弹性力学与有限元完整版
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2. 均匀性假设
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。。
3. 各向同性假设
– 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。 • 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的
应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
1.2 弹性力学的基本假定
1. 连续性假设
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所占空间的连 续函数。
但物理方程不同。 从空间问题推得。
• ① 平面应力的物理关系
• ① 平面应力的物理关系
D
1 μ 0
[D]
E 1 μ2
μ
1
0 1 μ
0 0
2
• ② 平面应变的物理关系
z yz = zx 0
• ② 平面应变的物理关系
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待 定函数。
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
•剪应力分量 6个：
xy、 xz、 yx yz、 zx、 zy
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
正面 负面
Z面
•剪应力： xy
X面
作用面
作用方向
•符号规定： 正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
•③剪应力互等定理
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
应力 物理方程 应变 几何方程 位移
• 弹性力学分析过程中：
– 通过静力平衡、几何变形和本构关系建 立起外力、应力、应变、位移之间相互关 联。
– 再必须根据已知物理量，（一般外力、
结构几何形状和约束条件等），推导和确 定基本未知量（应力、应变、位移。
1.4 弹性力学基本方程
• 位移——刚体位移、变形
• 刚体位移——物体内部各个点仍然保持初始状态的相对
位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改 变。
• 变形——物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生
形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起 位移。
• 后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力 学研究的主要变形，通常叫位移。
压力，物体之间的接触力等。
• 集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般不用，而在有限元中经常出现）
① 体力
物体任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
• 体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连
续体。
弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至 M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为 x、y、z
的单值连续函数
u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
2 一点的应力状态
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
•正应力分量 3个：
x、 y、 z
• ④ 两种平面问题的内在关系
平面应力
平面应变
平面应力 平面应变
E
E
1
2
,
. 1
E
E(1 2) (1 )2
,
. 1
平面应变 平面应力
• ④ 两种平面问题的内在关系
平面应力
平面应变
x
y
xy
x
{} y
xy
2.3 平面问题的基本方程
1.平衡方程（应力——外力之间的关系）
2. 几何方程（应变——位移之间的关系）
3. 物理方程（应变——应力之间的关系）
•平面应力与平面应变问题的： 平衡方程、几何方程相同。
1. 平衡方程（应力——外力之间的关系）
2. 物理方程（应变——应力之间的关系）
3. 几何方程（柯西方程 ） （应变——位移之间的关系）
4、变形协调方程
5、边界条件
•如果物体表面的面力已知， •如果物体表面的位移已知，
则称为应力边界条件：
则称为位移边界条件：
第一类边界件
第二类边界条件
•混合边界条件 = 第一类+第二类
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。
x、 y、 z
•③正应变（小变形） （自学）
•符号规定：
正应变以伸长为正。
•④剪应变（自学）
•符号规定：
正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
4 位移分量
• 位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，
物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位 移。
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
– 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。
平面应变问题
• 几何特征
– 一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸 – 中心轴平直 – 沿中心轴截面不变化
• 受力特征
– 外力垂直于中心轴 – 外力沿中心轴长度方向不变化
4. 完全弹性假设
– 应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
– 在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量， 使基本方程成为线性的偏微分方程组。
5、边界条件
应力边界条件：
位移边界条件：
cos N, x l cos N, y m cos N, z n
外法线的方向余弦
空间问题
方程数量： 平衡方程——3个 物理方程——6个 几何方程——6个
合计 15
未知量：
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
D
1 μ
0
[D]
(1
E
)(1-
2
)
μ
0
1
0
0
1 2
2
• ③ 两种平面问题的区别
z向应力分量 z向位移分量
平面应变问题
z =n ( x + y )
w＝0
平面应力问题
z＝0
w≠0
正应变分量
二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式
相等
xy yx
yz zy
xz zx
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
{
}
z xy
yz
zx
3 一点应变分量
• ①微分单元体的变形：
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
• 只要是x、y坐标函数
3、平面应变问题的应力、应变
