第六章-图的矩阵表示

e4 e2
v2 e3 v3
v5
v4
v1 M (G) v2
v3 v4 v5
e1 e2
1 1
1
0
0 1
0
0
0 0
e3 e4
0 1
1
0
1 0
0
1
0 0
实例1
例1 求下图的完全关联矩阵。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 1 1 v2 1 1 1 0 0 0 v3 0 0 1 1 0 1 v4 0 0 0 1 1 0 v5 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0
0
1
0
1
1
0
4
0 0 0 0 0 1 1
0
0
0
0
0
1
1
() ()
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
6
0
0
1
1
1
0
0
0 0 0 1 0 0 1
0
0
0
1
0
0
1
(4) (5)
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
0
0
1
1
1
0
0 1
0 0
0 1
→
0 0
1 1
0 1
1 0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
v2 e2
v3
e1
e5
e3
e2 e5
v3 e3
v1
e4
v4
V1,v2 e4
v4
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1
1
0
0
0
→
1
1
0
0
0
→
0
1
0
1
1
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1
第六章 图的矩阵表示
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
图的矩阵表示
用图形表示图是图论的一种表示方法。它的优点是形象直观， 但是这种表示在结点与边的数目很多时是不方便的。
在学习中常常需要分析图并在图上执行各种过程和算法， 也许必须用计算机来执行这些算法，因此必须把图的结点和 边传输给计算机，由于集合与图形都不适合计算机处理，所 以要找到一种新的表示图的方法，这就是图的矩阵表示。利 用这种方法，我们能把图用矩阵存储在计算机中，利用矩阵 的运算还可以了解到它的一些有关性质。
0 1
M''(G)
0
0 0
M
(p-1) (G)
0
0
1
M'(G2 )
0 0 0 0
1 00
0
继续上述过程，并不改变矩阵秩，最终在经过p-1 次，将M(G)变换成M(p-1)(G)，如上图所示,显 然rank M(G)=rank M(p-1)(G) ≥p-1。综上所 述，有rank M(G)=p-1。
v v
3 4
0 0
0 0
0 1
1 1
1 1
01
例 求下图的完全关联矩阵
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 1 0 0 0 1 1 1 v2 -1 1 0 0 0 0 0 v3 0 -1 1 0 0 -1 0 v4 0 0 -1 1 0 0 -1 v5 0 0 0 -1 -1 0 0
有向图的完全关联矩阵的性质
1 1
1 0
1 0
0
0
0 0 0 0 0 1 1
1
0
1
0
1
0
1
1 1 0 0 0 0 0
(1) (5)
0
0
0 1
0 1
1 1
1 0
1 0
0 0
(2)
0 0 0 0 0 1 1
0
1
1
0
1
0
1
1 1 0 0 0 0 0
(3)
0
0
1 0
1 0
1 1
0 1
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1 1
(2) 应用行变换使得M(G)第1列（边e）中的1个非 零元在第1行第1列的位置，然后把第1行加到第 1列另一个非零元所在行上，使得第1列中只有 在首行上为1，其余全为0，得到矩阵M’(G)。
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1
0
1 1
0 1
0 0
0 1
→
1 0
1 1
例 计算完全关联矩阵M(G)的秩。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 0 0 0 0 0 1 1 v2 0 0 0 1 1 1 0 v3 0 1 1 1 0 0 0 (4) v4 1 1 0 0 0 0 0
v5 1 0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 0 0 0
(1)
0
0
0 1
0 1
一般地说，我们把一个n阶方阵A的某些 列作一置换，再把相应的行作同样的置换，得 到一个新的n阶方阵A’，我们称A和A’为置换 等价。按不同次序所写出来的邻接矩阵是彼此 置换等价的，今后我们略去这种元素次序的任 意性，可取任何一个邻接矩阵作为该图的矩阵 表示。
课堂练习1
1、写出下图所示无向图的完全关联矩阵
一个可逆的大子阵
e1 e2 e3
v2 1 1 0
v3
0
1
1
v4 0 0 1
6.5 图的邻接矩阵
邻接矩阵
定义 设G=<V,E>是一个无向简单图，它有 p个顶点V={v1, v2, …, vp}, 则p阶方阵 A(G)=(aij)称为G的邻接矩阵，其中
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1
1
0
0
0
→
0
1
0
1
1
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
0 0
1 0
0 1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
1 1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0 1
v2 1 1 0
v3
0
1
1
v4 0 0 1
v2 e2
e1
e5
v1
e4
生成树的边数为顶点数4-1=3，因此 若对应的边是一棵生成树（连通图的 秩为顶点数减1）其秩必为3（树中有 4个顶点3条边且是连通图，）
v3 e3
v4
关联矩阵(v1为参考点)
1 1 0 0 0
→
0
1
1
0
1
0 0 1 1 0
)
M(G2 )
M(Gω )
v1 e5
v4
e1
e2 e6
e4 v5
v2 e3
v3
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 1 1 0 0 1 1
M
(G
)
v2
1
1
1
0
0
0
v3 0 0 1 1 0 1
v4
0
0
0
1
1
0
v5 0 0 0 0 0 0
•一个图的完全关联矩阵是不是唯一的? •完全关联矩阵是不是唯一的确定一个图? •用完全关联矩阵来表示图有什么好处? •图的哪些性质可以从完全关联矩阵上一目了然? •矩阵的运算是否会有相应的图的变化? •反过来,图的哪些变化对应着完全关联矩阵的哪些变 化?
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1
1
0
0
0
→
1
1
0
0
0
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
定理：连通图G的关联矩阵M的一个大 子阵是非奇异的充要条件是与这个大子 阵的列相应的边，组成G的一颗生成树.
