高中数学一轮复习 6.1 数列的概念与简单表示

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第一节 数列的概念与简单表示
一、基础知识
考点一 由a n 与S n 的关系求通项a n
[典例] (1)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且log 2(S n +1)=n +1,则数列{a n }的通项公式为________.
(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则a n =________.
[题组训练]
1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n -1)(n ∈N *),则a n =( )
A .2n
B .2n -1
C .2n
D .2n -1
2.设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+(2n -1)a n =2n ,则a n =____________.
考点二 由递推关系式求数列的通项公式
[典例] (1)设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1=a n +n +1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为________________.
(2)在数列{a n }中,a 1=1,a n =n -1n a n -1
(n ≥2),则数列{a n }的通项公式为________________. (3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2,则数列{a n }的通项公式为________________.
[题组训练]
1.(累加法)设数列{a n }满足a 1=3,a n +1=a n +1n (n +1)
,则通项公式a n =________. 2.(累乘法)设数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n a n ,则通项公式a n =________.
3.(构造法)在数列{a n }中,a 1=3,且点P n (a n ,a n +1)(n ∈N *)在直线4x -y +1=0上,则数列{a n }的通项公式为________.
考点三 数列的性质及应用
考法(一) 数列的周期性
[典例] 数列{a n }满足a n +1=⎩⎨⎧ 2a n ,0≤a n ≤12,2a n -1,12<a n <1,a 1=35
,则数列的第2 019项为________. 考法(二) 数列的单调性(最值)
[典例] (1)已知数列{a n }满足2S n =4a n -1,当n ∈N *时,{(log 2a n )2+λlog 2a n }是递增数列,则实数λ的取值范围是________.
(2)已知数列{a n }的通项公式为a n =(n +2)·⎝⎛⎭
⎫78n ,则当a n 取得最大值时,n =________. [题组训练]
1.设数列{a n },a n =na nb +c
,其中a ,b ,c 均为正数,则此数列( ) A .递增 B .递减 C .先增后减 D .先减后增
2.已知数列{a n }满足a n +1=11-a n
,若a 1=12,则a 2 019=( ) A .-1 B.12
C .1
D .2 [课时跟踪检测]
1.已知数列1,3,5,7,…,2n -1,若35是这个数列的第n 项,则n =( )
A .20
B .21
C .22
D .23
2.若数列的前4项分别是12,-13,14,-15
,则此数列的一个通项公式为( ) A.(-1)n +1n +1 B.(-1)n n +1
C.(-1)n n
D.(-1)n -
1n 3.已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),则a 5的值为( )
A .-2
B .-1
C .1
D .2
4.数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-3n (n ∈N *),若p -q =5,则a p -a q =( )
A .10
B .15
C .-5
D .20
5.设数列{a n }的通项公式为a n =n 2-bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为( )
A .(-∞,-1]
B .(-∞,2]
C .(-∞,3) D.⎝
⎛⎦⎤-∞,92 6.若数列{a n }满足12≤a n +1a n
≤2(n ∈N *),则称{a n }是“紧密数列”.若{a n }(n =1,2,3,4)是“紧密数列”,且a 1=1,a 2=32
,a 3=x ,a 4=4,则x 的取值范围为( ) A .[1,3) B .[1,3] C .[2,3] D .[2,3) 7.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1(n ∈N *),则a n =________.
8.已知数列32,54,76,9m -n ,m +n 10,…,根据前3项给出的规律,实数对(m ,n )为________. 9.数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n +S n -1=2n -1(n ≥2,n ∈N *),且S 2=3,则a 1+a 3的值为________.
10.已知数列{a n }满足a n =(n -λ)2n (n ∈N *),若{a n }是递增数列,则实数λ的取值范围为________.
11.已知数列{a n }满足a 1=3,a n +1=4a n +3.
(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n }的通项公式; (2)证明:a n +1+1a n +1
=4.
12.已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn +4.
(1)若k =-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值;
(2)对于n ∈N *,都有a n +1>a n ,求实数k 的取值范围.。

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