•应变分量
z yz = zx 0
x、 y、 xy
• 应力分量
z 0 yz zx 0 x、 y、 xy
第一篇 弹性力学
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
平面应力问题 • ①几何特征
– 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 – 等厚度 – 中心层平直
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化
2、 平面应力问题的应力
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也
沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。
弹性力学基本内容
外界作用
弹性体
外力 温度变化
应力 应变 位移
1.1 弹性力学绪论
• 弹性力学，又称弹性理论。
– 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部 所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构 的强度，刚度和稳定性问题作准备 。
• 弹性力学的研究对象：
–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料 力学和结构力学的研究范围更为广泛 。
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的因次：[力]/[长度]^2
③ 集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的
力可以认为是集中力。
• 集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解， 用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。
– 微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变 – 棱边之间夹角的变化；剪应变
正应变分量 3个：
x、 y、 z
剪应变分量 3个：
xy、yz、 zx
x
y
z xy
yz
zx
• ②应变的定义（自学）
设平行六面体单元，3个轴棱边：
假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随 坐标位置的变化而改变。在处理问题时，可 以取出物体的任意一个小部分讨论。。
3. 各向同性假设
– 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性 常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材 料力学研究的对象。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。 • 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的
应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体
1.2 弹性力学的基本假定
1. 连续性假设
根据这一假设，物体的所有物理量，例如位 移、应变和应力等均成为物体所占空间的连 续函数。
但物理方程不同。 从空间问题推得。
• ① 平面应力的物理关系
• ① 平面应力的物理关系
D
1 μ 0
[D]
E 1 μ2
μ
1
0 1 μ
0 0
2
• ② 平面应变的物理关系
z yz = zx 0
• ② 平面应变的物理关系
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移。 从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待 定函数。
• 研究的内容：
– 外力作用下
应力、应变、位移
• 物体变形——弹性变形、塑性变形
• 弹性变形：
– 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材 料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无 关，也与变形历史无关。
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
•剪应力分量 6个：
xy、 xz、 yx yz、 zx、 zy
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
正面 负面
Z面
•剪应力： xy
X面
作用面
作用方向
•符号规定： 正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
•③剪应力互等定理
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
应力 物理方程 应变 几何方程 位移
• 弹性力学分析过程中：
– 通过静力平衡、几何变形和本构关系建 立起外力、应力、应变、位移之间相互关 联。
– 再必须根据已知物理量，（一般外力、
结构几何形状和约束条件等），推导和确 定基本未知量（应力、应变、位移。
1.4 弹性力学基本方程
• 位移——刚体位移、变形
• 刚体位移——物体内部各个点仍然保持初始状态的相对
位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改 变。
• 变形——物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生
形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起 位移。
• 后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力 学研究的主要变形，通常叫位移。
压力，物体之间的接触力等。
• 集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般不用，而在有限元中经常出现）
① 体力
物体任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
• 体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连
续体。
弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至 M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为 x、y、z
的单值连续函数
u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）
1.3 几个基本概念
1. 外力 2. 一点的应力状态 3. 一点的形变 4. 位移分量
1 外力
• 作用于物体的外力可以分为3种类型： 体力、面力、集中力。
• 体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的
力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等 等。
• 面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
2 一点的应力状态
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
