广东广州2019高三一模调研交流试题-数学(理)

广东广州2019高三一模调研交流试题-数学（理）
本试卷共4页，21题，总分值150分，测试用时120分钟、
参考公式：锥体的体积公式
Sh
V 3
1=，其中S 是锥体的底面积，办是锥体的高、 假如事件A 、B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P(A)+P(B)、
【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、
1、假设全集U=R ，集合A={x|l<x ≤3}，B={x|2≤x ≤4}，C={x|3<x ≤4}，那么 A 、A=(C u B)∩C B. B=(C u A)∩C C. C=(C u A)∩B D. C=A ∩B
2、复数
i
i z +-=
22〔i 是虚数单位〕的虚部是 A 、i
5
4 B 、i 5
4- C 、54 D 、5
4-
3、函数
)
0(11log )(2=/-+=x x
x
x f 的图象在 A. 【一】三象限 B 、【二】四象限 C. 【一】二象限 D. 【三】四象限
4、己知{a n }〔n ∈N*〕为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，那么{a n }的首项a 1=
A 、14
B 、16
C 、18
D 、20 是
命题q 的
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件 C 、充要条件D.既不充分与不必要条件
6、如图1，正方体ABCD-A'B'C'D'中，M 、E 是AB 的 三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、 MN 的中点，那么四棱锥A'-EFGH 的侧视图为
7、将一颗质地均匀的骰子〔它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具〕先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，向量),1,1(),2,2(=--=b n m a 那么和共线的概率为
A 、181
B 、121
C 、91
D 、12
5
8、定义A*B 、B*C 、C*D 、D*A 的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、 (4)，那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是
A.B*D 、A*D
B.B*D 、A*C
C.B*C 、A*D
D.C*D 、A*D
【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、 〔一〕必做题(9～13题)
9、
dx
x e x ⎰
-+1
1
)2(＝、
10、
),
2
3,21(),1,3(21=-=e e 假设,,)3(2122e t e k b e t e a ⋅+⋅-=⋅-+=假设b a ⊥，
那么实数k 和t 满足的一个关系式是，t
t k 2+的最小值为____、
、 11、在△ABC 中，假设A=75°，B=45°，AB=6，
那么AC=
12.点A(-l ，1)和圆C:,4)7()5(22=-+-y x 从点A 发出的一束光线通过x 轴反射
到圆周C 的最短路程是__、
13.如图2所示的程序框图，其输出结果为.
〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕 14、〔几何证明选讲选做题〕如图3，圆O 是△ABC 的 外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，
72=CD ，AB=BC=3，那么AC=、
15、〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系下，点
)
3
2,3(),3,1(ππB A ，O 是
极点，那么△AOB 的面积等于
【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16、〔本小题总分值12分〕 己知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2cos 2cos sin 2)(〔其中b>0，ω>0〕的最大值为2，直线
x=x 1、x=x 2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x l -x 2|的最小值为2
π
(1)求b ，ω的值；
(2)假设
32)(=a f ，求)
46
5sin(a -π
的值、 17、〔本小题总分值14分〕
为了解今年某校高三毕业班预备报考飞行员学生的体重〔单位：千克〕情况， 将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图〔如图4〕，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。

(1)求该校报考飞行员的总人数；
(2)以这所学校的样本数据来可能全省的总体
数据，假设从全省报考飞行员的同学中任选三人，
设X 表示体重超过60千克的学生人数，求X 的 分布列和数学期望。

18、〔本小题总分值14分〕、 如图5，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AA 1=2AB=2，E 是DD 1上的一点、 (1)求证：AC ⊥B 1D;
(2)假设B 1D ⊥平面ACE ，求三棱锥A-CDE 的体积； (3)在(2)的条件下，求二面角D-AE-C 的平面角的 余弦值、
19、〔本小题总分值12分〕
设双曲线C1的渐近线为x y 3±=，焦点在x 轴上且实轴长为1、假设曲线C 2
上
的点到双曲线C 1的两个焦点的距离之和等于22，同时曲线C 3：py x 22=(p>0
是常数〕的焦点F 在曲线C 2上。

(1)求满足条件的曲线C 2和曲线C 3的方程；
(2)过点F 的直线l 交曲线C 3于点A 、B 〔A 在y 轴左侧〕，假设B
F AF 3
1=，
求
直线l 的倾斜角。

