山东省济宁市高三数学第一次模拟(3月)试题 文

2017年济宁市高考模拟考试
数学（文）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合()U N M =I ð A ．{}2
B ．{}1,3
C ．{}2,5
D ．{}4,5
2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.设a R ∈，“1，a ，16为等比数列”是“4a =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4.平面向量a 与b 的夹角为23
π
，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b += A ．1
B ．2
C ．23
D ．4
5.要得到函数sin(2)3
y x π
=+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象
A ．向左平移
12π
个单位 B ．向左平移
6π
个单位 C ．向右平移12π
个单位
D ．向右平移6
π
个单位
6.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2x
f x m =+（m 为常数），则(1)f -= A ．3
B ．1
C ．1-
D ．3-
7.在区间[]0,π上随机地取一个数x ，则事件“1tan 3x -≤≤”发生的概率为 A ．
712
B ．
23
C ．
13
D ．
14
8.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为 A ．2- B ．
12
C ．
43
D ．3
9.已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的
左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2(0)c c >，抛物线2
2y cx =的准线交双曲线左支于A ，B 两点，且120AOB ∠=︒（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A ．31+
B ．2
C ．21+
D ．51+
10.定义在1,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的函数()f x ，满足1()()f x f x =，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =，
若函数()()g x f x ax =-在1,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln ,0ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．[]ln ,0ππ-
C ．1ln ,e ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
D ．1,2e π⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
第Ⅱ卷（共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共3页，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11.已知0i a >（1i =，2,3，…，n ），观察下列不等式：
12
122
a a a a +≥； 1233
1233
a a a a a a ++≥；
12344
12344
a a a a a a a a +++≥；
……
照此规律，当*n N ∈（2n ≥）时，
12n
a a a n
+++≥… ▲ ．
12.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为 ▲ ．
13.若x ，y 满足约束条件210,
270,1,
x y x y x --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则1y x +的取值范围
为 ▲ ．
14.已知圆1C ：2
2
4x y +=和圆2C ：2
2
(2)(2)4x y -+-=，若点(,)P a b （0a >，
0b >）在两圆的公共弦上，则19
a b
+的最小值为 ▲ ．
15.若函数(1)2,2,
()log ,2a
a x a x f x x x --<⎧=⎨
≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是▲ ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.某中学
组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
（I ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． 17.设1()(3sin
cos )sin()22222
x x x f x π=++-． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知1
()32
f A π
+
=-，3a =，求ABC ∆面积的最大值．
18.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且平面PAC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA PC =，
22AB BC ==，60ABC ∠=︒．
（Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ； （Ⅱ）求证：平面PBC ⊥平面PAC ．
19.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且2
2n n n S a a =+，等比数列{}n b 的公比1q >，
12b =，且1b ，3b ，210b +成等差数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设1
21
(1)
n
n n n n n n c a b a a ++=⋅+-⋅，记21232n n T c c c c =++++…，求2n T ．
20.已知函数2
1()()()2
x
f x xe a x x a R =-+∈．
（Ⅰ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若(2,0)x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性．
21.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率是2，且直
线1l ：
1x y
a b
+=被椭圆C （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线1l 与圆D ：2
2
640x y x y m +--+=相切： （i ）求圆D 的标准方程；
（ii ）若直线2l 过定点(3,0)，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同的两点M 、N ，求||||EF MN ⋅的取值范围．
2017年济宁市高考模拟考试数学（文）试题答案
一、选择题
1-5:DABBC 6-10:CADAB 二、填空题 11.12n n a a a …
12.43π
13.15,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14.8
15.2
[
,1)2
三、解答题
16.解：（Ⅰ）由题可得，男生优秀人数为100(0.010.02)1030⨯+⨯=人， 女生优秀人数为100(0.0150.03)1045⨯+⨯=人．
（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是51
304515
=+，
所以样本中包含男生人数为130215⨯=人，女生人数为1
45315
⨯=人．
设两名男生为1A ，2A ，三名女生为1B ，2B ，3B ．
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：{}12,A A ，{}11,A B ，
{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C ：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件C 包含的基本事件有：{}12,A A ，
