α
; (3)34sin 2α+12
cos 2α 解:(1)4sin α-cos α3sin α+5cos α
=4tan α-13tan α+5
=4×3-13×3+5=1114
(2)sin 2α-2sin αcos α-cos 2α4cos 2α-3sin 2α
=tan 2α-2tan α-14-3tan 2α
=9-6-14-27
=-223 (3)34sin 2α+12
cos 2α =34sin 2α+12cos 2αsin 2α+cos 2α
=34tan 2α+12tan 2α+1
=34×9+129+1
=2940
能力提升
12.已知A 为锐角lg(1+cos A )=m lg 11-cos A
=n 则lgsin A 的值为( ) A .m +1n
B .m -n
C 12⎝⎛⎭⎫m +1n
D 12
(m -n ) 答案:D
解析:两式相减得lg(1+cos A )-lg 11-cos A
=m -n ⇒ lg[(1+cos A )(1-cos A )]=m -n ⇒lg sin 2A =m -n
∵A 为锐角∴sin A >0∴2lgsin A =m -n
∴lgsin A =m -n 2
13.已知2sin 2α+2sin αcos α1+tan α
=k ⎝⎛⎭⎫0<α<π2试用k 表示sin α-cos α的值. 解:2sin 2α+2sin αcos α1+tan α=2sin α(sin α+cos α)1+sin αcos α
=2sin αcos α(sin α+cos α)sin α+cos α
=2sin αcos α=k 当0<α<π4
时sin α<cos α此时sin α-cos α<0 ∴sin α-cos α=-(sin α-cos α)2
=-1-2sin αcos α=-1-k
当π4≤α<π2
时sin α≥cos α此时sin α-cos α≥0 ∴sin α-cos α=(sin α-cos α)2
=1-2sin αcos α=1-k。

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