北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第一章 数列 培优课1 数列的通项公式问题

【例3】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4,n∈N+,则an等于(
A.2n+1 B.2n
C.2n-1
D.2n-2
(2)(2021河北衡水检测)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1,
n∈N+,则数列{an}的通项公式为
.
)
答案(1)A
(2)an=2n-1
2
又 a1=1
(+1)
也适合上式,∴an= 2 ,n∈N+.
+1
(2)由条件知

2
即
1
=
1 3
,
2 2
=
=
2 4
,
3 3

,
+1
=
3

,…,
4
-1
=
-1
(n≥2),

这 n-1 个式子两边分别相乘,得
2 3 4

· · ·…·
1 2 3
-1

∴
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
(1)证明由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即
又因为 a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为
1
an+1+bn+1=2(an+bn).
1
1,公比为 的等比数列.
2
由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,
即 an+1-bn+1=an-bn+2.
已知Sn=f(an)或Sn=f(n)的解题步骤:
第一步 利用Sn满足条件p,写出当n≥2时,Sn-1的表达式;
第二步 利用an=Sn-Sn-1(n≥2),求出an或者转化为an的递推公式的形式;
第三步 若求出n≥2时的{an}的通项公式,则根据a1=S1求出a1,并代入n≥2时
的{an}的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.
变式训练3
在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
通项公式an.
+1
an+1(n∈N+),求数列{an}的
2
解由
当
+1
a1+2a2+3a3+…+nan= an+1,得
2Hale Waihona Puke n≥2 时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2an,
两式作差得
+1

nan= an+1- an,
2

a1= ,an+1= an,求
3
+1
an.
解 (1)∵an+1=an+n+1,∴an+1-an=n+1,
即 a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2).
这 n-1 个等式两边分别相加,得 an-a1=2+3+4+…+n(n≥2),
即
(+1)
,n≥2.
an=1+2+3+4+…+n=
第一章
培优课1 数列的通项公式问题
内
容
索
引
01
重难探究•能力素养全提升
02
学以致用•随堂检测全达标
重难探究•能力素养全提升
探究点一 利用累加法、累乘法求数列的通项公式
【例1】 (1)数列{an}满足a1=1,对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n,求数列
{an}的通项公式;
(2)已知数列{an}满足
②解
所以
1
1
− =6(n≥2),故数列{ }是以

-1
3 为首项,6 为公差的等差数列.
1
由①可得 =3+(n-1)×6=6n-3,

1
an=
,n∈N+.
6-3
(2)解 由an+1=2an-3得an+1-3=2(an-3),
所以数列{an-3}是首项为a1-3=-1,公比为2的等比数列,则an-3=(-1)·2n-1,即
【例 2】
1
(1)在数列{an}中,a1=3,6anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).
1
①证明:数列{ }是等差数列;

②求数列{an}的通项公式.
(2)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=2an-3,求an.
(1)①证明由 6anan-1+an-an-1=0,
1
整理得

解析(1)因为Sn=2an-4,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-4,两式相减可得Sn-Sn-1=2an-

2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以 =2.因为S1=a1=2a1-4,即a1=4,
-1
所以数列{an}是首项为4,公比为2的等比数列,则an=4×2n-1=2n+1,故选A.
2 -1

本 课 结 束
an=-2n-1+3.
规律方法
1.对于此类问题,一般先构造好等差(比)数列让学生证明,再在
此基础上求出通项公式,故不必在此处挖掘过深.
2.形如an+1=pan+q(其中p,q为常数,且pq(p-1)≠0)可用待定系数法求得通项
公式,步骤如下:
第一步 假设递推公式可改写为an+1+t=p(an+t);
2.求形如an+1=f(n)an的通项公式.
+1
将原递推公式转化为 =f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即由

2
3


=f(1), =f(2),…, =f(n-1),累乘可得 =f(1)f(2)…f(n-1).
1
2
-1
1
变式训练1
在数列{an}中,a1=2,an+1-an=2n,求{an}的通项公式.

第二步 由待定系数法,解得 t=-1; ;
第三步

写出数列{an+ }的通项公式;
-1
第四步 写出数列{an}的通项公式.
变式训练2
(2019全国Ⅱ,理19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,
4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;
答案 -63
解析由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,
所以a1=-1,S1-1=-2.
当n≥2时,Sn=2(Sn-Sn-1)+1,
即Sn-1=2(Sn-1-1),
所以数列{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,
所以Sn-1=-2×2n-1,则Sn=1-2×2n-1=1-2n,
当n=6时,S6=-63.
(2)因为Sn+1-2Sn=1,所以Sn+1=2Sn+1.
因此Sn+1+1=2(Sn+1),
因为a1=S1=1,S1+1=2,
所以{Sn+1}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以Sn+1=2n,Sn=2n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1也满足此式,所以an=2n-1.
规律方法
又因为 a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
(2)解 由(1)知,an+bn=
1
-1
2
所以
,an-bn=2n-1,
1
1
1
an= [(an+bn)+(an-bn)]= +n- ,
2
2
2
1
1
1
bn=2[(an+bn)-(an-bn)]=2-n+2.
探究点三 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
解 由

a1=1,an+1= +2(n∈N+),求数列{an}的通项公式.


1
an+1=
,得
+2
+1
=
2
+1,

1
1
所以
+1=2( +1).
+1

又
1
a1=1,所以 +1=2,
1
1
所以数列{ +1}是以

2 为首项,2 为公比的等比数列,
1
1
n-1
n
所以 +1=2×2 =2 ,所以 an= .
A.1 024
B.1 023
C.510
D.511
)
答案 D
解析 由题意可得an+1-an=2n,则a9=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a9-a8)
=1+21+22+…+28=29-1=511.故选D.
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足log2(Sn+1)=n+1,则an=
3, = 1,
2
2
得(n+1)an+1=3nan(n≥2),
即数列{nan}从第二项起是公比为 3 的等比数列,且 a1=1,a2=1,于是 2a2=2,
故当 n≥2 时,nan=2×3n-2.
1, = 1,
于是 an=
2×3-2
,

≥ 2,∈N+.
学以致用•随堂检测全达标
1.数列{an}中,a1=1,且an+1=an+2n,则a9=(
.
4.已知在数列{an}中,a1=1,对于任意的n∈N+,都有a1a2a3…an=n2,则
a10=
答案
.
100
81
解析由 a1a2a3…an=n ,得 a1a2a3…an-1=(n-1) (n≥2),所以 an=
2
2
2
(-1)
100
a10= .
81
2 (n≥2),所以
5.已知数列{an}满足
1
=
=
1
2 3
-1
× × ×…× (n≥2).
2
3 4

1
.

又
2
2
a1= ,∴an= ,n≥2.
3
3
又
2
2
a1=3也适合上式,∴an=3,n∈N+.
规律方法
1.求形如an+1=an+f(n)的通项公式.
将原来的递推公式转化为an+1-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1).
解 因为a1=2,an+1-an=2n,
所以a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1,n≥2,
以上各式累加得,an-a1=2+22+23+…+2n-1,
故
2(1-2-1 )
an=
+2=2n,
1-2
当n=1时,a1也符合上式,所以an=2n.
探究点二 构造等差(比)数列求通项公式
答案
2 , ≥ 2
解析 ∵log2(Sn+1)=n+1,∴Sn=2n+1-1.
当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.
3, = 1,
∵当 n=1 时,上式不满足,∴an=
2 , ≥ 2.
.
3.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=