第一章 静电场

电场强度的定义式能否改为 E F q ？ 0 答：当场源电荷分布不受正的试验点电 荷q0电场的影响时，该定义式成立。


从上述定义式可知，电场中任一点的电场强度在 数值上相当于单位正点电荷在该点所受之力，其 方向则为正点电荷的受力方向。
3、点电荷产生电场强度
E (r)
q e 2 r 4 0r
①以上算式的运用前提：电荷连续分布。 注意： ②电场强度的矢量积分一般先转化为各坐标轴上的标 量积分, 然后再合成。
例：
真空中长为L的均匀带电非导电棒,电荷线密度为τ,试 求P点的场强.
解:采用直角坐标系,令Y轴经过P点,导线与X轴重合 Y dEdEY dEx P ·
d E ( x, y ) d Ex
rr2 r 1
2
r2 r1 d cos
d cos ( ) 2 4 0 r q
令：
P qdez
电偶极距，方向由负电荷指向正 电荷，单位：C.m
qdez er P er 2 4 0 r 4 0 r 2
当=90时，=0. 说明偶极子平分面上的任意一点电位为0，在这个 平面上移动电荷不做功
§1.1
电场强度点位
杰明· 富兰克林的实验
一、电荷 1、正电荷
用丝绸摩擦玻璃棒，将玻璃棒上带的电荷叫做正电荷
2、负电荷
用毛皮摩擦火漆，并将火漆所带的电荷称为负电荷 自然界中最小的“自由”电荷是电子或质子所带的电荷
e=1.602×10-19 C
二、电场
电荷的周围，存在着一种特殊形式的物质，称为电场。 其基本特征是对于被引入场中的电荷有力的作用。
2 2 3 2

2
1 x a x
2
c c
2
dx ( x2 a2 ) 2 dx (x a ) 2
2 2 1 3
a
2
x a
2 2 2
x a c
例： 半径为R的非导体圆环具有均匀电荷密度和总电荷Q，圆
环处于xy平面上，如图所示。计算圆环轴线上方距环圆心 距离z处P点的电场。
Ex 0 E Ey

结论：
ey 2 0 y
（1）无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场 （2）电场强度的矢量积分一般可先转换为标量积分，再合成。 （3）当L1=L2时，在所选坐标Y轴上，只有Y轴方向分量。
非导电棒电场关于y的函数关系
常用积分式子

xdx (x a )
2 2
其中A, B和C均为常数。试求相应的电场。

根据 E 与

的微分关系，试问静电场中的某一点
？ ？ ( ( ) )
0 E 0
E 0 0
4、连续分布电荷产生的点位 （1）、体电荷密度分布
dq 1 dV r 4 0 V r 4 0 V 1 dq 1 dS r 4 0 r 4 0 S S 1 dq 1 dl r 4 0 r 4 0 l l 1

dx
4 0 ( x y )
2 2

er
2
x
dx
2
4 0 ( x y ) x2 y2 y
ex

τdx X
L1 L2
d Ey

dx
2 2
4 0 ( x y ) x2 y2
ey

Ey
L2 L1 d
ey

L2 L1 4 0
y ( x2 y2 ) 2
e12 2 R
e21 2 R
N( 牛顿)
e12
N( 牛顿)
e21
适用条件：
两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式中
109 0 8.85 1012 36
F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中 ( 0 )
当真空中引入第三个点电荷q3时，试问q1与q2相互 间的作用力改变吗? 为什么？
E(r) 1 4 0

k 1
N
qk r rk ' 1 2 r r ' 4 r rk ' k 0
qk R 2 ek k 1 k
N
V/m
(注意:矢量叠加)
三、电荷密度
1、体电荷密度 （单位体积内的电荷）
q dq lim V 0 V dV
dr
Q
在静电场中，沿闭合路径移动电荷，电场力所做的功为零， 也就是说电场强度的环路线积分恒等于零
Edl S E dS 0 l E 0
——静电场的环路定律
静电场中是保守场，也是一个无旋场
2、电位梯度
E
：静电场的标量电位函数
在笛卡尔坐标系或者直角坐标系中：
3、将的具体形式dq代入的表达式。 4、选择适当坐标系（直角坐标系、柱坐标系或球极坐标 系），写出该坐标系下的微元（或）和r的表达式
5、 根据积分变量改写E的表达式，利用对称性确认电场的非 零分量。
6 计算积分得到Er
。
五、电场线
电场线特征
1、电场矢量Er在空间点的方向即为电场线的切线方向。 2、对于垂直于场线的曲面，通过单位面积的场线数目 正比于该区域电场的强度。 3、场线一定始于正电荷（或无穷远）而止于负电荷 （或无穷远）。 4、没有两根场线会彼此相交；否则电场在该点就会有 两个不同的方向。
（2）、面电荷密度分布
（3）、线电荷密度分布
例：
考虑一段长为L的非导电棒，其上均匀电荷密度为。试求 棒的中点上方垂直高度y处P点的电势。
例：
考虑一个半径为R、电荷密度为的均匀荷电圆环。试问圆 环中心轴上方距离为z处的电势是多大？
例： 均匀荷电圆盘
处于xy平面上的半径为R、电荷密度为σ 的均匀荷电圆盘。 试问圆盘中心轴上方距离为z处的电势是多大？
A
B
电位： 设一参考点，将单位点电荷从A点移动到参考 点所做的功称为这一点的点位 一般设无限远处为参考点
A
A
Edl
例： 求固定在原点的点电荷q在空间两点间产生的电位差
z P r1 r2 Q
q
0 y x
例：
假定某个电荷分布的电势在笛卡儿坐标系下为:
( x, y, z) Ax y Bxyz
（点电荷位于坐标 4 0 | r r | | r r |
图1.1.2 点电荷的电场
（点电荷位于点r’） 单位：V/m (N/C）
正电荷的电场
负电荷的电场
4、n个点电荷产生的电场强度（矢量叠加原理）：
E
p 4 0r
(2cos er sin e ) 3
第一章 静电场
目录
电场强度 静电场环路定律、高斯定律 静电场基本方程、分界面上的衔接条件 静电场边值问题、唯一性定理 镜像法和电轴法 电容和部分电容
静电能量和力
本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位 的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。
静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、 分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁 场及时变场。
Q E 4 0
z ( R2 Z )
3 2 2
eZ
例： 半径为R的均匀带电圆盘的总电荷为Q，圆盘处于xy平面上。
求圆盘中心轴线上方距圆盘圆心距离z处P点的电场。假定 R>>z
解题技巧
1、由 dE ( r ) e 2 r 开始 4 0 r dq
2、 根据电荷是线分布、面分布还是体分布，将电荷元dq改写为
3
dx
( 4 0 y
L2 L2 y 2 2

