【湖北省】2017年八校联考(荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等)高考二模数学(文科)试卷(附答案)

湖北省2017年八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）
高考二模数学（文科）试卷
答 案
一、选择题 1~5．DAACC
6~10．DDCCA
11~12．AA
二、填空题 13．3 14．16 15．()
20,e -
16．24
π3
b a ⨯
三、解答题
17．解：(1)83526620a a d -==-=，∴公差4d =，∴()3346n a a n d n =+-=-... 又213642S S S =+．即()12112332b b b b b b +=+++，∴322b b =，
∴公比2q =，∴1
2n n b -=…
()2146
2232n n n c n n -=-=-，
1︒当1n =时，230n -＜，∴12T =… 2︒当2n ≥时，230n -＞，()232n n c n
=﹣， 2342123252232n n T n =++++
+-（）， ∴34
+1241232232n n T n =+++
+-（），
∴()
()()()323411121222222232222321452212
n n n n n n T n n n -+++--=+++--=+⨯
--=-+--（），
∴()1
25214n n T n +=-+，
当1n =时，满足上式，∴()1
25214n n T n +=-+；
18．（1）证明：∵2AD DC ==且AD DC ⊥，∴AC CB == 又4AB =，满足222AC BC AB +=，∴BC AC ⊥… ∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =，
∴BC ⊥平面ADC …
（2）解：取AC 中点N ，连MN DN ,．
在Rt ADC △中，DN AC ⊥且DN =ABC ⊥平面ADC ，∴DN ⊥平面ABC ，
在ABC △中，MN BC ∥且1
2
MN BC =
由（1）知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，
又∵DN ⊂平面ADC ，∴MN DN ⊥，即2DM ==…
在ABC △中，4AC BC AB ===∴2CM =，∴4DMC S ==△… 设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由A DMC D AMC V V --=得11
33
DMC MC S h S DN ⨯⨯=⨯⨯△△A ，
解得h =
设AD 与平面DMC 所成角为θ，则2sin 323
h AD θ==⨯=
∴直线AD 与平面DMC …
19．解：（1）由条形图可知22⨯列联表如下
210045*********
3.030 3.8417525455533
K ⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯
∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关．… （2）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为7531004
=． ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为3
6 4.54
⨯
=万人． (3)
a 从1，2，3，4，5，6中取，
b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种， 要使方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一组实数解，则12a b ≠，共33种情形．
故概率3311
3612
P =
=．… 20．解：（1）依题意，椭圆2
2:12
x y Γ+=中，2221a b ==,，
故()222
1,10c a b F =-=,
， 故
12
p
=，则24p =， 故抛物线C 的方程为2
4y x =，
将()02M x ,
代入24y x =，解得01x =， 故122
p
MF =+
=．…
（2）依题意，()10F ,
，设1l x ty =+：，设()()1122,A x y B x y ,,， 联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2
440y ty --=．
∴1212
+44y y t
y y =⎧⎨
=-⎩…① 且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又AF FB λ=则()()112211x y x y λ--=-,,，即12y y λ=-，代入①得()22
2144y t
y λλ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩
，… 消去2y 得21
42t λλ
=+
-，且()1,0H -，…
()()()2
2
2
2
22222211221212121122HA HB x y x y x x x x y y +=+++++=++++++，
=()()()2
2
221212121122+2ty ty ty ty y y ++++++++，
=(
)()
()222
1212148t y y t y y +++++， =()()2
2
421168448164016t
t
t t t t ++++=++．
由4285
1640164
t t ++=
，… 解得218t =或221
8t =-（舍），
故2λ=或1
2
．…
21．解：（1）当1b =时，()()2211ln 2f x ax a x a x =-++，()()
()()211ax x a a f x ax a x x
--'=-++=，…
讨论：1︒当0a ≤时，()1
0,
0,100x a ax f x x
'->>-<⇒<， 此时函数()f x 的单调递减区间为()0+∞,，无单调递增区间，…
2︒当0a ＞时，令()10f x x a
'=⇒=
或a ， ①当()1=0a a a >，此时()()()2
100x f x x x
-=≥>， 此时函数()f x 单调递增区间为()0+∞,，无单调递减区间，…