完全关联矩阵
1 0 0 1 1
1
1
0
0
0
0 1 1 0 1
0
0
1
1
0
关联矩阵(v1为参考点)
1 1 0 0 0
→
0
1
1
0
1
0 0 1 1 0
一个可逆的大子阵
e1 e2 e3
1 1 0
0
1
1
0 0 1
v2 e2
e1
e5
v1
e4
v3 e3
v4
关联矩阵(v1为参考点)
1 1 0 0 0
→
0
1
1
0
1
0 0 1 1 0
一个可逆的大子阵
e1 e2 e3
v e 2 2 0 1 0 0 0
1
0
1
0
0
A 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
e1
e5 0 0 0 1 0
v3
1 0 1 0 0
0 2 0 0 0
A2 1 0 1 0 0
0
0
0
1
0
0 0 0 0 1
e3
v1
e4
v4
有向图的关联矩阵
定义 给定简单有向图D=<V,E>， V={v1, v2, …, vp}, E={e1,
v1 1
1 1
M
(G)
v2
1
1
v3
11
1
v4
11
完全关联矩阵的秩
定理 如果连通图G有p个顶点，则其完全关联矩 阵的秩为p-1，即rank M(G)=p-1。
证明 对无向图进行证明
(1) 因为M(G)中的每一列只有两个1，若把M(G) 的其余所有行加到最后一行上，则最后一行全 为0（模2的运算，相当于各点邻集的环合）， 故rank M(G) ≤p-1。
无向图的完全关联矩阵有下列性质： （1）M(G)中每列恰有两个1，即每条边与两个顶点关联； （2）每一行元素之和等于对应顶点的度数； （3）M(G)中元素之和等于G中顶点的度数总和； （4）多重边对应的列相同； （5）若G有w个连通分支G1, G2,⋯,Gw, 则有准分块对角阵
M(G1)
M (G
e2, …, eq}, p×q阶矩阵M(D)=(mij) p×q，其中
mij
1 - 1
若v
i是e
的起
j
点
若v
i是e
的终点
j
0 若vi不关联e j
称M(G)为D的完全关联矩阵。
v1
e6
v3
e1
e2 e3 e5
e4
v2
v4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 1 1 1 0 0 1
v2 1 1 0 0 0 0
本章的教学内容
➢6.1 关联矩阵 ➢6.2 圈矩阵 ➢6.3 割集矩阵 ➢6.5 图的邻接矩阵
图的矩阵表示 计算机科学领域有许多算法涉及图。计算机 存储图的一种最简单有效的方法就是矩阵。矩阵 是由数字组成的矩阵表格，一般用大写字母表示。 （元素、行、列）。图论有效地利用了矩阵，将 其作为表达图及其性质的有效工具和手段。
0
1
1
0
1
0
1
1 1 0 0 0 0 0
(2) (5)
0 1 1 1
0
0
0
1
00 11
0 0
3
0 0 0 0 0 1 1
0
0
0
1
1
0
1
() ()
1 1 0 0 0 0 0
4
0
0
1 0
1 1
1 0
0 1
0 1
0 0
0 0 0 0 0 1 1
0
0
1
0
1
0
1
(3) (5)
1 1 0 0 0 0 0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
M
'(G)
0 0
M'(G1 )
1 0 0 1 1 1 0 0 1 1
1
1
0
0
0
→
0
1
0
1
1
0 1 1 0 1 0 1 1 0 1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
由于G1是将M(G)的第1行与另一个首个元素为1的行加起 来，对应的是将图的两个顶点放在一起，因此G1必是 连通图，所以M’(G1)中没有全零行。若M’(G1)的第1列 全零，则将M’(G1)中的非零列与它对换，然后再用交 换行和一行加到另一行，使M’(G1)中第1列首元素为1， 其余元素为零，得到M’’(G) ，如图所示
由于矩阵的行和列有固定的次序，因此在用矩阵表示 图时，先要将图的结点进行排序，若不具体说明排序，则 默认为书写集合V时结点的顺序。
143-2
第六章 图的矩阵表示
一个图可以按定义描述出来，也可以用图形表示出来，还可以 同二元关系一样，用矩阵来表示。图用矩阵表示有很多优点，既 便于利用代表知识研究图的性质、构造算法，也便于计算机处理。 图的矩阵表示常用的有两种形式：邻接矩阵和关联矩阵。邻接 矩阵常用于研究图的各种道路的问题，关联矩阵常用于研究子图 的问题。由于矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之 前，需将图的结点和边加以编号（定序），以确定与矩阵元素的 对应关系。
6.1 无向图的完全关联矩阵
定义 给定无向图G，令v1, v2, …, vp, e1, e2, …, eq分别记 为M(G)的顶点和边，则矩阵M(G)=(mij) p×q，其中
1 mij 0
若vi关联e j 若vi不关联e j
称M(G)为图G的完全关联矩阵。
例 下图G的完全关联矩阵为：
v1
e1
e5
v3 e3
图的完全关联矩阵可以去掉一 行，改称关联矩阵，去掉那一 行所对应的点称为参考点。
v1
e4
v4
完全关联矩阵 v1为参考点 关联矩阵
1 0 0 1 1
1
0
0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
0 1 0
→
1 0 0
1 1 0
0 1 1
0 0 1
0
1
0
定义：连通图G=(p,q)的一个阶为min{p,q} 的方阵称为p×q矩阵的一个大子阵，大子 阵的行列式称为大行列式。
0
0 0 0 1 0 0 1
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
0
0
0
0
这个矩阵的秩为4， 即rank M(G)=5-1=4。
推论
推论 设图G有p个结点，k个连通分支，则图G完全关 联矩阵的秩为p-k。
证明 设图G有p个结点，k个连通分支，则通过对M(G) 进行行交换和列交换，总能得到如下分块矩阵。