•正应力分量 3个：
x、 y、 z
• ④ 两种平面问题的内在关系
平面应力
平面应变
平面应力 平面应变
E
E
1
2
,
. 1
E
E(1 2) (1 )2
,
. 1
平面应变 平面应力
• ④ 两种平面问题的内在关系
平面应力
平面应变
x
y
xy
x
{} y
xy
2.3 平面问题的基本方程
1.平衡方程（应力——外力之间的关系）
2. 几何方程（应变——位移之间的关系）
3. 物理方程（应变——应力之间的关系）
•平面应力与平面应变问题的： 平衡方程、几何方程相同。
1. 平衡方程（应力——外力之间的关系）
2. 物理方程（应变——应力之间的关系）
3. 几何方程（柯西方程 ） （应变——位移之间的关系）
4、变形协调方程
5、边界条件
•如果物体表面的面力已知， •如果物体表面的位移已知，
则称为应力边界条件：
则称为位移边界条件：
第一类边界件
第二类边界条件
•混合边界条件 = 第一类+第二类
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。
x、 y、 z
•③正应变（小变形） （自学）
•符号规定：
正应变以伸长为正。
•④剪应变（自学）
•符号规定：
正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
4 位移分量
• 位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，
物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位 移。
应变分量——6个
x、 y、 z、 xy、yz、 zx
位移分量——3个
u、v、w
合计 15
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的概念
平面应力问题讨论的弹性 体为薄板。薄壁厚度远小于 结构另外两个方向的尺度。 薄板的中面为平面，其所受 外力，包括体力均平行于中 面O-xy面内，并沿厚度方向 z不变。而且薄板的两个表 面不受外力作用。
– 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。
平面应变问题
• 几何特征
– 一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸 – 中心轴平直 – 沿中心轴截面不变化
• 受力特征
– 外力垂直于中心轴 – 外力沿中心轴长度方向不变化
4. 完全弹性假设
– 应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
– 在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量， 使基本方程成为线性的偏微分方程组。
5、边界条件
应力边界条件：
位移边界条件：
cos N, x l cos N, y m cos N, z n
外法线的方向余弦
空间问题
方程数量： 平衡方程——3个 物理方程——6个 几何方程——6个
合计 15
未知量：
应力分量——6个
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
D
1 μ
0
[D]
(1
E
)(1-
2
)
μ
0
1
0
0
1 2
2
• ③ 两种平面问题的区别
z向应力分量 z向位移分量
平面应变问题
z =n ( x + y )
w＝0
平面应力问题
z＝0
w≠0
正应变分量
二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式
相等
xy yx
yz zy
xz zx
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
x、 y、 z、 xy、 yz、 zx
{
}
z xy
yz
zx
3 一点应变分量
• ①微分单元体的变形：
大小和方向不同。
• 体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、
Y、Z表示，称为体力分量。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为
负。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
• 体力的因次：[力]/[长度]^3
• 表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
2、平面应变问题的位移
• 沿纵向轴的位移恒等于零； • 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z
轴无关。
• 只要是x、y坐标函数
3、平面应变问题的应力、应变
•应变分量
z yz = zx 0
x、 y、 xy
• 应力分量
z 0 yz zx 0 x、 y、 xy
第一篇 弹性力学
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
• 第二章 弹性力学平面问题
2.1 平面应力问题 2.2 平面应变问题 2.3 平面问题的基本方程
• 第三章 弹性力学问题求解方法简述
• 第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程
平面应力问题 • ①几何特征
– 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 – 等厚度 – 中心层平直
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化
2、 平面应力问题的应力
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也
沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。
弹性力学基本内容
外界作用
弹性体
外力 温度变化
应力 应变 位移
1.1 弹性力学绪论
• 弹性力学，又称弹性理论。
– 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部 所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构 的强度，刚度和稳定性问题作准备 。
• 弹性力学的研究对象：
–是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料 力学和结构力学的研究范围更为广泛 。
3、平面应力问题应力、应变
• 应力分量
x、 y、 xy
• 应变分量
z 0 yz = zx 0 x、 y、 xy
x
{} y
xy
x y
xy
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的因次：[力]/[长度]^2
③ 集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的
力可以认为是集中力。
• 集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解， 用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。
– 微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变 – 棱边之间夹角的变化；剪应变
正应变分量 3个：
x、 y、 z
剪应变分量 3个：
xy、yz、 zx
x
y
z xy
yz
zx
• ②应变的定义（自学）
设平行六面体单元，3个轴棱边：