②当10a a <
<，即1a >时，此时在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,上函数()'0f x ＞，在1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上函数()'0f x ＜，此时函数()f x 单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,，单调递减区间为1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭…
③当10a a <<
，即01a ＜＜
时，此时函数()f x 单调递增区间为()0,a 和1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,； 单调递减区间为1a,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
…
（2）证明：（法一）当1a =时，()2e 1x f x x x +++＞只需证明ln e 10x x --：＞设()()e ln 10x
g x x x =--＞，
问题转化为证明()00x g x ∀＞，＞，令()1e x g x x '=-，()21
e 0x g x x
''=->， ∴()1e x g x x '=-
为()0,+∞
上的增函数，且()120,1e 102g g ⎛⎫
''=<=-> ⎪⎝⎭
… ∴存在惟一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()'0o g x =，0
01x e x =，
∴()g x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增…
∴()()0
00min 0
1
=e ln 11211x g x g x x x =--=
-≥-=， ∴()min 0g x ＞∴不等式得证 … （法二）先证：()1ln 0x x x -≥＞， 令()()1ln 0h x x x x =--＞∴()11
1=
01x h x x x x
-'=-=⇒=， ∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴()()10min h x h ==，∴()()11ln h x h x x ≥⇒≥-， ∴()1ln 11ln 1x x x x x +≤+-=⇒+≤， ∴()1ln e e x x +≤…， ∴e 11ln x x x x ≥+≥+＞， ∴e 1ln x x +＞
故e ln 10x x --＞，证毕 22．解：（1）消t
得2x y a =
+，∴直线l
的普通方程为0x a =… 由4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22
40x y x +-=…
（2）假设存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =
成立，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22
40x y x -+=中，
则2
21404a t a ⎫⎫
++-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴2240t t a a +
-+-=，
由026a ⇒-△＞＜＜…
由2
2
6236PA PB PA PA PB PB +=⇒++=①
22
4216AB PB PA PB PB PA PA =-=⇒-+=②… -①②：5PA PB =，即5PA PB =±，
∴22
124545PA PB t t a a a a ==-=⇒-=或245a a -=-（舍）
∴1a =-或5．…
23．解：（1）当0a =时，()1g x x =--，∴12x x b --≤-+， ∴1+2b x x -≤--，
∵1+2121x x x x --≥-+-=，∴1b -≤，∴1b ≥-，…
（2）当1a =时，()21,01
11,1x x g x x x x -<<⎧⎪
=⎨-+≥⎪⎩，…
可知()g x 在()01，
上单调递增，在()1,+∞单调递减， ∴()()11max g x g ==．…
2017年湖北省八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）
高考数学二模试卷（文科）解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先由补集定义求出C B U ，再由交集定义能求出()A
B U ð．
【解答】解：∵全集{}2,34567=U ,,,,，集合{}{}45746A B ==,,,,， ∴{}2357C B =U ,
,,， ∴(){}5,7A
B =U ð．
故选：D ．
2．【考点】复数的基本概念．
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简()i 2i -，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵()i 2i 12i -=+， 又复数z 与复数()i 2i - 互为共轭复数， ∴12i z =-． 故选：A ．
3．【考点】简单线性规划．
【分析】由题意画出图形，求出M N 、的面积，结合几何概型求得答案． 【解答】解：由题意画出图形如图，
直线50x y +-=与两坐标轴围成的区域为M 为三角形AOB 及其内部区域，其面积为1
255522
⨯⨯=
； 不等式组503y x
x y x
≤-⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
所形成的区域为N 为图中阴影部分，联立35y x x y =⎧⎨+=⎩，解得515,44C ⎛⎫
⎪⎝⎭，
其面积为115755248
⨯⨯
=． 由几何概型可得：点落在区域N 的概率是
75
382542
=．
故选：A ． 4．【考点】程序框图．
【分析】由算法的程序框图，计算各次循环的结果，满足条件，结束程序． 【解答】解：第一次循环，1100,232100s s a s =≤===≤,,，
第二次循环，210064s s a =≤==,,， 第三次循环，6100245s s a =≤==,,， 第四次循环，241001206s s a =≤==,,，