20、〔本小题总分值14分〕
a 2、a 5是方程027122=+-x x 的两根，数列{a n }是递增的等差数列，数列
{b n }的前n 项和为S n ，且
*)
(2
1
1N n b S n n ∈-= (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)记C n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 、
21〔本小题总分值14分〕(注：此题第(2)(3)两问只需要解答一问，两问都答只计第(2)问得分〕
函数f(x)=ax+xln|x+b|是奇函数，且图像在点(e ，f(g))处的切线斜率 为3〔为自然对数的底数〕、 (1)求实数a 、b 的值；
(2)假设k ∈Z ，且
1
)(-<
x x f k 对任意x>l 恒成立，求k 的最大值； (3)当m>n>l 〔m ，n ∈Z 〕时，证明：m n n m mn nm )()(>
理科数学参考答案
【一】选择题CDADACBB
【二】填空题9、e-e -1lO.t(t 2
-3)-2k=0〔3分〕，-2〔2分〕11、62
12.813、7
614.27315、4
33
【三】解答题〔以下解答供参考，等价或有效解答都要相应给分〕
16、解：(1)
)
2sin(12cos 2sin )(2ϕωωω++=+=x b x b x x f ……2分，
π
π=⨯=2
2T ……3分， ω
πωπ=
=22T ，因此ω=1……4分， 解2
12=+b 得3±=b ……5分，因为b>0，因此3=b ……6分
(2)
)
3
2sin(2)(π+=x x f ……7分，由
32)(=a f 得3
1)32sin(=
+πα……8分，
)32(2cos )]32(223sin[)465sin(παπαπαπ+-=+-=-〔或设32παβ+=，那么3
2πβα-
=
βπαπ223465-=-，从而)2cos )465sin(βαπ-=-……10分 1
)3
2(sin 22
-+=πα…11分， 9
7-=……12分、 17、解：(1)设报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为p l 、p 2、p 3，那么
⎪⎩⎪
⎨⎧=⨯++++==15)0125.00375.0(323
211
312p p p p p p p ……3分，解得
⎪⎩⎪
⎨⎧===375.025.0125.03
21p p p ……4分
因为
n
p 1225.02=
=……3分，因此n=48……6分
1、由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为
8
55)0125.00375.0(3=⨯++=p p ……8分，因此)
85,3(~X ……9分
因此
3
,2,1,0,)8
3()85()(33
===-k C k X p k
k k ……11分 随机变量X 的分布列为：
……13分
那么
)
8
15853:(815512125351222525121351512270=⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=EX EX 或…14分
18、证明与求解：〔方法一〕(1)连接AC ，那么AC ⊥BD ……1分， 因为BB 1⊥面ABCD ，因此，BB 1⊥AC ……2分，
因为BB l ∩BD=B ，因此AC ⊥平面BB 1D ……3分，因此AC ⊥B 1D ……4分。

(2)连接A 1D ，与(1)类似可知A 1D ⊥AE ……6分， 从而21,1=
=DE AA AD AD DE
……7分，因此
12
112112131=⨯⨯⨯⨯=-CDE A V ……8分 (3)设A 1D ∩AE=F ，AC ∩BD=O ，B 1D ∩OE=G ，连接FG ，
那么AE ⊥FG ……9分，∠DFG 是二面角D-AE-C 的平面角……10分， 由等面积关系知
3
2=
⨯=OE
DE
DO DG ……11分， 5
2=⨯=AE DE DA DF ……l2分，由(2)知65sin ,2=
=∠=∠DF DG DFG DGF π……13分， 6
6cos =
∠DFG ……14分。

〔方法二〕以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系……1分。

(1)依题意，D(O ，O ，O)，A(l ，O ，0)，C(O ，l ，O)，B1(l ，l ，2)……3分， 因此
)
2,1,1(),0,1,1(1=-=DB AC ……4分，
因此
D
B A
C AC L DB DB 111,,0.⊥-=…5分。

(2)设E 〔O ，0，a 〕，那么
),0,1(a AE -=……6分，因为B 1D ⊥平面ACE ，
⊂AE 平面ACE ，因此B 1D ⊥AE ……7分，因此01=⋅AE DB ，因此-1+2a=0，
21=a ……8分，因此12
112112131=
⨯⨯⨯⨯=-CDE A V ……9分 (3)平面ADE 的一个法向量为
)
0,1,0(1==n ……10分，平面ACE 的一个法向量为
)
2,1,1(1=DB ……12分，由图知，二面角D-AE-C 的平面角的余弦值为
6661|
|.||cos 111
1=
==DB n θ……14分。

