2014-2015年甘肃省张掖市肃南一中高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2014-2015学年甘肃省张掖市肃南一中高三（上）期末数学试卷
（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（∁R B）=（）
A．（1，2）B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，2] 2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．
3．（5分）我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为（）
A．B．C．D．
4．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，，则|+|=（）A．B．3C．D．
5．（5分）图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A．B．C．D．
6．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β
7．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）
A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]
D．[0，]∪（，π）
8．（5分）曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线为l，则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是（）
A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．2
9．（5分）实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数
a的值为（）
A．4B．3C．2D．
10．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）
A．1B．﹣1C．2D．
11．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）
A．0B．C．2D．2
12．（5分）设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双
曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横
线上）
13．（5分）已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为．
14．（5分）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=．
15．（5分）已知f（n）=1+，经计算得f（4）＞2，f
（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为．
16．（5分）下列结论中正确命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．
①积分cosxdx的值为2；
②若•＜0，则与的夹角为钝角；
③若a、b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是；
④函数y=3x+3﹣x（x＞0）的最小值为2．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演
算步骤）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校学校甲学校乙学校丙学校丁
人数4422
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；
（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，cos∠A1DD1==，DBB1，
∠A1DD1是AB1的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角DO的余弦值．
20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．
21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，
0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为
=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C 相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM
上．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为x+y．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知a＞0，b＞0，且a2+b2=，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
2014-2015学年甘肃省张掖市肃南一中高三（上）期末数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（∁R B）=（）
A．（1，2）B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，2]
【解答】解：由A中的不等式变形得：2x+1＞3或2x+1＜﹣3，
解得：x＞1或x＜﹣2，
∴A=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
由B中y=，得到≥0，即或，
解得：x＞2或x≤﹣1，
∴B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），
∵全集为R，
∴∁R B=（﹣1，2]，
则A∩（∁R B）=（1，2]．
故选：B．
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．
【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，
故选：D．
3．（5分）我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中，男、女都有的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：所有的选法共有=15种，其中，男、女都有的选法有4×2=8种，
故男、女都有的概率为，
故选：A．
4．（5分）已知向量、满足||=2，||=3，，则|+|=（）A．B．3C．D．
【解答】解：由，||=2，||=3，∴|﹣|2+|+|2=22+22=26，∴|+|=3，
故选：B．
5．（5分）图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A．B．C．D．
【解答】解：i=1，满足条件i＜4，执行循环体；
i=2，m=1，n=，满足条件i＜4，执行循环体；
i=3，m=2，n=+，满足条件i＜4，执行循环体；
i=4，m=3，n=++，不满足条件i＜4，退出循环体，
最后输出n=++=1﹣=
故选：C．
6．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α
C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β
【解答】解：若m∥n，n⊂α，
则m∥α，或m⊂α，或A不正确；
若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，
则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；
若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；
若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，
则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．
故选：D．
7．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）
A．[0，π）B．[0，]∪[，π）C．[0，]
D．[0，]∪（，π）
【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1
∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）
故选：B．
8．（5分）曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线为l，则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是（）
A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．2
【解答】解：由y=x2+1，得y′=2x，
∴y′|x=1=2，
∴曲线y=x2+1在点（1，2）处的切线l的方程为：y﹣2=2（x﹣1），
即2x﹣y=0．
又圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为（x+2）2+y2=1．
圆心坐标为（﹣2，0），半径为1，
∴圆心到直线l的距离为，
则直线l上的任意点P与圆x2+y2+4x+3=0上的任意点Q之间的最近距离是
．
故选：A．
9．（5分）实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数
a的值为（）
A．4B．3C．2D．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
∵y=﹣x+z，则z表示直线的纵截距
做直线L：x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大
此时z=2a=4
∴a=2
故选：C．
10．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1C．2D．
【解答】解：由题意可得=
===1
故选：A．
11．（5分）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）
A．0B．C．2D．2
【解答】解：把椭圆得，
椭圆的参数方程为：（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+sinθ，
∴（x+y）max==．
∴M n==2．
故选：D．
12．（5分）设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双
曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，∴，
∴﹣=0，OP=OF2=c=OF1，∴PF1⊥PF2，
Rt△PF 1F2中，∵，∴∠PF1F2=30°．
由双曲线的定义得PF1﹣PF2=2a，∴PF2=，
sin30°====，∴2a=c（﹣1），
∴=+1，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横
线上）