第五次循环，120100s =＞
，输出120s =， 故选：C ．
5．【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用抛物线的焦点坐标，准线方程及M 点坐标，即可求得p 的值，根据勾股定理即可求得t 的值，
代入渐近线方程，求得a 与b 的关系，求得双曲线的离心率公式．
【解答】解：由题意可知：抛物线()2
20y px p =＞焦点坐标02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
，准线方程2p x =-， 由M 在抛物线的准线上，则=32
p
--，则6p =，则焦点坐标为()3,0F ，
∴MF =
=
294t =，解得：32t =±，
双曲线的渐近线方程b
y x a
=±，将M 代入渐近线方程，3=32b a ⨯，
即
1
2
b a =，
则双曲线的离心率e c a ==
故选C ．
6．【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式可求AC 的值，进而利用余弦定理即可计算得解BC 的值．
【解答】解：∵π6A =
，5AB =，ABC △的面积为111sin 5222
AB AC A AC ∙∙=⨯⨯⨯，
∴解得：AC =
∴BC =
=故选：D ．
7．【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体， 结合图中数据求出组合体的体积．
【解答】解：根据三视图知：该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体， 且四棱柱的底面是等腰梯形，高为3； 所以该组合体的体积为：
()211
484323726π22V π=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-．
故选：D ．
8．【考点】函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换．
【分析】根据函数()y Asin x ω=+∅的图象变换规律得出结论．
【解答】解：将函数πsin 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位，可得函数ππsin 2sin284y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的
图象， 故选C ．
9．【考点】函数的图象．
【分析】化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 【解答】解：函数()()
()
()
()
2
23
3
ln 44ln 222x x x f x x x -+-=
=
--，可知函数的图象关于()2,0对称，排除,A B ．当0
x ＜时，()()2
3
ln 20,20x x --＞＜，函数的图象在x 轴下方，排除D ， 故选：C
10．【考点】函数零点的判定定理．
【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果．
【解答】解A ：令函数()210x
f x x =++=，可知0x ＜，即0a ＜；令()2l o
g 10g x x x =++=，则01x ＜＜
，即01b ＜＜
； 令()2log 10h x x =-=，可知2x =，即2c =．显然a b c ＜＜． 故选A ．
11．【考点】棱柱的结构特征．
【分析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F D F =，连结11EF C E C F 、、，则平面CMN ∥平面1C EF ，
由此推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段1C P 长度的取值范围． 【解答】解：取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结11EF C E C F 、、， 则平面CMN ∥平面1C EF ，
∵是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P ∥平面CMN ， ∴P ∈线段EF ，
∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ， 当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， ∵在长方体1111ABCD A B C D -中，16,38AA AB AD ===,， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，
∴111max C P C E C F EF ===
1min C P PO ==
∴线段1C P 长度的取值范围是⎤⎦．
故选：A ．
12．【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】由题意可知：()f x 为R 上的单调函数，则()2017x f x -为定值，由指数函数的性质可知()f x 为R
上的增函数，则()g x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，求导，则()'0g x ≥恒成立，则π4min k x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，根据函数的正弦函数的性质即可求得k 的取值范围．
【解答】解：若方程()'0f x =无解，
则()0f x '＞或()0f x '<恒成立，所以()f x 为R 上的单调函数，
x ∀∈R 都有()20172017x f f x ⎡⎤-=⎣⎦， 则()2017x
f x -为定值，
设()2017x t f x =-，则()2017x
f x t =+，易知()f x 为R 上的增函数，
∵()sin cos g x x x kx =--，
∴()πcos sin 4g x x x k x k ⎛
⎫'=--+- ⎪⎝
⎭，
又()g x 与()f x 的单调性相同，
∴()g x 在R 上单调递增，则当ππ,22x ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦∈，()'0g x ≥恒成立，
