安徽省长丰县实验高级中学高中数学必修五教案：3.4.2基本不等式的应用(一)

基本不等式的应用（一）项目内容
3.4.2 基本不等式ab a b
的应用（1 课时）2
课题改正与创新
一、知识与技术
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，稳固加强基本不等式
a b
ab；
2
2.从不等式的证明过程去领会解析法与综合法的证明思路；
3.对不等式证明过程的谨慎而又规范的表达
二、过程与方法
1.采纳研究法，依据联想、类比、思虑、沟通、逻辑解析、抽象应用
的方法进行启迪式教课；
2.教师供给问题、素材，并实时点拨，发挥老师的主导作用和学生的
主体作用；
教课
3.设计较典型的拥有挑战性的问题，激发学生去踊跃思虑，从而培育
他们的数学学习兴趣
目标
三、感情态度与价值观
1.经过详细问题的解决，让学生去感觉、体验不等式的证明过程需要
从理性的角度去思虑，经过设置思虑项，让学生研究，层层铺设，使学
生感觉数学、走进数学、培育学生谨慎的数学学习习惯和优秀的思想习
惯；
2.学习过程中，经过对问题的研究思虑，宽泛参加，培育学生谨慎的
思想习惯，主动、踊跃的学习质量，从而提升学习质量；
3.经过对富裕挑战性问题的解决，激发学生坚强的研究精神和严肃认
真的科学态度，同时去感觉数学的应用性，领会数学的神秘，数学的简
洁美，数学推理的谨慎美，从而激发学生的学习兴趣
教课要点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，稳固加强基本不等式
ab a b
；2
2.对不等式证明过程的谨慎而又规范的表达；
教课重、
3.从不等式的证明过程去领会解析法与综合法的证明思路
难点教课难点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，稳固加强基本不等式
ab a b
；2
2.对不等式证明过程的谨慎而又规范的表达；
3.从不等式的证明过程去领会解析法与综合法的证明思路
教课
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
准备
导入新课
师前一节课，我们经过问题背景，抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R)，
而后以数形联合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式
a b
ab a b
ab .本节课，我们将利用基本不等式来试试证明
2 2
一些简单的不等式
(此时，老师用投影仪给出以下问题
教课过
推动新课
程
问题 1.已知 x、 y 都是正数，求证：
y x
；
(1) 2
x y
(2)（x＋ y）（ x2＋ y2）（ x3＋ y3）≥８ x3y3
师前方我们研究了能够用不等式和实数的基天性质来证明不等式，请同
学们思虑一下，第一小问能否能够用不等式和实数的基天性质来证明此
不等式呢？
（思虑两分钟）
生不能够证明
师能否能够用基本不等式证明呢？
生能够
（让学生板演，老师依据学生的达成状况作评论）
解：∵ x、 y 都是正数，∴x
＞0 ，
y
＞0 .∴x y 2 x y 2 ，即y x y x y x
x y
2
y x
师这位同学板演得很好 .下边的同学都达成了吗？
（齐声：达成）
［合作研究］
师请同学持续思虑第二小问该怎样证明？它能否能用一次基本不等式
就能证明呢？
（指引同学们踊跃思虑）
生能够用三次基本不等式再联合不等式的基天性质
师这位同学解析得特别好. 他对要证不等式的特点察看的很仔细、到
位
生∵ x，y 都是正数，∴ x2＞ 0， y2＞ 0， x3＞ 0， y3＞ 0.∴ x＋ y≥2xy＞ 0，
2 2 2 2
＞ 0, 3 3 3 3
＞ 0.∴可得（ x＋ y）（ x
2 2
3 3
）
x ＋ y ≥2xy x +y ≥2xy ＋ y ）（ x ＋ y ≥2xy·2 x2 y 2·2 x2 y 2 ＝８ x3y3，即（x＋ y）（ x2＋ y 2）（ x 3＋ y3）≥８ x 3y3.