L1 L2 y 2 1
)

Ex
L2 L1 d e x

L2 L1 4 0
x ( x2 y2 ) 2

3
dx
( 4 0
1 L2 y 2 2

1 L2 y 2 1
)
当L1、L2趋近无穷大,
总电荷
i l
单位：C/m
Q qi dl
四、连续分布电荷产生的电场强度
1、体电荷密度分布
1 dq dE 2 er 4 0 r
1 dq 1 dV E e er 2 r 2 r r 4 0 V 4 0 V
2、面电荷密度分布
1 dq dE 2 er 4 0 r
1 dq 1 dS E e er 2 r 2 r r 4 0 S 4 0 S
3、线电荷密度分布
1 dq dE 2 er 4 0 r
1 dq 1 dl E r 2 er 4 0 r 2 er 4 0 l l
例：
两个异号电荷摆成一直线，如下图所示。
右边的电荷量是左边的三倍。除了无穷远处，哪个地方的 电场也为零？
六、环路定律
1、环路定律
单位点电荷q0由A点移动到B点所做的功是：
W
B A
Edl
W Q
B A
而： er dl dl cos dr
W Q
rB
4 0 r 2
E ( ex ey ez ) x y z
由电位函数的定义可知，空间任意一点的电场强度，等 于该点电位函数梯度的负值，即电场强度总是由高电位 指向低电位。
3、电位
电位差：
在空间某一点的电位值称为该点的电位
AB
B
A
B A Edl dl d A B
单位：C/m3
总电荷
Q qi dV
i V
2、面电荷密度 （单位面积内的电荷）
q dq lim S 0 S dS
总电荷
i
单位：C/m2
Q qi dS
S
3、线电荷密度 （单位长度上的电荷）
q dq lim l 0 l dl
结论：电场力符合矢 量叠加原理
例：范德格拉夫起电机
（a）两个同号电荷之间由于各自电场之间的“应力”而互相排斥 (b) 两个异号电荷之间由于各自电场之间的“应力”而互相吸引
说明：
两电荷之间的库仑力不是一种“远程作用”。而是由范德格拉夫球上 电荷的电场通过周边空间直接“接触”传递的应力作用
2、电场强度
er
dl
dr
4 0 r 2 Q 1 1 ( ) 4 0 rA rB
rA
电场力所做的功与路径无关
单位点电荷q0由A点移动到B点，又从B点移动到A点所 做的功是：
rA W Edl Q
l rA
1 1 ( )0 2 4 0r 4 0 rA rA
5、电偶极子
两个等量但异极性且相距很近的电荷
P点的点位：
r1 r2
4 0 r1 4 0 r2 q 1 1 q ( r2 r1 ) ( ) 4 0 r1r2 4 0 r1 r2
认为： r1 r r2

q

q
假设： r d d r1 r cos 2 则： d r2 r cos 2 所以：
静电场：
对于研究者所采用的坐标系而言，电场与激发电场的 电荷分布都是相对静止，量值不随时间变化而改变的 电场，称为静电场。
二、电场强度
1、库伦定律
库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:
真空中两个静止的点电荷q1与q2之间的相互作用力:
q1q2 F21 4 0
q1q2 F 12 4 0 F21 F12
定义：微小正点电荷在电场中一点所受电场力与此微 小正点电荷电量之比的极限定义为该点的电场强度。
F E lim q0 0 q 0
q0：正试验点电荷的电量，单位为库仑（C）
E:
F
（q0必须充分小，以保证它本身所激发的电场不致使被 研究电场发生畸变）
矢量，单位为牛顿每库仑（N/C），或伏特每米(V/m) ：正试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿（N）
电磁场是什么
电和磁是所有电气现象的基本描述。
电磁场是电和磁的最本质的普遍的物理描述。 电路和磁路只是电磁场的一种特殊形式。
涡流电磁场
在导电材料中 在空间中 在空间中 当时变时 在导磁材料中
电荷Q
电场强度E
电流密度JC 电通密度D
当时变时
磁场强度H 位移电流JD
磁通密度B
在介电材料中
辐射电磁波