当ππ,22x ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦∈时，ππ3π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
， π
4x ⎛
⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 此时1k ≤-， 故选A ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的模以及三角函数的化简，以及正弦函数的性质即可求出．
【解答】解：∵()
=cos ,sin ,3,122x x n ⎛
⎫∏- ⎪⎝
⎭，
∴=cos 122x x n ⎛
⎫∏-- ⎪⎝
⎭，
∴2
2
2
π=cos sin 152sin 54sin 549222232x x x x x n ⎛⎛⎫⎫⎛⎫
∏-+-=+-=+-≤+= ⎪⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭⎝⎭
，
∴n ∏-的最大值是3，
故答案为：3
14．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心为()2,0，半径1r =，圆与x 轴交于()()1030C ,
,,，从而PC 与圆相切，且4PC =，由此利用切割线定理能求出PA PB ∙的值． 【解答】解：∵圆的方程()2
221x y -+=，
∴圆心为()20,
，半径1r =，∴圆与x 轴交于()()1030C ,,,， 过圆外一点()3,4P 作一条直线与圆交于,A B 两点， 则PC 与圆相切，且4PC =，
由切割线定理得：2416PA PB PC ∙===， 故答案为：16．
15．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于函数()f x 有两个不同的极值点，等价于方程()'0f x =有两个不同的实根，等价于直线y m =与曲线()y g x =有两个不同的交点，即可解出a 的取值范围．
【解答】解：曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，等价于 函数()f x 有两个不同的极值点，等价于方程()'0f x =有两个不同的实根．
令()'e e 0x x
f x m x --=+-=，得：1
e x
x m -=
令()1
e
x
x g x -=
，则条件等价于直线y m =与曲线()y g x =有
两个不同的交
点． ()()()
2
e 1e 2e e x x
x
x x x
g x ---'=
=
当2x =时，()'0g x =；当2x ＞时，()'0g x ＜；当2x ＜时，()'0g x ＞； 从而当2x =时有最大值()2
2e g -=，()g x 在(),2-∞上递增，在()2,+∞上递减．
当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞
时，(
)g x →+∞；如右图所示，从而()
2
0e m -∈,．
16．【考点】类比推理．
【分析】椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．
【解答】解：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积
()2V V V =-=圆柱圆锥22214
2πb πb πb 33
a a a ⎛⎫⨯⨯-⨯=⨯ ⎪⎝⎭．
故答案为：24
πb 3
a ⨯．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【分析】()1利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
()2利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：()183526620a a d -==-=，∴公差4d =，∴()3346n a a n d n =+-=- 又213642S S S =+．即()12112332b b b b b b +=+++，∴322b b =，
∴公比2q =，∴1
2n n b -=，
()21462232n n n c n n -=-∙=-∙，
1︒当1n =时，230n -＜，∴12T =， 2︒当2n ≥时，230n -＞，()232n n c n
=∙﹣， 2342123252232n n T n =+∙+∙+∙+
+-∙（），
∴34
+1241232232n n T n =+∙+∙+
+-∙（），
∴()
()341
22222232n n n T n +-=+++--∙
()()3211212222321452212
n n n n n -++-=+⨯
--∙=-+-∙-（），
∴()1
25214n n T n +=-∙+，
当1n =时，满足上式，∴()1
25214n n T n +=-∙+；
18．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】(
)Ⅰ证明BC AC ⊥，利用平面ABC ⊥平面ADC ，即可证明：BC ⊥平面ADC ； ()Ⅱ取AC 中点N ，连,MN DN ．由A DMC D AMC V V --=得点A 到平面DMC 的距离，即可求直线AD 与平面
DMC 所成角的正弦值．
【解答】(
)Ⅰ证明：∵2AD DC ==且AD DC ⊥，∴AC CB == 又4AB =，满足222AC BC AB +=，∴BC AC ⊥ ∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面ADC AC =，
∴BC ⊥平面ADC ，
()Ⅱ解：取AC 中点N ，连MN DN ,．
在Rt ADC △中，DN AC ⊥且DN =ABC ⊥平面ADC ，∴DN ⊥平面ABC ，
在ABC △中，MN BC ∥且1
2
MN BC =
由(
)Ⅰ知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，
又∵DN ⊂平面ADC ，∴MN DN ⊥，即2DM ==，