{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个．
所以7()10P C =
，即选取的2人中至少有一名男生的概率为7
10
． 17.解：（Ⅰ）1()(3cos )cos 2222x x x f x =+-213cos cos 2222
x x x =+-
1cos 22x x =
+sin()6
x π=+． ∵ 22262k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，k Z ∈，
∴22233
k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，
∴()f x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈．
（Ⅱ）由1()32f A π
+
=-，得1
sin()cos 22
A A π+==-，sin 2A =， 由余弦定理，2
2
2
2cos a b c bc A =+-， 得2
2
323b c bc bc bc bc =++≥+=，1bc ≤， 当且仅当1b c ==时，等号成立，
∴1sin 2ABC S bc A ∆=
≤ABC ∆． 18.（Ⅰ）连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ， ∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴//OE PB ， 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴//PB 平面ACE ．
（Ⅱ）∵PA PC =，O 为AC 中点，∴PO AC ⊥， 又平面PAC ⊥平面ABCD ，
平面PAC I 平面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ， ∴PO ⊥平面ABCD ， 又BC ⊂平面ABCD ， ∴PO BC ⊥．
在ABC ∆中，22AB BC ==，60ABC ∠=︒，
∴222cos AC AB BC AB BC ABC =
+-⋅⋅∠221
2122132
=+-⨯⨯⨯
=， ∴2
2
2
AC AB BC =+，∴BC AC ⊥．
又PO ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PO AC O =I ，∴BC ⊥平面PAC ， 又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．
19.解：（Ⅰ）当2n ≥时，由题意得
2211122n n n n n n S S a a a a ----=-+-，22112n n n n n a a a a a --=-+-， 2211()0n n n n a a a a ----+=，11()(1)0n n n n a a a a --+--=，
∵10n n a a -+>，∴11n n a a --=，
又当1n =时，2
1112a a a =+，∵0n a >，∴11a =，
∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，∴1(1)1n a n n =+-⨯=．
由12b =，3122(10)b b b =++，得2
260q q --=，解得2q =或3
2
q =-（舍）， ∴112n n
n b b q -==．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得2111
2(1)2(1)()(1)1
n n
n n n n c n n n n n n +=⋅+-=⋅+-+++，
∴
2221111111(122222)(1)()()()22334221n n T n n n ⎡
⎤=⨯+⨯++⨯+-+++-++++⎢⎥
+⎣⎦
……，
记222122222n
n W n =⨯+⨯++⨯…， 则2321
22122222n n W n +=⨯+⨯++⨯…，
∴2221
2222
22
n
n n W n +-=+++-⨯…2212(12)
2212
n n n +-=-⨯-21(12)22n n +=-⨯-，
∴21
2(21)2
2n n W n +=-⨯+， ∴212211(1)(21)212121
n n n T W n n n +=+-+
=-⋅++++． 20.解：（Ⅰ）当0a =时，'()(1)x
f x x e =+，∴切线的斜率'(1)2k f e ==， 又(1)f e =，()y f x =在点(1,)e 处的切线方程为2(1)y e e x -=-， 即20ex y e --=．
（Ⅱ）∵对(2,0)x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，∴22x
e a x ≤+在(2,0)-恒成立，
令2()2
x
e g x x =+（20x -<<），22
2(2)22(1)'()(2)(2)x x x e x e e x g x x x +-+==++， 当21x -<<-时，'()0g x <，当10x -<<时，'()0g x >， ∴()g x 在(2,1)--上单调递减，在(1,0)-上单调递增，
∴1min
22()(1)12e g x g e -=-==-+，故实数a 的取值范围为2
(,]e
-∞．
（Ⅲ）'()(1)()x
f x x e a =+-． 令'()0f x =，得1x =-或ln x a =，
①当1a e =时，'()0f x ≥恒成立，∴()f x 在R 上单调递增； ②当10a e <<时，ln 1a <-， 由'()0f x >，得ln x a <或1x >-；由'()0f x <，得ln 1a x <<-． ∴()f x 单调递增区间为(,ln )a -∞，(1,)-+∞；单调减区间为(ln ,1)a -． ③当1a e
>时，ln 1a >-， 由'()0f x >，得1x <-或ln x a >；由'()0f x <，得1ln x a -<<． ∴()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(ln ,)a +∞，单调减区间为(1,ln )a -． 综上所述：当1a e =
时，()f x 在R 上单调递增； 当10a e <<
时，()f x 单调增区间为(,ln )a -∞，(1,)-+∞，单调减区间为(ln ,1)a -； 当1a e
>时，()f x 单调增区间为(,1)-∞-，(ln ,)a +∞，单调减区间为(1,ln )a -． 21.解：（Ⅰ）由已知得直线1l 过定点(,0)a ，(0,)b ，225a b +=，
又3c a =，222a b c =+，解得24a =，21b =， 故所求椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=． （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得直线1l 的方程为
12x y +=，即220x y +-=， 又圆D 的标准方程为22(3)(2)13x y m -+-=-，
∴圆心为(3,2)，圆的半径22512
r ==+， ∴圆D 的标准方程为2
2(3)(2)5x y -+-=．
（ii ）由题可得直线2l 的斜率存在，
设2l ：(3)y k x =-，与椭圆C 的两个交点为11(,)E x y 、22(,)F x y ， 由22
(3),
1,4y k x x y =+⎧
⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(14)243640k x k x k +-+-=， 由0∆>，得21
05k ≤<，
21222414k x x k +=+，212236414k x x k -=+， ∴
221212||1()4EF k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦2
2222224364(1)()41414k k k k k ⎡⎤
-=+-⨯⎢⎥++⎣⎦
2222(1)(15)
4(14)k k k +-=+
又圆D 的圆心(3,2)到直线2l ：30kx y k --=的距离2211
d k k ==++ ∴圆D 截直线2l 所得弦长222251
||221k MN r d k +=-=+，
∴2224
22222(1)(15)
51125||||428(14)1(14)k k k k EF MN k k k +-+-⋅==+++ 设2914[1,)5t k =+∈，21
4t k -=， 则2
221
125()11
4||||829()50()25t EF MN t t t --⋅==-+-，
∵295025y x x =-+-的对称轴为25
9x =，在5
(,1]9上单调递增，016y <≤，
∴211
09()50()2516t t <-+-≤，
∴0||||8EF MN <⋅≤．。