13．（5分）已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为﹣．
【解答】解：∵α∈（，π），且sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
则tanα==﹣．
故答案为：﹣
14．（5分）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=64．
【解答】解：，切线方程是，令x=0，，令y=0，x=3a，
∴三角形的面积是，
解得a=64
故答案为：64
15．（5分）已知f（n）=1+，经计算得f（4）＞2，f
（8）＞，f（16）＞3，f（32）＞…，观察上述结果，可归纳出的一般结
论为（n∈N*）．
【解答】解：由题意f（4）＞2，可化为f（22）＞，
f（8）＞，可化为f（23）＞，
…
以此类推，可得（n∈N*）．
故答案为：（n∈N*）．
16．（5分）下列结论中正确命题的序号是①③（写出所有正确命题的序号）．
①积分cosxdx的值为2；
②若•＜0，则与的夹角为钝角；
③若a、b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是；
④函数y=3x+3﹣x（x＞0）的最小值为2．
【解答】解：①积分cosxdx=sinx=sin﹣sin（﹣）
=1﹣（﹣1）=2，所以①正确；
②当与共线且方向相反时，满足，但此时与的夹角为180°，所以
②错误；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是p==，
如图．所以③正确；
④因为函数y=t+在t＞1时没有最小值，所以函数y=3x+3﹣x（x＞0）没有最小值．所
以④错误．
所以正确的有①③．
故答案为：①③．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演
算步骤）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）∵=，
∴（2c﹣b）•cosA=a•cosB，
由正弦定理，得：（2sinC﹣sinB）•cosA=sinA•cosB．
∴整理得2s inC•cosA﹣sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA=，∠A=．
（2）由余弦定理cosA==，a=2．
∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积S=bcsinA≤5．
∴三角形面积的最大值为5．
18．（12分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：
学校学校甲学校乙学校丙学校丁
人数4422
该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；
（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
【解答】解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，
则．…（6分）
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）
则，
，
∴ξ的分布列为：
ξ012
P
…（10分）
∴…（13分）
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，cos∠A1DD1==，DBB1，∠A1DD1是AB1的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角DO的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）法一：连结AB1，交A1B于O，连结DO，则B1C∥DO，从而B1C ∥平面A1BD．
法二：取A1C1的中点D1，连结CD1，易得平面CB1D1∥DBA1，从而B1C∥平面A1BD．（Ⅱ）A1C1的中点D1，连结DD1、D1B1，易得平面DBB1D1就是平面DBB1，
又BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥A1D，BD⊥DD1，
所以∠A1DD1就是该二面角的平面角.．
20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2（f'（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：×××…×＜（n≥2，n∈N*）．
【解答】解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，
0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为
=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C 相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM 上．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，…（1分）
∵椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且，
∴．
∴，．
∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2…（2分）
又∵，∴…（3分）
∴椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由题意知A（﹣2，0）、B（2，0），
（1）当直线l与x轴垂直时，、，
则AN的方程是：，
BM的方程是：，
直线AN与直线x=4的交点为，
∴点R在直线BM上．…（6分）
（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1）、N （x2，y2），R（4，y0）
由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0
∴，…（7分）
，，
A，N，R共线，
∴…（8分）
又，，
需证明B，M，R共线，
需证明2y1﹣y0（x1﹣2）=0，只需证明
若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）=0∵（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）=﹣2x1x2+5（x1+x2）﹣8
=成立，…（11分）
∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．
（1）求证：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．
【解答】（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴32=2EC，∴．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，
∴BP=EP﹣EB=．
∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，
∴，解得．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为x+y．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．
【解答】解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），
即有ρ=2sinθ﹣2cosθ，
则ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，即有x2+y2=2y﹣2x，
即为圆C：x2+y2+2x﹣2y=0；
（2）设z=x+y，
由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4，
所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2，
将为参数），代入z=x+y得z=﹣t，
又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，
由题意有：﹣2≤t≤2，
所以﹣2≤t≤2．
即x+y的取值范围是[﹣2，2]．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知a ＞0，b ＞0，且a 2+b 2=，若a +b ≤m 恒成立， （Ⅰ）求m 的最小值；
（Ⅱ）若2|x ﹣1|+|x |≥a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，且a 2+b 2=， ∴9=（a 2+b 2）（12+12）≥（a +b ）2，
∴a +b ≤3，（当且仅当，即时取等号）
又∵a +b ≤m 恒成立，∴m ≥3． 故m 的最小值为3．…（4分）
（II ）要使2|x ﹣1|+|x |≥a +b 恒成立，须且只须2|x ﹣1|+|x |≥3． ∴或
或
∴
或
．…（7分）
赠送—高中数学知识点
【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念
①如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分
数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：
11
()()0,,,m m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()(0,0,)r r r
ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称
指数函数
定义
函数(0x
y a a =>且1)a ≠叫做指数函数
图象
1a >
01a <<
定
义
域
R
x
a y =x
y
(0,1)
O
1
y =x
a y =x
y (0,1)
O 1
y =
值域 (0,)+∞
过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况
1(0)
1(0)1(0)
x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)
x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式
log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M
M N N
-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N
a N =
⑤
log log (0,)b n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥
换
底
公
式
：
log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
函数 名称
对数函数
定义
函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数
图象
1a >
01a <<
定义域 (0,)+∞ 值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对 图象的影响
在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．
x y
O
(1,0)1x =
log a y x
=x
y
O (1,0)
1
x =log a y x
=。