圆锥曲线定值问题

第6讲 圆锥曲线定值问题（先构造函数，再消去参数）
一、考情分析
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值
二、经验分享
1.定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 2.【知识拓展】
1.设点(),P m n 是椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>上一定点，点A,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若PA PB k k λ+=，则0λ=时直线AB 斜率为定值()220bm n an
≠，若0λ≠，则直线AB 过定点2222,n b m m n a λλ⎛⎫--- ⎪⎝
⎭； 2. 设点(),P m n 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>一定点，点A,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若PA PB k k λ+=，则0λ=时直线AB 斜率为定值()220bm n an
-≠，若0λ≠，则直线AB 过定点
2222,n b m m n a λλ⎛⎫--+ ⎪⎝
⎭； 3. 设点(),P m n 是抛物线C ：()220y px p =>一定点，点A,B 是抛物线C 上不同于P 的两点，若PA PB k k λ+=，则0λ=时直线AB 斜率为定值()0p n n
-≠，若0λ≠，则直线AB 过定点22,n p m n λλ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
； 三、题型分析
（一）与向量与距离有关的等式的定值问题
例1．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22
(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直 线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.
（Ⅰ）求曲线1C 的方程；
（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．
【变式训练1】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．
求证：||||AN BM ⋅为定值．
（二）与距离和比值有关的定值问题
例2．设圆22
2150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点， 过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．
【变式训练1】已知点P 是直线:2l y x =+与椭圆()22211x y a a +=>的一个公共点， 12,F F 分别为该椭圆的左右焦点，设12PF PF +取得最小值时椭圆为C ．
（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；
（2）已知,A B 为椭圆C 上关于y 轴对称的两点， Q 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线,QA QB 分别与y 轴交于点()()0,,0,M m N n ，试判断mn 是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．
（三）与平面图形有关面积的定值问题
例3.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图,点()2,0A -,()2,0B 分别为椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点,,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点,直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ,且1214
k k =-
,//AP OM ,//BP ON . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）判断OMN ∆的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由. 【变式训练1】．已知椭圆系方程n C ： 22
22x y n a b
+= (0a b >>， *n N ∈)， 12,F F 是椭圆6C 的焦点， ()
63A ，是椭圆6C 上一点，且2120AF F F ⋅=. （1）求6C 的方程；
（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交
于M ， N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ，求证： QMN ∆的面积为
定值，并求出这个定值．
【变式训练2】.如图,设点,A B 的坐标分别为()()3,0,
3,0-,直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23
-． （1）求点P 的轨迹方程；
（2）设点P 的轨迹为C ,点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满
足//,//AP OM BP ON ,求证：MON ∆的面积为定值．
（四）与斜率有关的定值问题
例4．椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12,F F
，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直 线被椭圆C 截得的线段长为l ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线 12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明
1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 【变式训练1】已知抛物线()2:20C y px p >＝的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的
交点为Q ，且2QF PQ ＝.
（1）求p 的值；
（2）已知点(),2T t -为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为8
3
-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标． 四、迁移应用
1．已知曲线C ：y =2
2
x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E (0，52
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．
（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
3．设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4 （1）求椭圆的方程；
（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．
4.已知椭圆：2
2142x y ，直线y t 与该椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆上异于A ，B 的点.
（1）若2
M -，且以AB 为直径圆过M 点，求该圆的标准方程； （2）直线MA ，MB 分别与y 轴交于C ，D 两点，OC OD 是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.
5.已知椭圆E ：22
221x y a b
+= (0)a b >>的离心率2e =，若椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上
一动点P 和1F ，2F 组成
12PF F （1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线l y kx m =+：和椭圆相交于不同的两点A ，B ，且原点O 与A ,B 连线的斜率之和满足：OA OB k k +=2，求直线l 的斜率k 的取值范围.
6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以AO 为直径作圆Ω，当直线OA 的斜率为1时，.24||=OA
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过焦点F 作OA 的垂线l 与圆Ω的一个交点为M ，l 交抛物线与Q
P ,（点M 在Q P ,之间），记OAM ∆的面积为S ，求||2
32PQ S +
的最小值。