在ABC △中，4AC BC AB ===∴2CM =，∴4DMC S ==△， 设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由A DMC D AMC V V --=得11
33
DMC MC S h S DN ⨯⨯=⨯⨯△△A ，
解得h =
设AD 与平面DMC 所成角为θ，则2sin 3h AD θ===
∴直线AD 与平面DMC 所成角正弦值为
3
．
19．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．
【分析】(
)Ⅰ由条形图可知22⨯列联表，计算2k ，与临界值比较，即可得出结论； ()Ⅱ由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为
753
1004
=．可得其中优秀等级的选手人数；
()Ⅲ确定基本事件的个数，即可求出使得方程组3
22ax by x y +=⎧⎨
+=⎩
有唯一一组实数解(),x y 的概率．
【解答】解：(
)Ⅰ由条形图可知22⨯列联表如下
210045*********
3.030 3.8417525455533
K ⨯⨯⨯-⨯=
=
≈<⨯⨯⨯
∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关． ()Ⅱ由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为
7531004
=． ∴所有参赛选手中优秀等级人数约为3
6 4.54
⨯
=万人． ()Ⅲ
a 从1，2，3，4，5，6中取，
b 从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，
要使方程组322
ax by x y +=⎧⎨+=⎩有唯一组实数解，则1
2a b ≠，共33种情形．
故概率3311
3612
P =
=． 20．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的简单性质．
【分析】()1由题意方程，求得椭圆的焦点坐标，则12
p
=，即可求得p 的值，求得抛物线方程，利用抛物线的焦点弦公式即可求得MF 的值；
()2将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得2142t λλ
=+-，利用两点之间的距离公
式，列方程，即可求得实数λ的值．
【解答】解：()1依题意，椭圆2
2:12
x y Γ+=中，2221a b ==,，
故()222
1,10c a b F =-=,
， 故
12
p
=，则24p =， 故抛物线C 的方程为2
4y x =，
将()02M x ,
代入24y x =，解得01x =， 故122
p
MF =+
=． ()2依题意，()10F ,，设1l x ty =+：，设()()1122,A x y B x y ,,，
联立方程
，消去x ，得2
440y ty --=．
∴1212
+44y y t y y =⎧⎨=-⎩①
且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又AF FB λ=则()()112211x y x y λ--=-,,，即12y y λ=-，代入①得()222144
y t y λλ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩， 消去2y 得21
42t λλ
=+
-，且()1,0H -，
()()()2
2
2
2
22222211221212121122HA HB x y x y x x x x y y +=+++++=++++++，
=()()()2
2
221212121122+2ty ty ty ty y y ++++++++，
=()()
()222
1212148t y y t y y +++++， =()()2
2
421168448164016t
t
t t t t +++∙+=++．
由42851640164
t t ++=
， 解得218t =或221
8
t =-（舍），
故2λ=或
12
． 21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】(
)Ⅰ求出函数()f x 的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； ()Ⅱ法一：问题转化为证明e ln 10x x --＞，设()()e ln 10x g x x x =--＞，问题转化为证明()00x g x ∀＞,＞，
根据函数的单调性证明即可；
法二：问题转化为证明()1ln 0x x x -≥＞，令()()1ln 0h x x x x =--＞，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：(
)Ⅰ当1b =时，()()2211ln 2f x ax a x a x =-++，()()
()()211ax x a a f x ax a x x
--'=-++=，
讨论：1︒当0a ≤时，()1
0,
0,100x a ax f x x
'->>-<⇒<， 此时函数()f x 的单调递减区间为()0+∞,，无单调递增区间，
2︒当0a ＞时，令()10f x x a
'=⇒=
或a ， ①当()10x a a =>，此时()()()2
100x f x x x
-=≥>，
此时函数()f x 单调递增区间为()0+∞,，无单调递减区间，
②当10a a <
<，即1a ＞时，此时在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,上函数()'0f x ＞，在1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上函数()'0f x ＜，此时函数()f x 单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()a +∞,，单调递减区间为1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭，
③当10a a <<
，即01a ＜＜时，此时函数()f x 单调递增区间为()0,a 和1a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
