安徽省长丰县实验高级中学高中数学必修五教案:3.4.2基本不等式的应用(一)
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基本不等式的应用(一)项目内容
3.4.2 基本不等式ab a b
的应用(1 课时)2
课题改正与创新
一、知识与技术
1.利用基本不等式证明一些简单不等式,稳固加强基本不等式
a b
ab;
2
2.从不等式的证明过程去领会解析法与综合法的证明思路;
3.对不等式证明过程的谨慎而又规范的表达
二、过程与方法
1.采纳研究法,依据联想、类比、思虑、沟通、逻辑解析、抽象应用
的方法进行启迪式教课;
2.教师供给问题、素材,并实时点拨,发挥老师的主导作用和学生的
主体作用;
教课
3.设计较典型的拥有挑战性的问题,激发学生去踊跃思虑,从而培育
他们的数学学习兴趣
目标
三、感情态度与价值观
1.经过详细问题的解决,让学生去感觉、体验不等式的证明过程需要
从理性的角度去思虑,经过设置思虑项,让学生研究,层层铺设,使学
生感觉数学、走进数学、培育学生谨慎的数学学习习惯和优秀的思想习
惯;
2.学习过程中,经过对问题的研究思虑,宽泛参加,培育学生谨慎的
思想习惯,主动、踊跃的学习质量,从而提升学习质量;
3.经过对富裕挑战性问题的解决,激发学生坚强的研究精神和严肃认
真的科学态度,同时去感觉数学的应用性,领会数学的神秘,数学的简
洁美,数学推理的谨慎美,从而激发学生的学习兴趣
教课要点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式,稳固加强基本不等式
ab a b
;2
2.对不等式证明过程的谨慎而又规范的表达;
教课重、
3.从不等式的证明过程去领会解析法与综合法的证明思路
难点教课难点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式,稳固加强基本不等式
ab a b
;2
2.对不等式证明过程的谨慎而又规范的表达;
3.从不等式的证明过程去领会解析法与综合法的证明思路
教课
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
准备
导入新课
师前一节课,我们经过问题背景,抽象出了不等式a2+b2≥2ab(a、b∈R),
而后以数形联合思想为指导,从代数、几何两个背景推导出基本不等式
a b
ab a b
ab .本节课,我们将利用基本不等式来试试证明
2 2
一些简单的不等式
(此时,老师用投影仪给出以下问题
教课过
推动新课
程
问题 1.已知 x、 y 都是正数,求证:
y x
;
(1) 2
x y
(2)(x+ y)( x2+ y2)( x3+ y3)≥8 x3y3
师前方我们研究了能够用不等式和实数的基天性质来证明不等式,请同
学们思虑一下,第一小问能否能够用不等式和实数的基天性质来证明此
不等式呢?
(思虑两分钟)
生不能够证明
师能否能够用基本不等式证明呢?
生能够
(让学生板演,老师依据学生的达成状况作评论)
解:∵ x、 y 都是正数,∴x
>0 ,
y
>0 .∴x y 2 x y 2 ,即y x y x y x
x y
2
y x
师这位同学板演得很好 .下边的同学都达成了吗?
(齐声:达成)
[合作研究]
师请同学持续思虑第二小问该怎样证明?它能否能用一次基本不等式
就能证明呢?
(指引同学们踊跃思虑)
生能够用三次基本不等式再联合不等式的基天性质
师这位同学解析得特别好. 他对要证不等式的特点察看的很仔细、到
位
生∵ x,y 都是正数,∴ x2> 0, y2> 0, x3> 0, y3> 0.∴ x+ y≥2xy> 0,
2 2 2 2
> 0, 3 3 3 3
> 0.∴可得( x+ y)( x
2 2
3 3
)
x + y ≥2xy x +y ≥2xy + y )( x + y ≥2xy·2 x2 y 2·2 x2 y 2 =8 x3y3,即(x+ y)( x2+ y 2)( x 3+ y3)≥8 x 3y3.