师这位同学表达得特别好，思想即谨慎又周祥
（在表达过程中，对条件x， y 都是正数常常忽略）
师在运用定理：a b
ab 时，注意条件a、 b 均为正数，常常能够2
激发我们想到解题思路，再联合不等式的性质(掌握好每条性质建立的条件 )进行变形，从而能够得证
(此时，老师用投影仪给出以下问题
问题 3.求证：(a b
)2 a 2 b2 2 2
（此处留的时间能够长一些，意在激发学生自主研究问题，把研究的思
维空间确实留给学生）
师利用完整平方公式，联合重要不等式：a2＋ b 2≥2ab，适合变形，是证明本题的要点
（让学生板演，老师依据学生的达成状况作评论）
解：∵ a2＋ b2≥2ab，∴ 2（ a2＋ b2）≥a2＋ b2＋ 2ab＝（ a＋ b）2.∴ 2（a 2＋ b2）≥（ a＋b）2
不等式两边同除以4，得 a2 b 2 ≥( a
b)2，即( a b )2 a 2 b2
2 2 2 2 师下边同学都是用这类思路解答的吗？
生也可由结论到条件去证明，即用作差法
师这位同学答得特别好，思想很活跃，详细的过程让同学们课后去完
成
［讲堂练习］
1.已知 a、 b、 c 都是正数，求证：（ a＋b）（ b＋ c）（ c＋ a）≥８ ab
解析：关于此类题目，选择定理：a b
ab （a＞0，b＞0）灵巧变形，2
可求得结果 .
∵ a、 b、c 都是正数，
∴a＋ b≥2ab＞ 0,b＋ c≥2bc＞ 0,c+a≥2ac＞
∴（ a＋b）（ b＋ c）（ c＋ a）≥2ab·2bc ·2ac ＝８ab 即（ a＋b）（ b＋ c）（ c＋ a）≥８ ab
［合作研究］
x y a b
2.已知（ a＋ b）（ x＋y）＞ 2（ ay＋ bx），求证：
b x 2
a y （老师先解析，再让学生达成）
师本题结论中，注意x y 与 a b
互为倒数，它们的积为1，可利用公
a b x y
式 a＋ b≥2ab，但要注意条件a、b 为正数 .故本题应从已知条件出发，经
过变形，说明
x
y
与
a b
为正数开始证题
a b x y
(在教师指引下，学生踊跃参加以下证题过程
生 ∵（ a ＋ b ）（ x ＋y ）＞ 2（ ay ＋ bx ）
∴ ax ＋ ay ＋bx ＋ by ＞ 2ay ＋ 2bx
∴ ax － ay ＋by － bx ＞
∴（ ax －bx ）－（ ay － by ）＞
∴（ a －b ）（ x － y ）＞
即 a － b 与 x － y 同号
∴
x
y
与
a b
均为正数
a b
x y
∴
“＝
x y 与 a b 2 x y a b
2 (当且仅当 x y
a b 时取 a b x y
a b x y
a b
x y
∴ x y a b 2
a b
x y
师生共析 我们在运用重要不等式 a 2＋ b 2≥2ab 时，只需求 a 、b 为实数就能够了 .而运用定理： “
a b
≥ab ”时，一定使 a 、 b 知足同为正数 .本题通
2
过对已知条件变形
(适合地因式分解
)，从议论因式乘积的符号来判断
x y
与
a b
是正仍是负，是我们此后解题中常用的方法
a b
x y
讲堂小结
师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？
生 我们以基本不等式为基础，证了然此外一些重要、常用的不等式，并
且在证明过程中进一步稳固了证明不等式常用的思想方法 .（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求）
师 本节课我们用到重要不等式 a 2＋ b 2≥2ab ；两正数 a 、 b 的算术均匀数
（
a b
），几何均匀数（ ab ）及它们的关系 (
a
b ab ) 证了然一些
2
2
板书设
计
教课反
思不等式，它们建立的条件不一样，前者只需求a、 b 都是实数，尔后者要求
a、 b 都是正数 .它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要
工具 (下一节我们将学习它们的应用). 我们还能够用它们下边的等价变形
来解决问题： ab a2 b2 ， ab (
a
b )2
2 2
师同学们课后要进一步领悟这些重要不等式建立的前提条件怎样用.为
下一节课基本不等式的实质应用打下坚固的基础
部署作业
课本第 116 页，Ｂ组第 1题
基本不等式ab
a b
2
的应用（一）
复习引入例 1 方法概括
基本不等式例 2
a b
方法指引小结
ab
2
实例解析（知识方法应用）
示范解题
利用基本不等式证明一些简单不等式，稳固加强基本不等式
a b
ab .以数学知识为载
2
体，对学生的逻辑思想能力，各样思想方法的掌握，从而提升学生的数学素质与数学修养，
这是高中数学教课的一项主要任务.在本节课的教课过程中，对一些不等式的证明不是直接
给出，而是以设问方式的变化，指引学生思虑，经过由特别到一般的研究规律去解决问题。