三角形难点题型提高精选题(含答案)

三角形难点题型精选题
一．选择题（共17小题）
1．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，∠ACB=6x，则x值可以是（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α+∠β之间的关系是（）
A．∠γ=∠α+∠βB．2∠γ=∠α+∠βC．3∠γ=2∠α+∠βD．3∠γ=2（∠α+∠β）
5．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（）
A．互余B．互补C．相等D．不确定
6．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）
A．5 B．6 C．7 D．10
7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
8．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
9．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）
A．30°B．40°C．80°D．不存在
10．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）
A．6米 B．8米 C．12米D．不能确定
11．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|=10a+2，则△ABC 为（）
A．等腰三角形B．正三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
12．已知正六边形的半径为2，则这个正六边形的面积是（）
A．6 B．12 C．D．
13．如果正n边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7
14．把一副三角尺按如图所示叠放在一起，则下图中∠α=（）
A．75°B．60°C．65°D．55°
15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
16．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（）
A．21 B．26 C．37 D．42
17．若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
二．填空题（共8小题）
18．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．
19．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=度．
20．某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有个三角形出现．
21．△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为．
22．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于度．
23．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为．
24．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分线与∠A2008CD的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009=．
25．如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．（作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．
三．解答题（共1小题）
26．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：．
三角形难点题型精选题
参考答案与试题解析
一．选择题（共17小题）
1．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选B．
2．如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，∠ACB=6x，则x值可以是（）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【解答】解：根据三角形的外角性质，∠ACB=6x＞90°，
解得x＞15°，
∵∠ACB是钝角，
∴6x＜180°，
∴x＜30°，
∴15°＜x＜30°，
纵观各选项，只有20°符合．
故选B．
3．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．
故选：B．
4．如图三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α+∠β之间的关系是（）
A．∠γ=∠α+∠βB．2∠γ=∠α+∠βC．3∠γ=2∠α+∠βD．3∠γ=2（∠α+∠β）
【解答】解：如图，∠1+∠2=180°﹣∠γ，
∵三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，
∴∠α+2∠1+∠β+2∠2=180°×2，
即∠α+∠β+2（∠1+∠2）=360°，
∴∠α+∠β+360°﹣2∠γ=360°，
∴2∠γ=∠α+∠β．
故选B．
5．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（）
A．互余B．互补C．相等D．不确定
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠1=∠B．
故选C．
6．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）
A．5 B．6 C．7 D．10
【解答】解：已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5﹣4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6﹣2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠1=∠ACE，∠2=∠ABC，
又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D=∠A=25°．
故选C．
8．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
【解答】解：∵内角和是1620°的多边形是边形，
又∵多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原多边形为12边形；
另一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原多边形为10边形；还有一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是11边形．
综上原来多边形的边数可能为10、11、12边形，
故选D．
9．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）
A．30°B．40°C．80°D．不存在
【解答】解：∵108÷12=9，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形，
∴α=360°÷9=40°．
故选B．
10．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）
A．6米 B．8米 C．12米D．不能确定
【解答】解：∵机器人从点A出发再回到点A时正好走了一个正多边形，
∴多边形的边数为360°÷30=12，
∴他第一次回到出发点O时一共走了12×1=12米．
故选C．
11．已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b+|﹣2|=10a+2，则△ABC 为（）
A．等腰三角形B．正三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：∵a2+b+|﹣2|=10a+2，
∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2+1+|﹣2|=0
即（a﹣5）2+（﹣1）2+|﹣2|=0
根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a=5，b=5，c=5．
故该三角形是等边三角形，即正三角形．
故选B．
12．已知正六边形的半径为2，则这个正六边形的面积是（）
A．6 B．12 C．D．
【解答】解：根据题意，正六边形的半径为2，
而正六边形可以分解为六个全等的三角形，如图
且每个三角形的边长都为2，
易得每个三角形的面积为，
故这个正六边形的面积是6．
故选C．
13．如果正n边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设外角是x度，则内角是2x度，根据题意得
x+2x=180，
解得x=60度，
所以n=360÷60=6．
故选C．
14．把一副三角尺按如图所示叠放在一起，则下图中∠α=（）
A．75°B．60°C．65°D．55°
【解答】解：已知，∠ADE=45°，∠F=60°，
∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°．
故选A．
15．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；
②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．
所以满足条件的点P共有6个．
故选C．
16．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为（）
A．21 B．26 C．37 D．42
【解答】解：多边形的周长=16×2+5×2=42．
故选D．
17．若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（）
A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）•180°=3×360°，
解得：n=8，即这个多边形为八边形．
故选A．
二．填空题（共8小题）
18．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为85度．
【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，
∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．
故答案为：85．
19．如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 240度．
【解答】解：∵四边形的内角和为（4﹣2）×180°=360°，
∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°，
∵五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°，
故答案为：240．
20．某同学在纸上画了四个点，如果把这四个点彼此连接，连成一个图形，则这个图形中会有0或3或4或8个三角形出现．
【解答】解：∵①当四个点共线时，不能作出三角形；
②当三个点共线，第四个点不在这条直线上时，能够画出3个三角形；
③若4个点能构成凹四边形，则能画出4个三角形；
④当任意的三个点不共线时，则能够画出8个三角形．
∴0或3或4或8．
21．△ABC中，∠B的外角平分线的与∠C外角平分线相交于点P，且∠BPC=80°，则∠BAP的度数为10°．
【解答】解：如图，BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°﹣∠BCP﹣∠PBC，
=180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°﹣（∠A+180°），
=90°﹣∠A；
∵∠BPC=80°，
∴∠CAB=20°，
∴∠BAP=10°；
故答案为：10°
22．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于270度．
【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，
∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．
故答案为：270°．
23．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为7．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=2×360°+180°，
n=7．
故答案为：7．
24．如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1得∠A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2008BC的
平分线与∠A2008CD的平分线交于点A2009，得∠A2009，则∠A2009=．
【解答】解：∵∠ACA1=∠A1CD=∠ACD=（∠A+∠ABC），
又∵∠ABA1=∠A1BD=∠ABD，
∠A1CD=∠A1BD+∠A1，
∴∠A1=∠A=α．
同理∠A2=∠A1，…
即每次作图后，角度变为原来的．
故∠A2009=．
25．如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．（作图题要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）．
【解答】解：作图如下：
．
三．解答题（共1小题）
26．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：∠BOC=90°﹣∠A．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°﹣∠A．。