19、解：(1)双曲线C l 满足：
⎪⎩⎪⎨⎧==.
12,3111
a a
b ……1分，解得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
⋅==2
3,211
1b a ……2分
那么
1
21211=+=b a C ，因此曲线C 1的焦点F 1(-1，O)、F 2(1，0)……3分，
曲线C 2是以F 1、F 2为焦点的椭圆，设其方程为)0(12222
2
222>>=+b a b y a x ……4分， 解
⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,
2222
22
22b a a 得
⎩⎨
⎧==.
1,
222b a ，即
1
2
:2
22=+y x C ……5分， 依题意，曲线)0(2:23
>=p py x C 的焦点为F(O ，1)……6分，
因此1
2
=p
，因此p=2，曲线
y x C 4:23=……7分
(2)由条件可设直线，的方程为y=kx+l(k>0)……8分，
由
⎩⎨
⎧+==.
1,42kx y y x 得,0)1(16,0442
2>+=∆=--k kx x 由求根公式得：1
22,1222221++=+-=k k x k k x ……9分，
由
FB F A
3
1= 得2
13x x =-……10分，因此122)122(322++=+--k k k k ，解得
312
=
k ……11分，由图知k>0，33=k ，直线l 的倾斜角为6
π (2)
20、解：(1)解x 2
-12x+27=0得x 1=3,x 2=9， 因为{a n }是递增，因此a 2=3，a 5=9……2分， 解
⎩⎨
⎧=+==+=39412
15d a a d a a ……3分，得⎩⎨⎧==21
1d a ，因此a n =2n -1……4分
在
n n b T 211-=中，令n=l 得3
2,211111=
-=b b b ……5分， 当n>2时，
,211,21111---=-=n n n n b T b T 两式相减得n
n n b b b 2
1211-=-……6分 ,
311=-n n b b {b n }是等比数列……7分，因此
n n n b b 3
2)31(11=⨯=-……8分 (2)
n
n n n n b a c 324-=
⋅=……9分 n
n n n n T 32432)1(43234322432141321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=- ……10分 1
22103
2432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n T ……11分
两式相减得：
n
n n n T 3
2434343422121--++++=- ……13分
n n 3444+-=，因此n
n n T 3
222+-=……14分
21解：(1)f(x)是奇函数，因此f(-x)=-f(x)，即
a(-x)+(-x)ln|-x+b|=-(ax+xln|x+b|)……2分，因此ln|-x+b|=ln|x+b|，从而 b=0……3分，如今f(x)=ax+xln|x|，f'(x)=a+l+ln|x|……4分， 依题意f'(e)=a+2=3，因此a=1……5分
(2)当x>l 时，设
1
ln 1)()(-+=
-=x x x x x x f x g ，那么2/)1(ln 2)(---=x x x x g …6分
设h(x)=x-2-lnx,那么
1
1)(/
>-=x
x h ，h(x)在(1，+∞)上是增函数……8分
因为h(3)=l-ln3<0,h(4)=2-ln4>0，因此∃x o ∈(3,4)，使h(x o )=0……10分， x ∈(1,x o )时，h(x)<O ，g'(x)<0，即g(x)在(1，x o )上为减函数；同理g(x)在(x o ，+∞
0)上为增函数……12分，
从而g(x)的最小值为
00
0001
ln )(x x x x x x g =-+=……13分 因此k<x o ∈(3，4)，k 的最大值为3……14分。

(3)要证m n n m mn nm )()(>，即要证nlnn+mnlnm>mlnm+mnlnn …………6分， 即n(1-m)lnn>m(l-n)lnm ，1
min 1ln -<
-m m n n
n ……8分， 设
1ln )(-=x x x x ϕ，x>1……9分，那么2
/)1(ln 1)(---=
x x x x ϕ……10分
设g(x)=x-l-lnx,那么
1
1)(/
>-=x
x g ……11分，g(x)在(1，+∞0)上为增函数……12分，
1>∀x ，g(x)>g(l)=l-l-lnl=0，从而ϕ'(x)>O ，ϕ(x)在(1，+∞o )上为增函数……l3
分，
因为m>n>l ，因此ϕ〔n 〕<ϕ〔m 〕，1
ln m 1ln -<
-m m n n n ，因此m n n m mn nm )()(>……14分。