,； 单调递减区间为1a,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
()Ⅱ证明：（法一）当1a =时，()2e 1x f x x x +++＞只需证明ln e 10x x --：＞设()()e ln 10x
g x x x =--＞，
问题转化为证明()00x g x ∀＞，＞，令()1e x g x x '=-，()21
e 0x g x x
''=->， ∴()1e x g x x '=-
为()0,+∞
上的增函数，且()120,1e 102g g ⎛⎫
''=<=-> ⎪⎝⎭
， ∴存在惟一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()'0o g x =，0
01x e x =， ∴()g x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，
∴()()0
00min 0
1
=e ln 11211x g x g x x x =--=
-≥-=， ∴()min 0g x ＞∴不等式得证； （法二）证明：()1ln 0x x x -≥＞， 令()()1ln 0h x x x x =--＞∴()11
1=
01x h x x x x
-'=-=⇒=，
∴()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴()()10min h x h ==，∴()()11ln h x h x x ≥⇒≥-， ∴()1ln 11ln 1x x x x x +≤+-=⇒+≤， ∴()1ln e e x x +≤，
∴e 11ln x x x x ≥+≥+＞， ∴e 1ln x x +＞
故e ln 10x x --＞，证毕
[选修44-：坐标系与参数方程选讲]
22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】(
)Ⅰ利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； ()Ⅱ利用参数的几何意义，建立方程，即可求出实数a 的值．
【解答】解：(
)Ⅰ消t
得2x y a +，∴直线l
的普通方程为0x a =， 由4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为22
40x y x +-=，
()Ⅱ假设存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =
成立，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入22
40x y x -+=中，
则2
21404a t a ⎫⎫
++-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴2240t t a a +
-+-=，
由026a ⇒-△＞＜＜，
由2
2
6236PA PB PA PA PB PB +=⇒+∙+=①
22
4216AB PB PA PB PB PA PA =-=⇒-∙+=② -①②：5PA PB ∙=，即5PA PB ∙=±，
∴22
124545PA PB t t a a a a ∙=∙=-=⇒-=或245a a -=-（舍）
∴1a =-或5．
[选修45-：不等式选讲]
23．【考点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．
【分析】(
)Ⅰ当0a =时，若()2g x x b ≤-+对任意()0,x ∈+∞恒成立，1+2b x x -≤--，求出右边的最小值，即可求实数b 的取值范围；
()Ⅱ当1a =时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，即可求()g x 的最大值．
【解答】解：(
)Ⅰ当0a =时，()1g x x =--，∴12x x b --≤-+， ∴1+2b x x -≤--，
∵1+2121x x x x --≥-+-=，∴1b -≤，∴1b ≥-，
()Ⅱ当1a =时，()21,0111,1x x g x x x x
-<<⎧⎪
=⎨-+≥⎪⎩，
可知()g x 在()01，
上单调递增，在()1,+∞单调递减， ∴()()11max g x g ==．
湖北省2017年八校联考（荆州中学、襄阳五中、襄阳四中等）
高考二模数学（文科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{}U 2,34567=,
,,,，集合{}457A =,,，{}46B =,，则()A B =U ð（ ）
A ．{}5
B ．{}2
C ．{}25,
D ．{}57,
2．复数z 与复数()i 2i -互为共轭复数（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．12i -+
D ．12i --
3．已知直线50x y +-=与两坐标轴围成的区域为M ，不等式组503y x
x y x ≤-⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所形成的区域为N ，现在区域M
中随机放置一点，则该点落在区域N 的概率是（ ）
A ．
34 B ．12 C ．14 D ．
23
4．如图所示的程序框图中，输出的S 的值是（ ）
A ．80
B ．100
C ．120
D ．140
5．已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>与抛物线()2
20y px p =＞有相同的焦点F
，且双曲线的一条渐近线
与抛物线的准线交于点()3M t -,，2
MF = ）
A B
C D
6．已知ABC △的面积为π
6
A =，5A
B =，则B
C =（ ）
A ．
B ．
C ．
D
7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．6012π-
B ．606π-
C ．7212π-
D ．726π-
8．要得到函数sin 2y x =的图象，只要将函数πsin 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象（ ）
A ．向左平移π
4单位 B ．向右平移
π
4单位 C ．向左平移π
8
单位
D ．向右平移π
8
单位
9．函数()()
()