师这位同学表达得特别好,思想即谨慎又周祥
(在表达过程中,对条件x, y 都是正数常常忽略)
师在运用定理:a b
ab 时,注意条件a、 b 均为正数,常常能够2
激发我们想到解题思路,再联合不等式的性质(掌握好每条性质建立的条件 )进行变形,从而能够得证
(此时,老师用投影仪给出以下问题
问题 3.求证:(a b
)2 a 2 b2 2 2
(此处留的时间能够长一些,意在激发学生自主研究问题,把研究的思
维空间确实留给学生)
师利用完整平方公式,联合重要不等式:a2+ b 2≥2ab,适合变形,是证明本题的要点
(让学生板演,老师依据学生的达成状况作评论)
解:∵ a2+ b2≥2ab,∴ 2( a2+ b2)≥a2+ b2+ 2ab=( a+ b)2.∴ 2(a 2+ b2)≥( a+b)2
不等式两边同除以4,得 a2 b 2 ≥( a
b)2,即( a b )2 a 2 b2
2 2 2 2 师下边同学都是用这类思路解答的吗?
生也可由结论到条件去证明,即用作差法
师这位同学答得特别好,思想很活跃,详细的过程让同学们课后去完
成
[讲堂练习]
1.已知 a、 b、 c 都是正数,求证:( a+b)( b+ c)( c+ a)≥8 ab
解析:关于此类题目,选择定理:a b
ab (a>0,b>0)灵巧变形,2
可求得结果 .
∵ a、 b、c 都是正数,
∴a+ b≥2ab> 0,b+ c≥2bc> 0,c+a≥2ac>
∴( a+b)( b+ c)( c+ a)≥2ab·2bc ·2ac =8ab 即( a+b)( b+ c)( c+ a)≥8 ab
[合作研究]
x y a b
2.已知( a+ b)( x+y)> 2( ay+ bx),求证:
b x 2
a y (老师先解析,再让学生达成)
师本题结论中,注意x y 与 a b
互为倒数,它们的积为1,可利用公
a b x y
式 a+ b≥2ab,但要注意条件a、b 为正数 .故本题应从已知条件出发,经
过变形,说明
x
y
与
a b
为正数开始证题
a b x y
(在教师指引下,学生踊跃参加以下证题过程
生 ∵( a + b )( x +y )> 2( ay + bx )
∴ ax + ay +bx + by > 2ay + 2bx
∴ ax - ay +by - bx >
∴( ax -bx )-( ay - by )>
∴( a -b )( x - y )>
即 a - b 与 x - y 同号
∴
x
y
与
a b
均为正数
a b
x y
∴
“=
x y 与 a b 2 x y a b
2 (当且仅当 x y
a b 时取 a b x y
a b x y
a b
x y
∴ x y a b 2
a b
x y
师生共析 我们在运用重要不等式 a 2+ b 2≥2ab 时,只需求 a 、b 为实数就能够了 .而运用定理: “
a b
≥ab ”时,一定使 a 、 b 知足同为正数 .本题通
2
过对已知条件变形
(适合地因式分解
),从议论因式乘积的符号来判断
x y
与
a b
是正仍是负,是我们此后解题中常用的方法
a b
x y
讲堂小结
师 本节课我们研究了什么问题?同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢?
生 我们以基本不等式为基础,证了然此外一些重要、常用的不等式,并
且在证明过程中进一步稳固了证明不等式常用的思想方法 .(教师提出对重要、常用不等式的掌握要求)
师 本节课我们用到重要不等式 a 2+ b 2≥2ab ;两正数 a 、 b 的算术均匀数
(
a b
),几何均匀数( ab )及它们的关系 (
a
b ab ) 证了然一些
2
2
板书设
计
教课反
思不等式,它们建立的条件不一样,前者只需求a、 b 都是实数,尔后者要求
a、 b 都是正数 .它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要
工具 (下一节我们将学习它们的应用). 我们还能够用它们下边的等价变形
来解决问题: ab a2 b2 , ab (
a
b )2
2 2
师同学们课后要进一步领悟这些重要不等式建立的前提条件怎样用.为
下一节课基本不等式的实质应用打下坚固的基础
部署作业
课本第 116 页,B组第 1题
基本不等式ab
a b
2
的应用(一)
复习引入例 1 方法概括
基本不等式例 2
a b
方法指引小结
ab
2
实例解析(知识方法应用)
示范解题
利用基本不等式证明一些简单不等式,稳固加强基本不等式
a b
ab .以数学知识为载
2
体,对学生的逻辑思想能力,各样思想方法的掌握,从而提升学生的数学素质与数学修养,
这是高中数学教课的一项主要任务.在本节课的教课过程中,对一些不等式的证明不是直接
给出,而是以设问方式的变化,指引学生思虑,经过由特别到一般的研究规律去解决问题。