23
ln 442x x f x x -+=
-的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数()21x
f x x =++，()2lo
g 1g x x x =++，()2log 1
h x x =-的零点依次为a b c ，，，则（ ）
A ．a b c ＜＜
B ．a c b ＜＜
C ．b c a ＜＜
D ．b a c ＜＜
11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱
1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P
长度的取值范围是（ ）
A ．⎤⎦
B ．[]45,
C ．[]3,5
D ．⎡⎣
12．已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x '，若方程()'0f x =无解，且()20172017x
f f x ⎡⎤-=⎣⎦，
当()sin cos g x x x kx =--在ππ,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
与()f x 在R 上的单调性相同时，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(]1-∞-，
B ．(
-∞
C ．⎡-⎣
D ．⎤∞⎦
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知cos ,sin 22x x ⎛
⎫∏= ⎪⎝
⎭，()
3,1n =-，x R ∈，则n ∏-的最大值是________．
14．已知圆的方程()2
221x y -+=，过圆外一点()34P ,
作一条直线与圆交于A B ,两点，那么PA PB =________．
15．已知函数()()
e x
f x x m -=+（其中e 为自然对数的底数），曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线
在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数m 的取值范围是________．
16．祖暅（公元前56～世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等
高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆()22
2210y x a b a b
+=>>所围成的平面图形
绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积
公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．在等差数列{}n a 中，36a =，826a =，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，且11b =，14S ，23S ，32S 成等差数列．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
18．如图，在三棱锥A BCD -中，2AD DC ==，AD DC ⊥，AC CB =，4AB =，平面ADC ⊥平面ABC ，
M 为AB 的中点．
（1）求证：BC ⊥平面ADC ；
（2）求直线AD 与平面DMC 所成角的正弦值．
19．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．
（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
注：()
()()()()
2
2+c n ad bc K a b c d a b d -=
+++，其中n a b c d =+++．
（2）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
（3）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a ，在选出的6名良好等级
的选手中任取一名，记其编号为b ，求使得方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩
有唯一一组实数解(),x y 的概率．
- 21 - / 21 20．已知抛物线()2
20C y px p =：＞的焦点F 与椭圆Γ：2
212
x y +=的一个焦点重合，点02M x （,）在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A B ,两点． ()Ⅰ求抛物线C 的方程以及MF 的值；
()Ⅱ记抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ=且22854HA HB +=都成立？若存在，求出实数λ的值； 若不存在，请说明理由．
21．已知函数()()()221ln 2
f x ax a b x a x a b =-++∈R ,． （1）当1b =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =-，0b =时，证明：()1e 12
x f x x x +-
-+＞（其中e 为自然对数的底数）． [选修44-：坐标系与参数方程选讲] 22．已知过点()0P a ,的直线l
的参数方程是12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于A B ,两点，试问是否存在实数a ，使得6PA PB +=且4AB =？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．
[选修45-：不等式选讲]
23．已知函数(),011,1x x f x x x
<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，()()1g x af x x =--． （1）当0a =时，若()2g x x b ≤-+对任意()0,x ∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围； （2）当1a =时，求()g x 的最大值．。